Fiche de mathématiques
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Variable Aléatoire discrète et loi de probabilité

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Lors d'une expérience aléatoire, il est fréquent que les issues soient des nombres, entiers ou réels.

Par exemple, le gain obtenu à un jeu de hasard, le nombre de jetons rouges tirés d'un sac,
ou la durée des appels téléphoniques reçus sur une journée.

La notion de variable aléatoire nous permet de modéliser une expérience aléatoire par une fonction numérique,
et de faire des calculs qui peuvent être des outils de décision avant la réalisation de l'expérience.

I. Quelques rappels

Une expérience aléatoire est une expérience ayant plusieurs issues possibles (ces issues sont également appelées "éventualités")
et dont on ne peut pas prévoir à l'avance laquelle de ces issues sera réalisée. Chaque issue est un événement dit élémentaire.

L'univers des possibles de l'expérience, noté omegamaj, est l'ensemble de tous les résultats possibles ei d'une expérience aléatoire : omegamaj= {e1; e2; e3;... ; en}.

On définit alors une loi de probabilité sur omegamaj en associant une probabilité pi=p( ei ) à chacune des n issues de omegamaj, et telle que :
0infegalpiinfegal 1 \white{www} et \white{www} p1+ p2 + ... + pn = 1.

A retenir : la loi de probabilité est associée à l'expérience choisie ; on peut donc définir plusieurs lois de probabilité sur un même univers.

Exemples :
- on lance un dé à 6 faces, et on s'intéresse au chiffre lu sur la partie supérieure ; omegamaj = {1;2;3;4;5;6}
la probabilité de chacune des 6 issues ei est p(ei) = 1/6; et on a p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1
- on tire au hasard une boule dans une urne qui contient 3 boules bleues (B) et 2 boules rouges (R); omegamaj ={B;R}
p(B) = 3/5 ; p(R) = 2/5 ; et p(B)+p(R)=1

II. Variable aléatoire


1. Exemple et définition


Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 3 bleues (B), 2 rouges (R), et 1 jaune (J).
On définit un jeu de la façon suivante : le joueur tire une boule.
- si la boule est bleue, il perd 1 point,
- si la boule est rouge, il gagne 1 point,
- si la boule est jaune, il gagne 3 points.

on a omegamaj= {B; R; J)

p(B)=3/6=1/2 ; p(R)=2/6=1/3 ; p(J)=1/6

Soit X la variable qui, à chaque issue, c'est-à-dire à chaque élément de omegamaj, associe le nombre de points du joueur.
La variable X ainsi définie est nommée variable aléatoire sur omegamaj.

X peut prendre 3 valeurs : -1 , 1 et 3.
La probabilité que le joueur perde 1 point est 1/2 et se note p(X=-1)= 1/2
La probabilité que le joueur gagne 1 point est 1/3 et se note p(X=1)= 1/3
La probabilité que le joueur gagne 3 points est 1/6 et se note p(X=3)= 1/6

Définition
On définit une variable aléatoire X en associant un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
On note x1, x2, x2, ...., xn les valeurs réelles prises par X, et on note (X=xi) l'évènement " X prend la valeur xi "
Une variable aléatoire est une fonction de omegamaj vers R.

En classe de première, on étudie les variables aléatoires dénombrables (discrètes) et à valeurs réelles.


2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète


Définition
On définit la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X, par la donnée des réels xi et des probabilités pi=p(X=xi) pour toutes les valeurs de i.

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X c'est donc :
- préciser l'ensemble des valeurs xi
- calculer pour chaque xi sa probabilité pi

On peut présenter cette loi dans un tableau :
- sur la première ligne, on ordonne toutes les valeurs xi par ordre croissant.
- sur la seconde ligne, on note les probabilités correspondantes; toujours vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1.

Dans l'exemple précédent, la loi de probabilité de la variable aléatoire X peut se présenter ainsi :

\begin{array}  {|c|cccccc|} \hline x_i & -1 &| & 1 & | & 3 &  \\\hline {p(X=x_i)} &1/2  & | & 1/3  & | &1/6  &  \\\hline  \end{array}

On peut calculer par exemple la probabilité des événements suivants :

- "le joueur gagne au plus 1 point" : cet événement s'écrit (Xinfegal1), et on a p(Xinfegal1) = p(X=-1) + p(X=1) = 1/2 + 1/3 = 5/6

- "le joueur gagne au moins 1 point" : cet événement s'écrit (Xsupegal1), et on a p(Xsupegal1) = p(X=1) + p(X=3) = 1/3 + 1/6 = 1/2

 Teste-toi

III. Espérance, Variance et Ecart-type d'une variable aléatoire


1. Espérance

Définition
Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité (xi , pi).
L'espérance mathématique de X, notée E(X) (ou encore \overline X ) est la somme de tous les produits x_i \times p_i

E(X)  = x_1\times p_1 + x_2 \times p_2 + ...  + x_n \times p_n qui s'écrit encore  E(X)= \displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}{x_i \times p_i}

Si l'on renouvelle un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, E(X) peut s'interpréter comme valeur moyenne de X.

Dans le cadre d'un jeu, l'espérance d'une variable aléatoire qui définirait le gain au jeu est un indicateur de ce que l'on peut espérer gagner (ou perdre !) à chaque partie de ce jeu.

Un jeu est dit équitable lorsque son espérance de gain est nulle.

Exemple : Reprenons l'exemple de la première partie - les 6 boules dans l'urne - et calculons l'espérance de X à partir de sa loi de probabilité :
E(X) = (-1)*(1/2) + 1 * (1/3) + 3 * (1/6) = 1/3


2. Variance et Ecart-type


Définitions
Soit X une variable aléatoire, et E(X) son espérance.

La variance de X est le nombre réel positif
V(X) = E\left( (X - E(X))^2 \right)= \displaystyle \sum_{i=1}^{i=n} {p_i (x_i - (E(X))^2)   = p_1 . (x_1 - E(X))^2) + p_2 . (x_2 - E(X))^2) + ... + p_n . (x_n - E(X))^2)

L'écart-type de X est égal à la racine carrée de la variance
\; \; \sigma(X) = \sqrt{ V(X) }

Autre expression de la variance : V(X) =   \displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}{p_i x_i^2 - (E(X))^2   = p_1 . x_1^2 + p_2 . x_2^2 + ... + p_n . x_n^2   - (E(X))^2
L'écart-type est un paramètre de dispersion : dépendant de la moyenne, il est un indicateur du risque pris lors de l'expérience aléatoire.

Les calculs peuvent s'effectuer avecune calculatrice. Il faut commencer par créer les 2 listes :
1ère liste : on saisit les valeurs xi de la variable aléatoire,
2ème liste : on saisit les probabilités correspondantes

- TI : Menu Stats / EDIT pour créer les 2 listes / CALC 1 puis L1, L2
- CASIO : Menu Statistiques / CALC(F2) / 1VAR (F1)
L'espérance est notée \bar{x} et l'écart-type \sigma{x}. Si la variance n'est pas affichée, la calculer : V(X)=(\sigma{x})^2

 Teste-toi


3. Propriétés d'une variable aléatoire


Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un univers omegamaj; soient a et b deux réels. On a les propriétés suivantes :

Propriétés de l'espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) \white{ww} E(aX+b) = aE(X) + b

Propriété de la variance : V(aX+b) = a² V(X)

Propriété de l'écart-type : sigma(aX+b) = |a| sigma(X)

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