Fiche de mathématiques
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Probabilités

Construire un arbre pondéré

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Réussir un exercice de probabilité est souvent un problème d'organisation. On a déjà rencontré une organisation grâce à des tableaux à double entrée, cette fiche va expliquer une organisation par arbre pondéré.

Un arbre de probabilités, ou arbre pondéré, se construit de gauche à droite (ou de haut en bas), et permet de modéliser une expérience aléatoire à une ou plusieurs épreuves.

Simple de par sa construction, cet outil mathématique est un support de raisonnement très visuel, pour aider à s'organiser à la lecture d'un énoncé et ainsi résoudre un problème et calculer des probabilités.

I. VOCABULAIRE


Comment construire un arbre pondéré : image 6


la racine est le point de départ de l'arbre, l'univers des événements possibles.
Cet ensemble, l'événement certain, est souvent noté omegamaj. L'arbre se construit et se lit à partir de sa racine.

un noeud représente un toujours un événement ; de chaque noeud partent une, deux ou plusieurs branches.

une branche relie deux événements ;
- sur chaque branche, on va indiquer la probabilité de l'événement auquel elle conduit.
- cette probabilité s'appelle aussi poids de la branche ; c'est un nombre compris entre 0 et 1.
- selon l'étape, on parle de branches primaires, secondaires, tertiaires...

une feuille est le dernier noeud d'un enchainement de branches.

un chemin (ou trajet) est le parcours qui relie la racine à une feuille ; chaque chemin conduit à une issue.
tous les chemins, partant de la racine et arrivant à une feuille, représentent des évènements disjoints.

une issue est l'événement-intersection de tous les événements rencontrés sur un même chemin.
Il y a donc autant d'issues que de chemins.


Définition
Soit A_1\,, A_2\,,\dots A_n des événements de \Omega. Si ces événements sont deux à deux incompatibles et que leur réunion vaut \Omega, on dit que l'ensemble \left{A_1\,, A_2\,,\dots A_n\right} est une partition de \Omega

II. PROPRIETES


Propriété 1
La somme des probabilités inscrites sur toutes les branches partant d'un même noeud est toujours égale à 1.

Cette règle est très utile pour calculer, par complément à 1, la probabilité manquante d'une branche.

Rappel : l'événement contraire de A est noté \bar{A} et on a : {\white\text{ww}} p(\overline {A}) = 1 - p(A)

Exemple 1 :
Sur l'arbre pondéré suivant, les événements A et B forment une partition de omegamaj. Quelle est la probabilité de l'événement B ?
Comment construire un arbre pondéré : image 4


Solution : A et B partent d'un même noeud (la racine) ; la somme de leur probabilité est donc égale à 1.

p(A) + p(B) = 1
p(B) = 1 - p(A) = 1 - 0.7 = 0.3

Propriété 2
La probabilité d'une issue est égale au produit des probabilités qui jalonnent les différentes branches rencontrées sur le chemin qui mène à cette issue.


Exemple 2 : calculer les probabilités manquantes sur les branches.


L'arbre ci-dessous décrit une expérience aléatoire à deux épreuves.

Sachant que p(AinterC) = 0.06,
calculer les probabilités manquantes p1, p2, p3 et p4.
Comment construire un arbre pondéré : image 3


Solution :
Comment construire un arbre pondéré : image 1

p1 = 1 - p(A) = 1-0.2=0.8
p2 = 1 - 0.1 = 0.9
on sait que p(AinterC) = 0.2 * p3 = 0.06, d'où p3 = 0.06/0.2 = 0.3
p4 = 1 - p3 = 1 - 0.3 = 0.7

Propriété 3
La probabilité d'un évènement associé à plusieurs issues d'un arbre est la SOMME des probabilités de ces issues.




exercice d'application : Calculer la probabilité d'un événement associé à plusieurs issues de l'arbre.



Méthode :
* organiser les données à l'aide d'un arbre pondéré
* repérer les chemins qui correspondent à l'événement recherché
* calculer les probabilités des issues correspondantes
* faire la somme de ces probabilités

Enoncé :
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : deux jaunes « J » et quatre bleues « B ».
Un sac de toile contient 8 petits cubes indiscernables au toucher : trois jaunes « j », deux rouges « r » et trois bleus « b ».
Règle du jeu : On extrait une boule de l'urne, puis on tire un petit cube dans le sac.
La partie est gagnée si on a extrait deux objets de la même couleur.

1. Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré. Combien y a-t-il d'issues possibles ?
2. Déterminer la probabilité de chacune de ces issues. Faire la somme de ces probabilités : que remarque-t-on ?
3. Soit G l'événement : « les deux objets tirés sont de la même couleur » ; calculer p(G). Conclure.
 Solution



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