On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p (ou de probabilité p),
toute expérience aléatoire qui admet exactement deux issues:
- l'une appelée succès, noté S, dont la probabilité de réalisation est (0 p 1),
- l'autre appelé échec, noté , ou E, dont la probabilité de réalisation est .
Arbre de probabilité d'une épreuve de Bernoulli
Exemples :
On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse à l'obtention de 'pile'.
L'expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre 1/2.
succès S = "on a obtenu pile" ; p(S)=1/2
échec = "on a obtenu face" ; =1/2.
On lance un dé équilibré à 6 faces et on s'intéresse à l'événement : "Obtenir le chiffre 3".
L'expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre 1/6.
succès S = « on a obtenu 3 » ; p(S)=1/6 ;
échec = « on a obtenu un autre chiffre que 3 » ; = 1-1/6 = 5/6.
On tire une boule dans une urne composée de 5 boules bleues et de 2 rouges,
et on veut savoir si la boule tirée est rouge.
L'expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre 2/7.
succès S = "on a obtenu une boule rouge" ; p(S)=2/7 ;
échec = "on a obtenu une boule bleue" ; =5/7
Définition : Loi de Bernoulli
Soit une épreuve de Bernoulli de probabilité .
On définit une variable aléatoire à valeurs dans {0;1}, où la valeur 1 est attribuée au succès,
et 0 à l'échec. suit alors la loi de Bernoulli de paramètre p, résumée dans le tableau suivant.
A l'aide du tableau ci-dessus, on peut rapidement vérifier que :
- l'espérance de X vaut E(X) = p
- la variance de X vaut V(X) = p(1-p)
Teste-toi
Pour chacune des épreuves suivantes, indiquer s'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli.
Le cas échéant, préciser l'événement "succès" et sa probabilité p.
1. On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On rappelle que dans un jeu de cartes, ce qu'on appelle couleur n'est pas rouge et noir, mais qu'on appelle couleur "trèfle, carreau, coeur et pique"
a. on vérifie que la carte est un Roi
b. on regarde la couleur de la carte
c. on regarde si la carte est un trèfle
d. on regarde si la carte n'est pas un coeur
2. Dans la rue :
a. on demande à une personne prise au hasard si elle est gauchère. Note : environ 90% des humains sont droitiers.
b. on relève la couleur des cheveux de cette même personne.
3. On pioche successivement et avec remise 2 jetons dans un sac qui contient 5 jetons
blancs et 3 bleus.
Solutions
Solutions 1.
a. On vérifie que la carte est un Roi. deux issues possibles à cette expérience :
- soit la carte est un roi et on est en situation de succès de l'épreuve,
- soit la carte n'est pas un roi.
Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli, de succès S = "la carte est un roi", et de probabilité p = 4/32 = 1/8.
b. on regarde la couleur de la carte
Il y a quatre issues possibles à cette expérience : coeur, trèfle, carreau, pique.
Il ne s'agit donc pas d'une épreuve de Bernoulli.
c. on regarde si la carte est un trèfle
- soit la carte est un trèfle (8 cartes sur 32),
- soit elle ne l'est pas.
Il y a donc deux issues possibles à cette expérience : il s'agit d'une épreuve de Bernoulli,
de succès S = "la carte est un trèfle", et de probabilité p = 4/32 = 1/8.
d. on regarde si la carte n'est pas un coeur.
deux issues possibles à cette expérience :
soit la carte n'est pas un coeur : succès S = "la carte n'est pas un coeur" (24 cartes sur 32),
soit la carte est un coeur (8 cartes sur 32).
Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli, de probabilité (ou paramètre) p = 24/32 =3/4
2. Dans la rue :
a. on demande à une personne prise au hasard si elle est gauchère.
Note : environ 90% des humains sont droitiers.
deux issues possibles à cette expérience :
- "la personne est gauchère" (succès), de probabilité p = 0.1
- "la personne est droitière" (échec), de probabilité q = 0.9
b. on relève la couleur des cheveux de cette personne.
il y a plus de deux issues possibles (brun, châtain, blond, roux...)
Il ne s'agit donc pas d'une épreuve de Bernoulli.
3. on pioche successivement et avec remise 2 jetons dans un sac qui contient 5 jetons blancs et 3 bleus.
