Fiche de mathématiques

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Loi Binomiale

I. Epreuve et loi de Bernoulli

Définition : Epreuve de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p (ou de probabilité p), toute expérience aléatoire qui admet exactement deux issues:
- l'une appelée succès, noté S, dont la probabilité de réalisation est $p$ (0 infegal

1),
- l'autre appelé échec, noté $\bar{S}$ , ou E, dont la probabilité de réalisation est $q=1-p$ .

Arbre de probabilité d'une épreuve de Bernoulli

Schéma de Bernoulli et loi binomiale : image 3

Exemples :
On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse à l'obtention de 'pile'. L'expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre 1/2.
succès S = "on a obtenu pile" ; p(S)=1/2
échec $\bar{S}$ = "on a obtenu face" ; $p(\bar{S})$ =1/2.

On lance un dé équilibré à 6 faces et on s'intéresse à l'événement : "Obtenir le chiffre 3". L'expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre 1/6.
succès S = « on a obtenu 3 » ; p(S)=1/6 ;
échec $\bar{S}$ = « on a obtenu un autre chiffre que 3 » ; $p(\bar{S})$ = 1-1/6 = 5/6.

On tire une boule dans une urne composée de 5 boules bleues et de 2 rouges, et on veut savoir si la boule tirée est rouge.
L'expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre 2/7.
succès S = "on a obtenu une boule rouge" ; p(S)=2/7 ;
échec $\bar{S}$ = "on a obtenu une boule bleue" ; $p(\bar{S})$ =5/7

Définition : Loi de Bernoulli

Soit une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ .
On définit une variable aléatoire $X$ à valeurs dans {0;1}, où la valeur 1 est attribuée au succès, et 0 à l'échec.
$X$ suit alors la loi de Bernoulli de paramètre p, résumée dans le tableau suivant.

$\begin{array} {|c|cccc|} \hline X & 0 &| & 1 & \\ \hline & &| & & \\ {p(X=x_i)} &1 - p& | & p & \\ & &| & & \\\hline \end{array}$

A l'aide du tableau ci-dessus, on peut rapidement vérifier que :
- l'espérance de X vaut E(X) = p
- la variance de X vaut V(X) = p(1-p)

Teste-toi

Pour chacune des épreuves suivantes, indiquer s'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli.
Le cas échéant, préciser l'événement "succès" et sa probabilité p.

1. On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On rappelle que dans un jeu de cartes, ce qu'on appelle couleur n'est pas rouge et noir, mais qu'on appelle couleur "trèfle, carreau, coeur et pique"
a. on vérifie que la carte est un Roi
b. on regarde la couleur de la carte
c. on regarde si la carte est un trèfle
d. on regarde si la carte n'est pas un coeur

2. Dans la rue :
a. on demande à une personne prise au hasard si elle est gauchère. Note : environ 90% des humains sont droitiers.
b. on relève la couleur des cheveux de cette même personne.

3. On pioche successivement et avec remise 2 jetons dans un sac qui contient 5 jetons blancs et 3 bleus.

Solutions

On retiendra :
- que le cadre d'application d'une épreuve de Bernoulli est directement dépendant de la claire définition de l'épreuve aléatoire.
- s'il y a exactement 2 issues, c'est une épreuve de Bernoulli, dont le "succès" dépend du contexte.
- s'il n'y a pas exactement 2 issues, ce n'est pas une épreuve de Bernoulli.

II. Schéma de Bernoulli

Définition

Soit n un entier naturel non nul.
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

A retenir, les trois conditions qui caractérisent un schéma de Bernoulli :
on effectue n expériences identiques,
chaque expérience a deux issues possibles,
les n expériences sont indépendantes les unes des autres.

Exemple : Dans un sac de toile qui contient 10 jetons blancs et 15 jetons bleus indiscernables au toucher, on pioche un jeton.
On note sa couleur, puis on remet le jeton dans le sac.
On répète 3 fois l'expérience, et on s'intéresse aux jetons blancs obtenus.

