Réussir un exercice de probabilité est souvent un problème d'organisation.
On a déjà rencontré une organisation grâce à des tableaux à double entrée, cette fiche va expliquer
une organisation par arbre pondéré.
Un arbre de probabilités, ou arbre pondéré, se construit de gauche à droite (ou de haut en bas),
et permet de modéliser une expérience aléatoire à une ou plusieurs épreuves.
Simple de par sa construction, cet outil mathématique est un support de raisonnement très visuel,
pour aider à s'organiser à la lecture d'un énoncé et ainsi résoudre un problème et calculer des probabilités.
I. VOCABULAIRE
la racine est le point de départ de l'arbre, l'univers des événements possibles.
Cet ensemble, l'événement certain, est souvent noté .
L'arbre se construit et se lit à partir de sa racine.
un noeud représente un toujours un événement ; de chaque noeud partent une, deux ou plusieurs branches.
une branche relie deux événements ;
- sur chaque branche, on va indiquer la probabilité de l'événement auquel elle conduit.
- cette probabilité s'appelle aussi poids de la branche ; c'est un nombre compris entre 0 et 1.
- selon l'étape, on parle de branches primaires, secondaires, tertiaires...
une feuille est le dernier noeud d'un enchainement de branches.
un chemin (ou trajet) est le parcours qui relie la racine à une feuille ; chaque chemin conduit à une issue.
tous les chemins, partant de la racine et arrivant à une feuille, représentent des évènements disjoints.
une issue est l'événement-intersection de tous les événements rencontrés sur un même chemin.
Il y a donc autant d'issues que de chemins.
Définition
Soit des événements de . Si ces événements
sont deux à deux incompatibles et que leur réunion vaut , on dit que l'ensemble
est une partition de
II. PROPRIETES
Propriété 1
La somme des probabilités inscrites sur toutes les branches partant d'un même noeud est toujours égale à 1.
Cette règle est très utile pour calculer, par complément à 1, la probabilité manquante d'une branche.
Rappel : l'événement contraire de A est noté et on a :
Exemple 1 : Sur l'arbre pondéré suivant, les événements A et B forment une partition de .
Quelle est la probabilité de l'événement B ?
Solution : A et B partent d'un même noeud (la racine) ; la somme de leur probabilité est donc égale à 1.
p(A) + p(B) = 1
p(B) = 1 - p(A) = 1 - 0.7 = 0.3
Propriété 2
La probabilité d'une issue est égale au produit des probabilités qui jalonnent les différentes branches rencontrées sur le chemin qui mène à cette issue.
Exemple 2 : calculer les probabilités manquantes sur les branches.
L'arbre ci-dessous décrit une expérience aléatoire à deux épreuves.
Sachant que p(AC) = 0.06,
calculer les probabilités manquantes p1, p2, p3 et p4.
La probabilité d'un évènement associé à plusieurs issues d'un arbre est la SOMME des probabilités de ces issues.
exercice d'application : Calculer la probabilité d'un événement associé à plusieurs issues de l'arbre.
Méthode :
* organiser les données à l'aide d'un arbre pondéré
* repérer les chemins qui correspondent à l'événement recherché
* calculer les probabilités des issues correspondantes
* faire la somme de ces probabilités
Enoncé :
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : deux jaunes « J » et quatre
bleues « B ».
Un sac de toile contient 8 petits cubes indiscernables au toucher : trois jaunes « j », deux rouges « r » et trois bleus « b ».
Règle du jeu : On extrait une boule de l'urne, puis on tire un petit cube dans le sac.
La partie est gagnée si on a extrait deux objets de la même couleur.
1. Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré. Combien y a-t-il d'issues possibles ? 2. Déterminer la probabilité de chacune de ces issues. Faire la somme de ces probabilités : que remarque-t-on ? 3. Soit G l'événement : « les deux objets tirés sont de la même couleur » ; calculer p(G). Conclure.
Solution
1
construction de l'arbre
- 1ere épreuve : on tire une boule; à partir de la racine, on fait partir 2 branches (une pour J, et une pour B)
- 2ème épreuve : on tire un cube; à partir de chacune des branches J et B,
on fait partir 3 branches (une pour j, une pour r et une pour b)
- on compte 2 x 3 = 6 issues possibles : = {(J ;r) ; (J ;b) ; (J ;j) ; (B ;r) ; (B ;b) ; (B ;j)}
chaque issue est un couple formé par les couleurs des deux objets tirés.
calcul des poids des branches
rappel : probabilité de tirer une couleur = nombre de cas favorables/nombre de cas possibles
- probabilité de tirage d'une boule : p(J) = 2/6 = 1/3 ; p(B) = 4/6 = 2/3
- probabilité de tirage d'un petit cube : p(j) = 3/8 ; p(r) =2/8=1/4 ; p(b) = 3/8
2
Le chemin B-r conduit à l'issue (B;r); à l'aide de l'arbre, on calcule : p(B ET r) = p(Br) = 2/3 * 1/4 = 1/6
1/12+1/8+1/8+1/6+1/4+1/4 = 1
Ce résultat est conforme à la règle :
la somme des probabilités de toutes les branches issues d'un même noeud est égale à 1 ;
ici, il s'agit du noeud de départ, la racine.
