Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs et 3 jetons noirs.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.
1. On note A l'évènement « obtenir deux jetons blancs ».
Démontrer que la probabilité de l'évènement A est égale à .
2. Soit la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer l'espérance mathématique de .
Solution
Solution 1.
Les jetons sont indiscernables au toucher; le tirage s'effectue dans des conditions d'équiprobabilité.
Le tirage simultané de deux jetons est assimilable à un tirage sans remise; on peut s'aider d'un arbre pondéré.
Pour le premier tirage, on prend 1 jeton parmi 10; pour le second tirage, on prend 1 jeton parmi les 9 restants.
On déduit la probabilité d'obtenir 2 jetons blancs : p(A) = p(BB) = (7/10)*(2/3) = 7/15
2. a)
X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.
p(X=0) = p(NN) = p(N)* pN(N) = (3/10) * (2/9) = 1/15
p(X=1) = p((BN) (NB)) = p(B)* pB(N) + p(N)* pN(B))
= (7/10) * (1/3) + (3/10) * (7/9) = 7/15
On peut présenter la loi de probabilité de X dans le tableau suivant :
On vérifie que (1/15) + (7/15) + (7/15) = 1
b) Espérance de X
difficulté 1/3
exercice 2
Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.
On extrait simultanément et au hasard deux boules de l'urne.
On note la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.
1. Vérifier que puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
3. Calculer la probabilité de l'évènement suivant :
A : «les deux boules tirées sont de même couleur».
Solution
Solution 1.
Les boules sont indiscernables au toucher, le tirage s'effectue donc en situation d'équiprobabilité.
On peut s'aider d'un arbre pondéré qui traduit le tirage des deux boules sans remise.
La variable X peut prendre les valeurs 0, 1 et 2.
p(X=0) = p(RR) = p(R)* pR(R) = (3/5) * (1/2) = 3/10
p(X=1) = p((VR) (RV)) = (2/5) * (3/4) + (3/5) * (1/2) = 3/5
p(X=2) = 1/10
On peut présenter la loi de probabilité de X dans le tableau suivant :
On vérifie que (3/10) + (3/5) + (1/10) = 1
2. Espérance de X
3. L'évènement A : «les deux boules tirées sont de même couleur»
est réalisé lorsqu'on tire soit 2 boules rouges (cas X=0), soit 2 boules vertes (cas X=2).
Ainsi A peut s'exprimer de deux façons :
A = (X=0) (X=2), d'où p(A) = p(X=0) + p(X=2) = (3/10) + (1/10) = 0.4
(X=1) est l'événement complémentaire de A, d'où p(A) = 1 - p(X=1) = 1 - (3/5) = 0.4
difficulté 1/3
exercice 3
Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.
La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.
La règle du jeu est la suivante :
Le joueur mise 1 euro et lance la roue A.
S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
2. Soient E et F les évènements :
E : « à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
F : « à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».
Montrer que et .
3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 euros, si une seule des cases est rouge
le joueur
reçoit 2 euros, sinon il ne reçoit rien.
désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur
(rappel le joueur mise 1 euro).
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer l'espérance mathématique de et en donner une interprétation.
Solution
Solution 1. Arbre pondéré :
2. D'après l'arbre de la question 1., on a :
3. a) Si les 2 cases sont rouges, le joueur reçoit 10 euros alors qu'il avait misé 1 euro, il gagne donc 9 euros : X = 9.
donc Si une seule case est rouge, le joueur reçoit 2 euros alors qu'il avait misé 1 euro ,il gagne donc 1 euro : X = 1.
Donc Sinon (si les 2 cases sont noires), le joueur ne reçoit rien alors qu'il avait misé 1 euro, il perd donc 1 euro : X = -1.
donc
D'où la loi de probabilité de X :
3. b) En application de la formule de l'espérance mathématique :
Interpréation : en moyenne, le joueur perd 0,46 euro à chaque tour. Quelle arnaque ! (mais il faut bien que l'organisateur du jeu gagne sa vie)
difficulté 2/3
exercice 4
Les règles d'un jeu sont définies de la façon suivante :
Le joueur tire successivement et sans remise, 2 cartes dans un de jeu de 32 cartes, faces cachées.
- lorsqu'une carte tirée est une figure (F), soit roi, dame, ou valet, il gagne 2 euros;
- lorsqu'une carte tirée est un as (A), il gagne 3 euros;
- lorsqu'une carte (C) autre que F ou A est tirée, il perd 1 euros.