Rien n'est précisé quant au critère étudié sur cette expérience : s'intéresse-t-on aux jetons blancs ? aux bleus ?
à l'ordre de sortie ?
Il ne s'agit pas d'une épreuve de Bernoulli.
On retiendra :
- que le cadre d'application d'une épreuve de Bernoulli est directement dépendant
de la claire définition de l'épreuve aléatoire.
- s'il y a exactement 2 issues, c'est une épreuve de Bernoulli, dont le "succès" dépend du contexte.
- s'il n'y a pas exactement 2 issues, ce n'est pas une épreuve de Bernoulli.
II. Schéma de Bernoulli
Définition
Soit n un entier naturel non nul.
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
A retenir, les trois conditions qui caractérisent un schéma de Bernoulli :
on effectue n expériences identiques,
chaque expérience a deux issues possibles,
les n expériences sont indépendantes les unes des autres.
Exemple :
Dans un sac de toile qui contient 10 jetons blancs et 15 jetons bleus indiscernables au toucher, on pioche un jeton.
On note sa couleur, puis on remet le jeton dans le sac.
On répète 3 fois l'expérience, et on s'intéresse aux jetons blancs obtenus.
- les 3 tirages se font avec remise : les tirages sont donc identiques et indépendants.
- pour chaque tirage, on a une épreuve de Bernoulli, car deux issues possibles : succès S "le jeton est blanc",
de probabilité p = 10/25 = 2/5 ; ou échec " le jeton est bleu", de probabilité q = 3/5
- on a bien un schéma de Bernoulli, de paramètres n=3 (nombre d'épreuves successives) et p = 2/5
Arbre pondéré à 3 niveaux, qui traduit cet exemple de schéma de Bernoulli :
III. Loi Binomiale
1.Définition
Définition
Soit une expérience aléatoire qui réalise un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Soit X la variable aléatoire associée à ce schéma, et qui compte le nombre de succès de l'expérience.
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p),
ce qui peut s'écrire X~B(n,p).
Lors d'une telle expérience, on dit que X suit une loi binomiale B(n,p), à valeurs dans = { 0 ;1 ;2 ;.. ;n } .
On en déduit qu'une variable X qui suit une loi binomiale ne peut prendre que des valeurs entières positives ou nulles.
Pour justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale,
il faut justifier qu'elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.
Théorème
Soient X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n,p), et k un entier naturel , 0 k n.
La probabilité d'obtenir k succès se calcule avec la formule suivante :
Ce qui peut s'exprimer ainsi :
probabilité d'obtenir k succès = (nombre de chemins à k succès) × (probabilité de succès)k
× (probabilité d'échec)n-k
La notation (ou ancienne notation) se lit : « k parmi n » ; c'est le nombre de chemins qui correspondent à k succès.
Les nombres entiers naturels sont les coefficients binomiaux, dont l'étude
n'est pas au programme de 1ère.
On les obtient avec la calculatrice (voir paragraphe suivant).
Il est toutefois utile de retenir que pour tout entier naturel n, on a :
Exemple
Reprenons l'exemple précédent.
On extrait successivement et avec remise 3 jetons dans un sac de toile qui contient 10 jetons blancs et 15 jetons bleus,
indiscernables au toucher.
On s'intéresse à l'événement : "obtenir un jeton blanc".
Soit X la variable aléatoire associée à l'expérience, qui compte le nombre de jetons blancs obtenus.
Établir la loi de probabilité de X.
On a établi que l'expérience réalise un schéma de Bernoulli, de paramètres n=3
(épreuves identiques et indépendantes),
et de probabilité de succès p = 0.4. X suit donc la loi binomiale B(3 ; 0.4);
La loi de proba de X est donnée par
Pour cet exemple, complétons l'arbre pondéré avec la valeur de X qui correspond à chaque issue.
X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, ou 3.
