Lors d'une expérience aléatoire, il est fréquent que les issues soient des nombres, entiers ou réels.
Par exemple, le gain obtenu à un jeu de hasard, le nombre de jetons rouges tirés d'un sac,
ou la durée des appels téléphoniques reçus sur une journée.
La notion de variable aléatoire nous permet de modéliser une expérience aléatoire par une fonction numérique,
et de faire des calculs qui peuvent être des outils de décision avant la réalisation de l'expérience.
I. Quelques rappels
Une expérience aléatoire est une expérience ayant plusieurs issues possibles (ces issues sont également appelées "éventualités")
et dont on ne peut pas prévoir à l'avance laquelle de ces issues sera réalisée.
Chaque issue est un événement dit élémentaire.
L'univers des possibles de l'expérience, noté , est l'ensemble de
tous les résultats possibles ei
d'une expérience aléatoire : = {e1; e2; e3;... ; en}.
On définit alors une loi de probabilité sur
en associant une probabilité pi=p( ei )
à chacune des n issues de , et telle que :
0pi 1 et p1+ p2 + ... + pn = 1.
A retenir : la loi de probabilité est associée à l'expérience choisie ; on peut donc définir plusieurs lois de probabilité sur
un même univers.
Exemples : - on lance un dé à 6 faces, et on s'intéresse au chiffre lu sur la partie supérieure ;
= {1;2;3;4;5;6}
la probabilité de chacune des 6 issues ei est p(ei) = 1/6; et on a p(1) + p(2) + p(3) + p(4)
+ p(5) + p(6) = 1
- on tire au hasard une boule dans une urne qui contient 3 boules bleues (B) et 2 boules rouges (R);
={B;R}
p(B) = 3/5 ; p(R) = 2/5 ; et p(B)+p(R)=1
II. Variable aléatoire
1. Exemple et définition
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 3 bleues (B), 2 rouges (R), et 1 jaune (J).
On définit un jeu de la façon suivante : le joueur tire une boule.
- si la boule est bleue, il perd 1 point,
- si la boule est rouge, il gagne 1 point,
- si la boule est jaune, il gagne 3 points.
on a = {B; R; J)
p(B)=3/6=1/2 ; p(R)=2/6=1/3 ; p(J)=1/6
Soit X la variable qui, à chaque issue, c'est-à-dire à chaque élément de ,
associe le nombre de points du joueur.
La variable X ainsi définie est nommée variable aléatoire sur .
X peut prendre 3 valeurs : -1 , 1 et 3.
La probabilité que le joueur perde 1 point est 1/2 et se note p(X=-1)= 1/2
La probabilité que le joueur gagne 1 point est 1/3 et se note p(X=1)= 1/3
La probabilité que le joueur gagne 3 points est 1/6 et se note p(X=3)= 1/6
Définition
On définit une variable aléatoire X en associant un nombre réel à chaque issue
d'une expérience aléatoire.
On note x1, x2, x2, ...., xn les valeurs réelles prises par X, et
on note (X=xi) l'évènement " X prend la valeur xi "
Une variable aléatoire est une fonction de vers .
En classe de première, on étudie les variables aléatoires dénombrables (discrètes) et à valeurs réelles.
2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
Définition
On définit la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X, par la donnée des réels
xi et des probabilités pi=p(X=xi) pour toutes les valeurs de i.
Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X c'est donc :
- préciser l'ensemble des valeurs xi
- calculer pour chaque xi sa probabilité pi
On peut présenter cette loi dans un tableau :
- sur la première ligne, on ordonne toutes les valeurs xi par ordre croissant.
- sur la seconde ligne, on note les probabilités correspondantes;
toujours vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1.
Dans l'exemple précédent, la loi de probabilité de la variable aléatoire X peut se présenter ainsi :
On peut calculer par exemple la probabilité des événements suivants :
- "le joueur gagne au plus 1 point" : cet événement s'écrit (X1),
et on a p(X1) = p(X=-1) + p(X=1) = 1/2 + 1/3 = 5/6
- "le joueur gagne au moins 1 point" : cet événement s'écrit (X1),
et on a p(X1) = p(X=1) + p(X=3) = 1/3 + 1/6 = 1/2
Teste-toi
Je me teste : Enoncé
Un jeu consiste à lancer un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Le joueur note le chiffre de la face supérieure obtenue, puis effectue la division euclidienne de ce chiffre par 4.
On définit la variable aléatoire R qui recueille le reste obtenu par cette division.
a) quel est l'univers de cette expérience aléatoire ? Préciser la probabilité de chaque issue.
b) quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire R ?
c) présenter la loi de probabilité de R dans un tableau.
d) calculer p(R1).
e) calculer p(R 2) de deux façons différentes.