On additionne les gains obtenus par le tirage des 2 cartes.
On note G la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue de l'épreuve.
1. Représenter l'expérience aléatoire par un arbre pondéré.
2. Déterminer la loi de probabilité de G.
3. Calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire. Que pensez-vous de ce jeu ?
4. Après réflexion, l'organisateur du jeu décide de demander une mise de jeu de 2 euros à chaque partie.
A quel gain (ou à quelle perte) l'organisateur peut-il s'attendre pour chaque partie ?
5. Quelle devrait être la mise pour que le jeu soit équitable ?
Solution
Solution 1.
L'univers des possibles de l'expérience est :
={FF; FA; FC; AF; AA; AC; CF; CA; CC}.
L'arbre de probabilité devra donc présenter 9 issues.
On tire 1 première carte (sur les 32) et on ne la remet pas dans le paquet puisque le tirage est sans remise;
ainsi, pour le second tirage, on prend une carte parmi 31.
Dans un jeu de 32 cartes, on dénombre : 3*4 = 12 figures (F) ; 4 as (A) ; 16 autres cartes (C)
Pour chacune des 9 issues de l'arbre pondéré, on peut déjà noter le gain obtenu à l'issue de l'expérience.
2.
L'ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire est G() = {-2; 1; 2; 4; 5; 6}.
Calcul des probabilités :
- l'événement (G=-2) correspond à une seule issue, l'issue (CC) d'où p(G=-2) = (16/32) * (15/31) = 240/992
- en revanche, on dénombre deux façons d'obtenir l'événement (G=1), qui est la réunion des issues (FC) et (CF).
d'où p(G=1) = (12/32) * (16/31) + (16/32) * (12/31) = 384/992
- par raisonnement analogue, on calcule les probabilités pi = p(G=gi) de toutes les valeurs gi.
- on vérifie que la somme des pi est bien égale à 1, et on présente
la loi de probabilité de G dans un tableau.
3. A la calculatrice :
Espérance E(G) 1.25 euros
Variance V(G) 5.29 ; écart-type (G) 2.3 euros
Sur un grand nombre de parties, le joueur peut espérer un gain moyen de 1.25 euros par partie.
En revanche, l'écart-type de 2.30 euros révèle un risque à prendre en compte dans la décision de jouer...
4.
Du point de vue du joueur : nous avons établi que son gain moyen pour une partie est de 1.25 euros.
S'il doit miser 2 euros de participation, son espérance de gain diminue d'autant.
Du point de vue de l'organisateur du jeu, chaque partie représente une perte potentielle
égale à l'opposé du gain algébrique du joueur.
Soit X la variable aléatoire qui représente le gain de l'organisateur pour chaque partie jouée;
X peut s'exprimer en fonction de G, et on a : X = -(G-2)= -G+2
Une propriété de l'espérance nous permet de calculer rapidement l'espérance de X :
E(X) = E(-G+2) = -E(G) + 2 = -1.25+2=0.75
L'organisateur peut s'attendre à un gain de 0.75 euros pour chaque partie.
5. Le jeu est équitable (pour le joueur et pour l'organisateur) lorsque l'espérance de gain algébrique du joueur est nulle,
c'est-à-dire E(G) - m = 0.
d'où m = 1.25 euros
difficulté 2/3
exercice 5
La surface d'un cube de bois tendre et léger, de n cm de coté (n, n>1),
est entièrement peinte en rouge.
On le découpe ensuite en petits cubes de 1 cm³ (chaque arête est donc découpée en n segments égaux),
et on dépose tous les dés dans un sac de toile.
Expérience étudiée : on tire un dé dans le sac, et on s'intéresse au nombre de faces rouges du dé obtenu.
On suppose que le sac est suffisamment grand pour que le choix d'un dé soit réalisé dans une situation d'équiprobabilité.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de faces rouges du petit cube extrait du sac.
A) Cas particulier n=3.
1) Établir la loi de probabilité de X. 2) Calculer son espérance. Donner son interprétation dans le contexte de l'expérience. 3) Calculer l'écart-type de X.
B) Cas général : le cube initial, de n cm de coté, est découpé en petits dés de 1cm³.
1) Établir la nouvelle loi de probabilité de X, en fonction de n. 2) Calculer son espérance. 3) On décide du jeu suivant :
Chaque participant, moyennant une mise de 1 euro par partie, pioche au hasard un dé dans le sac,
et gagne 1 euro par face rouge comptée sur son dé.