3
événement G : « les deux objets tirés sont de la même couleur ».
l'événement G est réalisé sur 2 chemins de l'arbre, les issues (J;j) et (B;b) :
soit les 2 objets sont jaunes, soit ils sont bleus.
ainsi p(G) = p(Jj) + p(Bb) = 1/8 + 1/4 = 3/8.
conclusion : on a 3 chances sur 8 de gagner à ce jeu.
Teste-toi maintenant !
Deux grossistes produisent des bulbes de tulipes.
- le premier produit des bulbes à fleurs rouges dont 90 % donnent une fleur (R),
- le second produit des bulbes à fleurs jaunes dont 80 % donnent une fleur (J).
Un horticulteur achète 70 % des bulbes qu'il cultive au premier grossiste et le reste au second.
Un bulbe donne au plus une fleur.
On définit les événements suivants :
A : « le bulbe choisi provient du premier grossiste »
B : « le bulbe choisi provient du second grossiste »
1. définir explicitement les événements R et , J et . 2. construire l'arbre pondéré qui traduit la situation d'achat de bulbes par l'horticulteur. 3. L'horticulteur plante un bulbe au hasard. Quelle est la probabilité :
a. d'obtenir une fleur rouge ?
b. d'obtenir une fleur jaune ?
c. on définit l'événement S : « le bulbe ne donne pas de fleur ». Calculer p(S). 4. Il a acheté 8000 bulbes. Combien de tulipes (rouges ou jaunes) peut-il espérer récolter ?
Corrige-toi !
1.
R : "le bulbe à fleur rouge donne bien une fleur" p(R) = 0.9 : "le bulbe à fleur rouge ne donne pas de fleur"
J : "le bulbe à fleur jaune donne bien une fleur" p(J) = 0.8 : "le bulbe à fleur jaune ne donne pas de fleur"
2.arbre pondéré
p(A) = 0.7 donc p(B) = 1 - 0.7 = 0.3
la probabilité d'acheter un bulbe au second grossiste est 0.3, soit 30%
p(R) = 0.9 donc = 1-0.9 = 0.1
la probabilité qu'un bulbe à fleur rouge ne donne pas de fleur est 0.1
p(J) = 0.8 donc = 1-0.8 = 0.2
la probabilité qu'un bulbe à fleur jaune ne donne pas de fleur est 0.2
3. L'horticulteur choisit et plante un bulbe au hasard : nous sommes donc en situation d'équiprobabilité.
a. « obtenir une fleur rouge » est l'issue du chemin A-R.
donc p(« obtenir une fleur rouge ») = p(A ET R) = p(AR) = 0.7*0.9 = 0.63
b. p(« obtenir une fleur jaune ») = p(B ET J) = p(BJ) = 0.3*0.8 = 0.24
c. événement S : « le bulbe ne donne pas de fleur »
l'événement S est réalisé à l'issue de deux chemins :
et
d'où
autre méthode pour calculer p(S) :
on peut remarquer que l'événement S est l'événement contraire
de : « on obtient une fleur rouge OU jaune ».
Le « ou » se traduit par la réunion des deux ensembles :
= (AR) (BJ).
Les événements (AR) et (BJ) étant incompatibles
(leur intersection est vide : on ne peut pas obtenir une fleur qui soit à la fois rouge et jaune),
la probabilité de leur réunion est la SOMME de leur probabilité (déjà calculées en a) et b)).
ainsi
4. Il pourra récolter si les bulbes donnent réellement des fleurs rouges ou jaunes.
S : « le bulbe ne donne pas de fleur » : « le bulbe donne une fleur »
on utilise le résultat précédent : = 1 - p(S) = 1-0.13=0.87,
soit 87% des bulbes plantés donneront une fleur
d'où 8000*0.87 = 6960 fleurs rouges ou jaunes récoltées.
Publié par malou/carita
le
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Merci à malou / carita pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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L'arbre se construit et se lit à partir de sa racine.
et on a :
 = 1 - p(A))
C) = 0.06, 
Solution
des événements de 
. Si ces événements
sont deux à deux incompatibles et que leur réunion vaut 
est une partition de 
(B
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