- les 3 tirages se font avec remise : les tirages sont donc identiques et indépendants.
- pour chaque tirage, on a une épreuve de Bernoulli, car deux issues possibles : succès S "le jeton est blanc", de probabilité p = 10/25 = 2/5 ;
ou échec $\bar{S}$ " le jeton est bleu", de probabilité q = 3/5
- on a bien un schéma de Bernoulli, de paramètres n=3 (nombre d'épreuves successives) et p = 2/5

Arbre pondéré à 3 niveaux, qui traduit cet exemple de schéma de Bernoulli :

Schéma de Bernoulli et loi binomiale : image 1

III. Loi Binomiale

1.Définition

Définition

Soit une expérience aléatoire qui réalise un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Soit X la variable aléatoire associée à ce schéma, et qui compte le nombre de succès de l'expérience.

On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p), ce qui peut s'écrire X~B(n,p).

Lors d'une telle expérience, on dit que X suit une loi binomiale B(n,p), à valeurs dans $X( \Omega)$ = { 0 ;1 ;2 ;.. ;n } .

On en déduit qu'une variable X qui suit une loi binomiale ne peut prendre que des valeurs entières positives ou nulles.

Pour justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale, il faut justifier qu'elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.

Théorème

Soient X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n,p), et k un entier naturel , 0 infegal

n.

La probabilité d'obtenir k succès se calcule avec la formule suivante : $p(X=k) = \binom{n}{k} \; p^k \; (1-p)^{n-k}$

Ce qui peut s'exprimer ainsi :
probabilité d'obtenir k succès = (nombre de chemins à k succès) × (probabilité de succès)^k × (probabilité d'échec)^n-k

La notation $\binom{n}{k}$ (ou $C_{n}^{k}$ ancienne notation) se lit : « k parmi n » ; c'est le nombre de chemins qui correspondent à k succès.

Les nombres entiers naturels $\binom{n}{k}$ sont les coefficients binomiaux, dont l'étude n'est pas au programme de 1ère.
On les obtient avec la calculatrice (voir paragraphe suivant).

Il est toutefois utile de retenir que pour tout entier naturel n, on a :

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$

$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$

Exemple

A retenir : pour montrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale,

Identifier une épreuve de Bernoulli : son succès et sa probabilité p,
Justifier la répétition de l'épreuve n fois de manière identique et indépendante,
Définir X sans ambiguïté : X compte le nombre de succès obtenus dans l'expérience,
Conclure que X~B(n,p)
On peut également préciser l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs possibles de X, ainsi que la loi de probabilité de X : $p(X=k) = \binom{n}{k} \; p^k \; (1-p)^{n-k}$

2. Loi binomiale et Calculatrice

CASIO :
Calcul de $\binom{n}{k}$ : Menu Proba / saisir n / touche nCr / saisir k
Calcul de p(X=k) : Menu Calcul / Stat / Dist / BINM / Bpd / mode variable, saisir k, n, p
Calcul de p(X infegal

k) : : Menu Calcul / Stat / Dist / BINM / Bcd / mode variable, saisir k, n, p

TI :
Calcul de $\binom{n}{k}$ : saisir n / Math-Proba-Combinaison / saisir k
Calcul de p(X=k) : Distrib / binomFdp / saisir n,p,k
Calcul de p(X infegal

k) : Distrib / binomFRép / saisir n,p,k

Pour t'entrainer sur un exemple : X ~ B(10 ;0.4)
p(X=7) = 0.042467
p(X<=6) = 0.945238

3. Espérance et écart-type

Théorème

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.

L'espérance de X est E(X) = np
La variance de X est V(X) = np(1-p) = npq
L'écart-type de X est : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{npq}$

Teste-toi

exercice 1.

Une urne contient 6 boules jaunes et 8 boules bleues indiscernables au toucher.
On tire une boule, on note la couleur obtenue avant de la remettre dans l'urne, et on renouvelle 4 fois l'expérience.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules jaunes tirées.

a) Justifier que X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres.
b) Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau.
c) A partir du tableau et de la formule générale de l'espérance d'une variable aléatoire, vérifier que E(X)=np.
d) Calculer p(X infegal

2), p(X>2)

exercice 2.

Dans des conditions identiques et indépendantes, on lance 5 fois un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
A chaque lancer, on gagne 3 euros si on obtient un chiffre multiple de 3, et on perd 2 euros dans le cas contraire.
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue des cinq lancers.
La variable X suit-elle la loi binomiale B(5;1/3) ?

Solutions

Publié par malou/carita le 15-01-2021

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