Quelle valeur de n doit-on préalablement choisir pour que le jeu soit équitable ?
Solution
Solution A) Cas particulier n=3.
1) Loi de probabilité de X
Dans un cube de 3 cm de coté, on peut découper 33=27 dés de 1 cm³.
Le tirage s'effectue dans des conditions d'équiprobabilité,
donc la probabilité de tirage de chaque dé est de 1/27.
Selon la position initiale du dé dans le cube, le nombre de faces rouges du dé,
donc X, peut être égal à 3, 2, 1 ou 0.
On dénombre :
8 dés avec 3 faces rouges, correspondants aux 8 sommets du cube initial, soit p(X=3) = 8 * 1/27 = 8/27
12 dés avec 2 faces rouges, soit p(X=2)=12/27
6 dés avec 1 face rouge, soit p(X=1)=6/27
1 dé sans aucune face rouge, soit p(X=0)=1/27
Le graphique ci-dessous peut aider à dénombrer le nombre de dés à 2 faces rouges (ici, mis en évidence en bleu).
On peut présenter la loi de probabilité de X dans le tableau suivant :
On vérifie que
2) Espérance de X
E(X) = (1/27)(0*1 + 1*6 + 2*12 + 3*8) = 54/27 = 2.
En moyenne sur un grand nombre de tirages, on peut espérer que le dé tiré ait 2 faces rouges.
3)
Variance de X :
Ecart-type de X :
B) Cas général :
1) Loi de probabilité de X
Dans un cube de n cm de coté, on peut découper n³ dés de 1 cm³.
Le tirage s'effectue dans des conditions d'équiprobabilité,
donc la probabilité de tirage de chaque dé est de 1/n³.
On dénombre :
8 dés avec 3 faces rouges : les 8 sommets du cube.
12(n-2) dés avec 2 faces rouges : (n-2) dés sur chaque arête.
6(n-2)² dés avec 1 seule face rouge : sur chaque face carrée de coté n, on déduit les dés déjà comptés sur le périmètre.
(n-2)3 dés sans face rouge : "l'intérieur" du cube initial.
On vérifie que ,
et on présente la loi de probabilité de X :
2)Espérance de X
3)
Chaque face rouge gagne 1 euro, donc le gain aléatoire du joueur est assimilable à la variable aléatoire X.
Le gain algébrique du joueur est égal à ce qu'il a gagné dans la partie, moins sa mise de 1 euro.
Le jeu sera équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle, soit E(X-1)=0.
on résout l'équation :
E(X) - 1 = 0
E(X) = 1
6/n = 1, soit
difficulté 2/3
exercice 6
Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires.
Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.
Partie A
Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.
1. Soit R l'événement " le joueur obtient une boule rouge ".
Montrer que p(R) = 0,15.
2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ?
Partie B
Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).
Soit un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs et -4.
1. Déterminer la loi de probabilité de G.
2. Exprimer l'espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de .
3. Pour quelles valeurs de a-t-on E(G) 0 ?
Solution
Solution
Partie A
1. Soit A l'évènement "le chiffre sur le dé est 1" (et donc il tire une boule dans l'urne A).
Il y a 2 manières d'obtenir une boule rouge :
soit il obtient 1 au dé et il tire une des 4 boules rouges parmi les 10 boules de l'urne A :
soit il n'obtient pas 1 au dé et il tire la seule boule rouge parmi les 10 boules de l'urne B :
D'où :
2. On calcule : et donc Si la boule tirée est rouge, la probabilité qu'elle provienne de l'urne A n'est donc pas supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de l'urne B.
Partie B
1. si et seulement si les 2 boules tirées sont rouges, donc si et seulement si la 1ère boule est rouge mais pas la 2ème ou la 2ème mais pas la 1ère, donc :
si et seulement si les 2 boules tirées ne sont pas rouges, donc
2. Calcul de l'espérance mathématique
3.
Publié par malou
le
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.
la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
Solution
 = \dfrac{3}{10})
puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire  = 0,02)
et  = 0,17)
.
pour que le jeu soit équitable ?
, n>1),
est entièrement peinte en rouge.
un entier naturel non nul.
et -4.
0 ?
B) = (7/10)*(2/3) = 7/15
(N
={FF; FA; FC; AF; AA; AC; CF; CA; CC}.
L'arbre de probabilité devra donc présenter 9 issues.
1.25 euros
(G) 
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