Solution
Solution :
a) l'univers de cette expérience aléatoire est l'ensemble des issues obtenues par le lancé de dé,
soit les chiffres de 1 à 6 : = {1;2;3;4;5;6}
Le dé est équilibré, on est donc en situation d'équiprobabilité :
la probabilité de tomber sur chacune des faces est identique.
p(ei) = 1/6
b) division euclidienne par 4 :
Les valeurs prises par la variable aléatoire R sont : 0; 1; 2 et 3.
c) On dénombre par exemple une seule façon d'obtenir l'événement (R=0). Pour cela, le dé doit afficher le chiffre "4",
mais on a deux façons d'obtenir l'événement (R=1). En effet, cela se produit lorsque le dé affiche "1" ou "5".
Ainsi p(R=0)= 1/6 ; p(R=1) = 2*1/6 = 1/3 ; p(R=2) = 1/3 ; p(R=3) = 1/6
On vérifie que 1/6+1/3+1/3+1/6 = 1 ; d'où la loi de probabilité de la variable aléatoire R que l'on peut présenter dans ce tableau :
d) L'événement (R1) est la réunion des deux événements incompatibles (R=0) et (R=1)
d'où p(R1) = p(R=0) + p(R=1) = 1/6 + 1/3 = 1/2
III. Espérance, Variance et Ecart-type d'une variable aléatoire
1. Espérance
Définition
Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité (xi , pi).
L'espérance mathématique de X, notée E(X) (ou encore ) est la somme de tous les produits
qui s'écrit encore
Si l'on renouvelle un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, E(X) peut s'interpréter comme valeur moyenne de X.
Dans le cadre d'un jeu, l'espérance d'une variable aléatoire qui définirait le gain au jeu
est un indicateur de ce que l'on peut espérer gagner (ou perdre !) à chaque partie de ce jeu.
Un jeu est dit équitable lorsque son espérance de gain est nulle.
Exemple : Reprenons l'exemple de la première partie - les 6 boules dans l'urne -
et calculons l'espérance de X à partir de sa loi de probabilité :
E(X) = (-1)*(1/2) + 1 * (1/3) + 3 * (1/6) = 1/3
2. Variance et Ecart-type
Définitions
Soit X une variable aléatoire, et E(X) son espérance.
La variance de X est le nombre réel positif
L'écart-type de X est égal à la racine carrée de la variance
Autre expression de la variance :
L'écart-type est un paramètre de dispersion : dépendant de la moyenne,
il est un indicateur du risque pris lors de l'expérience aléatoire.
Les calculs peuvent s'effectuer avecune calculatrice. Il faut commencer par créer les 2 listes :
1ère liste : on saisit les valeurs xi de la variable aléatoire,
2ème liste : on saisit les probabilités correspondantes
- TI : Menu Stats / EDIT pour créer les 2 listes / CALC 1 puis L1, L2
- CASIO : Menu Statistiques / CALC(F2) / 1VAR (F1)
L'espérance est notée et l'écart-type .
Si la variance n'est pas affichée, la calculer :
Teste-toi
Enoncé
Soit G la variable aléatoire qui représente le gain à un jeu de hasard, exprimé en euros. On a établi sa loi de probabilité :
a) Calculer l'espérance de la variable aléatoire G, sa variance et son écart-type.
b) Si l'on joue 20 fois à ce jeu, à quel gain (ou à quelle perte) peut-on s'attendre ?
b) E(G) = -0.05 ; l'espérance étant négative, en moyenne, sur un grand nombre de jeux,
on perd 5 centimes par partie.
Pour 20 parties, on peut s'attendre à perdre 20*0.05 = 1 euro.
3. Propriétés d'une variable aléatoire
Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un univers ; soient a et b deux réels.
On a les propriétés suivantes :
Propriétés de l'espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(aX+b) = aE(X) + b
Propriété de la variance :
V(aX+b) = a² V(X)
Propriété de l'écart-type :
(aX+b) = |a| (X)
Publié par malou/carita
le
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, est l'ensemble de
tous les résultats possibles ei
d'une expérience aléatoire : 
pi
et } &1/2 & | & 1/3 & | &1/6 & \\\hline \end{array})
1),
et on a p(X
Teste-toi
 = \displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}{p_i x_i^2 - (E(X))^2 = p_1 . x_1^2 + p_2 . x_2^2 + ... + p_n . x_n^2 - (E(X))^2 )
et l'écart-type 
.
Si la variance n'est pas affichée, la calculer : =(\sigma{x})^2)
E(aX+b) = aE(X) + b
(aX+b) = |a| 
vers 
.
) est la somme de tous les produits 
 = x_1\times p_1 + x_2 \times p_2 + ... + x_n \times p_n)
qui s'écrit encore = \displaystyle \sum_{i=1}^{i=n}{x_i \times p_i} )
 = E\left( (X - E(X))^2 \right)= \displaystyle \sum_{i=1}^{i=n} {p_i (x_i - (E(X))^2) = p_1 . (x_1 - E(X))^2) + p_2 . (x_2 - E(X))^2) + ... + p_n . (x_n - E(X))^2))
 = \sqrt{ V(X) })
V(G) = 
1.36 euros
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