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Vitesse de croissance

Posté par
athrun 31-05-09 à 10:40

Bonjour,

j'ai un problème sur un exercice de suites, voici l'énoncé :

Enoncé :

Citation :

1°) A l'aide d'un tableur, déterminer le premier entier naturel 2$p_1 tel que 2$2^n>10^6 et le premier entier naturel 2$p_2 tel que 2$n^2>10^6.

2°) Soit 2$(u_n) la suite définie, pour tout entier 2$n\geq1, par :

3$u_n=\frac{2^n}{n^2}

Conjecturer la limite éventuelle de cette suite.

3°) On pose 3$x_n=\frac{u_{n+1}}{u_n} pour tout entier 2$n\geq1.

a) Exprimer 2$x_n en fonction de 2$n.
b) Démontrer que la suite 2$(x_n) converge vers 2.
c) En déduire que 2$x_n>1,5 à partir d'un certain rang 2$p.

4°) On pose 3$w_n=\frac{u_n}{1,5^n} pour tout entier 2$n\geq p.

a) Démontrer que la suite 2$(w_n) est croissante.
b) En déduire que 2$u_n\geq 1,5^{n-p} u_p.
c) Déterminer la limite de la suite 2$(u_n).


1°) Ici pas de problèmes je trouve 2$p_1 = 20 :

2$2^{19} < 10^6 \\ 2^{20} > 10^6

Là encore plus facile : 2$10^6={(10^3)}^2

d'où 2$p_2 = 1001.

2°) Alors je ne pense pas qu'à mon niveau on puisse démontrer la limite de cette suite :

je sais que lorsque 2$n tend vers +\infty, 2$2^n et 2$n^2 tendent vers +\infty.

Alors je ne peux utiliser que les résultats trouvés précédemment :

● 2$2^n est supérieur à 10^6 dès le rang 2$p_1 = 20
● 2$n^2 est supérieur à 10^6 au rang 2$p_2 = 1001

1001 étant de loin supérieur à 20, 2$2^n croît bien plus  que 2$n^2, donc je conjecturerais que quand 2$n tend vers +\infty, 2$u_n tend aussi vers +\infty.

Est-ce suffisant de dire cela ?
(petite question à part : dans le cas de 2$2^n, ne dit-on pas qu'elle a une croissance exponentielle ?)

3°) a)

3$x_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}

4$x_n=\frac{\frac{2^{n+1}}{{(n+1)}^2}}{\frac{2^n}{n^2}}

3$x_n=\frac{2^{n+1}n^2}{2^n{(n+1)}^2}

3$x_n=\frac{2n^2}{{(n+1)}^2}

b) Alors là je ne suis pas sûr : dans mon cours je ne comprends pas très bien la définition de la convergence :

Citation :

Soit 2$(u_n) une suite définie 2$\forall n\in\mathbb{N} (ou \mathbb{N}*) et 2$a un réel donné unique, la suite 2$(u_n) converge vers 2$a lorsque tout intervalle ouvert contenant 2$a contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang 2$n_0, on écrit alors : 3$\lim_{n\to +\infty} u_n = a. La suite est alors convergente.


Comme il y a une limite je vois ce qu'il faut faire :

3$x_n=\frac{2n^2}{{(n+1)}^2} \\ \\ x_n=\frac{2n^2}{n^2+1+2n} \\ \\ x_n=\frac{2n^2}{n^2(1+\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n})} \\ \\ x_n=\frac{2}{1+\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}}

Bon ici pas la peine de faire les limites, le dénominateur tend vers 1 lorsque 2$n tend vers +\infty, d'où :

3$\lim_{n\to +\infty} x_n = 2

Donc la suite 2$(u_n) converge vers 2.

c) Là je ne sais pas comment faire



merci pour votre aide !

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 31-05-09 à 11:19

Salut

Pour l'instant tout ce que tu as fait c'est exellent

Citation :
dans le cas de 4$2^n, ne dit-on pas qu'elle a une croissance exponentielle ?