L'événement (X=0) peut s'exprimer ainsi : aucun jeton blanc (0 succès) et 3 jetons bleus (3 échecs).
sur l'arbre pondéré, une seule issue réalise cet événement; et en effet
d'où
Pour l'événement (X=1), on dénombre 3 issues possibles (nombre de chemins à 1 succès); et en effet
d'où
On peut présenter la loi de probabilité de X dans le tableau suivant :
A retenir : pour montrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale,
Identifier une épreuve de Bernoulli : son succès et sa probabilité p,
Justifier la répétition de l'épreuve n fois de manière identique et indépendante,
Définir X sans ambiguïté : X compte le nombre de succès obtenus dans l'expérience,
Conclure que X~B(n,p)
On peut également préciser l'ensemble des valeurs possibles de X,
ainsi que la loi de probabilité de X :
2. Loi binomiale et Calculatrice
CASIO :
Calcul de : Menu Proba / saisir n / touche nCr / saisir k
Calcul de p(X=k) : Menu Calcul / Stat / Dist / BINM / Bpd / mode variable, saisir k, n, p
Calcul de p(Xk) : : Menu Calcul / Stat / Dist / BINM / Bcd / mode variable, saisir k, n, p
TI :
Calcul de : saisir n / Math-Proba-Combinaison / saisir k
Calcul de p(X=k) : Distrib / binomFdp / saisir n,p,k
Calcul de p(Xk) : Distrib / binomFRép / saisir n,p,k
Pour t'entrainer sur un exemple : X ~ B(10 ;0.4)
p(X=7) = 0.042467
p(X<=6) = 0.945238
3. Espérance et écart-type
Théorème
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p.
L'espérance de X est E(X) = np
La variance de X est V(X) = np(1-p) = npq
L'écart-type de X est :
Teste-toi
exercice 1.
Une urne contient 6 boules jaunes et 8 boules bleues indiscernables au toucher.
On tire une boule, on note la couleur obtenue avant de la remettre dans l'urne, et on renouvelle 4 fois l'expérience.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules jaunes tirées.
a) Justifier que X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres. b) Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau. c) A partir du tableau et de la formule générale de l'espérance d'une variable aléatoire, vérifier que E(X)=np. d) Calculer p(X2), p(X>2)
exercice 2.
Dans des conditions identiques et indépendantes, on lance 5 fois un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
A chaque lancer, on gagne 3 euros si on obtient un chiffre multiple de 3, et on perd 2 euros dans le cas contraire.
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l'issue des cinq lancers.
La variable X suit-elle la loi binomiale B(5;1/3) ?
Solutions
exercice 1.
a)
Les 14 boules dans l'urne sont indiscernables au toucher ; le tirage s'effectue dans des conditions d'équiprobabilité.
L'obtention d'une boule jaune est une épreuve à deux issues. C'est un schéma de Bernoulli :
- succès S = "la boule tirée est jaune", de probabilité p = 6/14=3/7
- échec = "la boule tirée est bleue" de probabilité q = 1-p=4/7
On répète ainsi 4 épreuves identiques et indépendantes ; l'expérience décrit un schéma de Bernoulli de paramètres n=4 et p=3/7.
X compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli ; X suit donc la loi binomiale B(4 , 3/7).
b) X peut prendre les valeurs de 0 à 4. Pour tout k [0 ; 4],
A l'aide de la calculatrice, on calcule les différentes probabilités p(X=k) et on complète le tableau :
On vérifie que la somme des probabilités est égale à 1.
c)
Calculons l'espérance avec la formule générale :
Par ailleurs, d'après le cours, l'espérance de X ~ B(4,3/7) est E(X) = np = 4*3/7 = 12/7
Une commande de la calculatrice permet de trouver directement ce résultat :
CASIO : Menu Calcul / Stat / Dist / BINM / Bcd / mode variable, saisir 2, 4, 3/7
TI : Distrib / binomFRép / saisir 4,3/7,2
L'événement (X>2) est réalisé lorsque X=3 ou X=4, c'est donc l'événement contraire de (X2).
Donc p(X>2) = 1 - p (X2) 1 - 0.786 0.214
exercice 2.
Les seules valeurs que peut prendre une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(5 ;1/3) sont 0,1,2,3,4 ou 5.
Or la variable aléatoire X ainsi définie dans l'énoncé ne compte pas le nombre de succès, mais le gain au jeu :
les valeurs que prendre X sont comprises entre -10 euros (on perd 2 à chacune des 5 épreuves) et
+15 euros (on gagne 3 à chacune des 5 épreuves).
De surcroit, X peut prendre des valeurs négatives, ce qui est impossible pour une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.
X ne suit donc pas une loi binomiale.
Publié par malou/carita
le
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