Fiche de mathématiques
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Exercices sur les variables aléatoires

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difficulté 1/3

exercice 1

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs et 3 jetons noirs.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.

1. On note A l'évènement « obtenir deux jetons blancs ».
    Démontrer que la probabilité de l'évènement A est égale à \dfrac{7}{15}.
2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
    a) Déterminer la loi de probabilité de X.
    b) Calculer l'espérance mathématique de X.


 Solution

difficulté 1/3

exercice 2

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

On extrait simultanément et au hasard deux boules de l'urne.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.
1. Vérifier que P(X = 0) = \dfrac{3}{10} puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.
3. Calculer la probabilité de l'évènement suivant : A : «les deux boules tirées sont de même couleur».


 Solution

difficulté 1/3

exercice 3

Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.
La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.
La règle du jeu est la suivante :
    Le joueur mise 1 euro et lance la roue A.
    S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
    S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.

1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Soient E et F les évènements :
    E : « à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
    F : « à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».
Montrer que p(\text{E}) =  0,02 et p(\text{F}) =  0,17.

3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 euros, si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 euros, sinon il ne reçoit rien.
X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1 euro).
    a) Déterminer la loi de probabilité de X.
    b) Calculer l'espérance mathématique de X et en donner une interprétation.

 Solution

difficulté 2/3

exercice 4

Les règles d'un jeu sont définies de la façon suivante :

Le joueur tire successivement et sans remise, 2 cartes dans un de jeu de 32 cartes, faces cachées.
- lorsqu'une carte tirée est une figure (F), soit roi, dame, ou valet, il gagne 2 euros;
- lorsqu'une carte tirée est un as (A), il gagne 3 euros;
- lorsqu'une carte (C) autre que F ou A est tirée, il perd 1 euros.
On additionne les gains obtenus par le tirage des 2 cartes.

On note G la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue de l'épreuve.

1. Représenter l'expérience aléatoire par un arbre pondéré.

2. Déterminer la loi de probabilité de G.

3. Calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire. Que pensez-vous de ce jeu ?

4. Après réflexion, l'organisateur du jeu décide de demander une mise de jeu de 2 euros à chaque partie.
A quel gain (ou à quelle perte) l'organisateur peut-il s'attendre pour chaque partie ?

5. Quelle devrait être la mise m pour que le jeu soit équitable ?

 Solution

difficulté 2/3

exercice 5

La surface d'un cube de bois tendre et léger, de n cm de coté (nappartientN, n>1), est entièrement peinte en rouge.
On le découpe ensuite en petits cubes de 1 cm³ (chaque arête est donc découpée en n segments égaux), et on dépose tous les dés dans un sac de toile.
Expérience étudiée : on tire un dé dans le sac, et on s'intéresse au nombre de faces rouges du dé obtenu.
On suppose que le sac est suffisamment grand pour que le choix d'un dé soit réalisé dans une situation d'équiprobabilité.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de faces rouges du petit cube extrait du sac.

A) Cas particulier n=3.
Exercices d'application : loi de probabilité et variable aléatoire : image 1

1) Établir la loi de probabilité de X.
2) Calculer son espérance. Donner son interprétation dans le contexte de l'expérience.
3) Calculer l'écart-type de X.

B) Cas général : le cube initial, de n cm de coté, est découpé en petits dés de 1cm³.

1) Établir la nouvelle loi de probabilité de X, en fonction de n.
2) Calculer son espérance.
3) On décide du jeu suivant :
Chaque participant, moyennant une mise de 1 euro par partie, pioche au hasard un dé dans le sac, et gagne 1 euro par face rouge comptée sur son dé.
Quelle valeur de n doit-on préalablement choisir pour que le jeu soit équitable ?

 Solution

difficulté 2/3

exercice 6

Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires.
Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A

Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.
1. Soit R l'événement " le joueur obtient une boule rouge ".
Montrer que p(R) = 0,15.

2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ?

Partie B

Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).
Soit x un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs 2x \, , \, x - 2 et -4.

1. Déterminer la loi de probabilité de G.

2. Exprimer l'espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de x.

3. Pour quelles valeurs de x a-t-on E(G) \geq 0 ?


 Solution


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carita
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