\to Exactement,Tu verras en terminal la fonction exponentielle qui est la fonction qui croît le plus vite vers +\infty en +\infty et 4$2^n est une exponentielle


Bon pour la 10$\fbox{\star 3.c) }, je pense qu'il faut montrer que 4$(x_n) est croissante pour 4$n\ge 3
Puisque si la suite est strictement croissante et qu'elle converge vers 4$2 c'est obligé que à partir d'un certain rang la suite prenne des valeurs plus grande que 4$1,5

Voilà Voilà

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:04

Salut olive_68,

je ne comprends pas pourquoi il faut montrer que 2$(x_n) est croissante pour 2$n\geq 3 :

elle est strictement croissante. Je trouve sur ma calculatrice qu'à partir du rang 2$p = 7, 2$x_n>1,5,

par contre ça ne démontre rien ...

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:12

Ben avant le rang 3 c'est faux ..

Ben en fait il faut montrer que c'est une fonction strictement croissante pour être sur à tout les coups que une fois qu'elle prend des valeurs plus grand que un nombre elle ne retombera pas en dessous.

Par exemple la suite :

       4$U_n=\fr{n+(-1)^n}{n} tend vers 4$1 en +\infty c'est sur ..
Mais crois tu que au premier rang 4$p qui vérifie U_n>0,999 on ait 4$U_n>0,999 pour 4$n\ge p  ??

Enfin c'est mon avis ^^ Sinon c'est sur ce comme la suite converge vers 4$2 il existe un certain rang qui vérifie ce que tu veux.. Surtout si tu cites ta définition en justification..

Après voilà .. je sais pas ce qu'attend ton prof ..

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:18

Citation :
Ben avant le rang 3 c'est faux .


4$x_1 = \frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{8}{9} \\ x_3 = \frac{9}{8}

3$x_3>x_2>x_1

elle est toujours coirssante, non ?

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:22

Lol oui désolé ..

J'avais mal calculé de tête .. Désolé.

Bah alors pour tout 4$n ^^

Bien vu

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:26

Lol c'est pas grave ^^

Oui donc je comprends ce que tu me dis, la suite est strictement croissante et converge vers 2, il y a donc forcément un rang p où son terme 2$x_n > 1,5.

Mais il faut que je le donne ce rang p ?

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:30

Oui voilà

Non non on veut juste que tu montres qu'il existe..

Tu peux montrer que c'est le rang 7 comme tu me l'avais dit si tu veux c'est toujours mieux

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:41

Ok merci !

Bon je continue

...et je n'y arrive pas

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:43

A faire quoi? Montrer la croissance ou la suite?

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 31-05-09 à 19:51

Eh bien je peux mettre :

5$w_n = \frac{2^n}{n^2\times1,5^n}

mais ça ne m'avance pas du tout...

On a ça :

4$x_n=\frac{u_{n+1}}{u_n} qui est strictement croissante, donc 3$u_{n+1}>u_n, et donc 3$(u_n) est croissante.

Mais je n'arrive pas à démontrer que 3$w_n est croissante ...

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 31-05-09 à 20:02

Je ne veux pas montrer que 4$(U_n) est croissante mais 4$(x_n)

4$\fr{W_{n+1}}{W_n}=\fr{\fr{U_{n+1}}{(1,5)^{n+1}}}{\fr{U_n}{(1,5)^n}}=\fr{U_{n+1}}{U_n}\times \fr{1}{1,5}=\fr{2}{3}x_n

On est dans le cas ou 4$n\ge p donc dans le cas ou 4$x_n> 1,5

Donc que 4$\fr{2}{3}\times \fr{3}{2}<\fr{2}{3}x_n

Soit 4$1<\fr{2}{3}x_n

Ce qui te permet de conclure que 4$\fr{W_{n+1}}{W_n}>1 donc que la suite 4$(W_n) est ... ?


Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 31-05-09 à 20:10

... croissante. Vous êtes fort ^^ pas mal l'exercice n'empêche avec le 3$\frac{2}{3}\times\frac{3}{2} ..

Bon bah maintenant il faut que je trouve la b)

Je t'informe si j'y arrive ou pas !

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 31-05-09 à 20:14

Oui croissante

Je t'avoue que pour un élève de première tu es très bon !!

Tu vas tout déchirer en terminal ( Dis toi que cet exercice l'année dernière (Donc en première S) je n'aurais pas su le résoudre )

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 31-05-09 à 20:45

merci ^^


je n'arrive pas à le résoudre non plus lol, c'est bien parce que tu m'aides si j'avance

bon pour la b) je vais réfléchir un peu parce que je me suis aperçu que j'aurais pu trouver la a)

bonne soirée donc et à bientôt donc (à mon avis je vais sûrement redemander de l'aide )

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 31-05-09 à 20:49

j'ai déjà ça comme piste :

Comme 3$w_n est croissante, 3$u_n>1,5^n \forall n\geq p

Maintenant j'ai l'impression qu'il faut réécrire cela pour tout 2$n, c'est-à-dire sans avoir besoin d'écrire pour tout 2$n\geq p.

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 31-05-09 à 21:13

Re désolé j'étais mangé..

Bon alors la tu cherches trop loin ...

Il faut vraiment utiliser le fait que 4$(w_n) est croissante et que 4$n\ge p

Petit indice : Peux tu m'écrire un inégalité qui mêle w_n et w_p ?

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 01-06-09 à 10:53

Salut !

merci pour l'indice, mais j'ai quand même mis du temps à trouver :

Citation :

On pose 3$w_n=\frac{u_n}{1,5^n} \red \rm pour tout entier n\geq p.


Je ne voyais pas d'inégalité possible jusqu'à relecture de ce qui est en rouge, et donc :

b) 4$w_n\geq w_p \\ \frac{u_n}{1,5^n}\geq\frac{u_p}{1,5^p} \\ u_n\geq\frac{1,5^nu_p}{1,5^p} \\ u_n\geq u_p1,5^{n-p}

c) Apparemment faut se servir du résultat précédent

Je dirais comme ça que la limite de u_n et +\infty ... mais là encore je suis perdu

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 01-06-09 à 10:59

J'ai oublié de préciser que c'est parce que (w_n) est strictement croissante (avec n\geq p) qu'on a :
w_n \geq w_p.

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 01-06-09 à 12:16

10$\fbox{\star}    Pour la 4$\fbox{b)} c'est tout à fait ça.

10$\fbox{\star}    Pour la limite ton intuition est bonne et biensur il va falloir se servir de ce que tu viens de faire

Je pense que tu as compris qu'il va falloir determiner la limite de 4$U_p(1,5)^{(n-p)} pour pouvoir utiliser le théorême de comparaison.

Petit indice : \fbox{\to} C'est quoi la limite d'une suite géométrique suivant les valeurs de la raison et suivant le signe de son premier terme ?

Biensur ce n'est pas une suite géométrique ici mais j'éspère que un petit voyant c'est allumé dans ta tête maintenant.

(Si tu as besoin de plus de préçision où n'importe, n'hésite pas ! )

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 01-06-09 à 14:52

Ah c'est le théorème de comparaison q'il faut utiliser ici.


On a :

3$\lim_{n\to +\infty} 1,5^{n-p} = +\infty

car 1,5 > 1 (suite de référence)

de plus, u_p > 0, car 2^p > 0 et p^2 > 0 (u_p=\frac{2^p}{p^2}) (avec p\neq0, d'où p>0 car p\in\mathbb{N}*)

d'où :

3$\lim_{n\to +\infty} u_p\times1,5^{n-p} = +\infty

On appelle 3$(z_n), la suite de terme 3$z_n=u_p\times1,5^{n-p}.

Donc, d'après le théorème de comparaison (que j'utilise pour la première fois) :

Citation :

si \forall n\geq p avec p grand on a u_n\geq z_n et \lim_{n\to +\infty} z_n = +\infty, alors \lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty.


D'où : 5$\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty

2$\rightarrow conjecture vérifiée

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 01-06-09 à 15:37

Très bien !!

Bonne rédaction à chaques fois !!

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 01-06-09 à 16:21

Eh bien merci beaucoup olive_68 ! Je dois dire que ça a été un exercice très différent de ce que je faisais d'haitude sur les suites

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 01-06-09 à 16:42

De rien

Oui c'est vrai qu'il est différent mais personnelement je le trouve assez intérressant justement puisqu'il sort un peu du commun, enfin il faut réfléchir un peu plus pour trouver les réponses..
Il faut essayer de faire la relation avec ce qui précède et ce qu'on veut te faire montrer

En tout cas c'était un plaisir de t'aiguiller sur cet exercice

Posté par
athrunre : Vitesse de croissance 01-06-09 à 17:50

Oui je letrouve aussi intéressant.

Merci beaucoup beaucoup de m'avoir aidé en tout cas

Posté par
olive_68re : Vitesse de croissance 01-06-09 à 17:56

De rien

C'était un plaisir


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