Sur l'arbre pondéré ci-dessus,
le chemin matérialisé en rouge représente la réalisation de l'évènement A suivie de celle de l'événement C.
On suppose que l'évènement A a une probabilité non nulle.
La probabilité de réalisation de l'événement C sachant que A est déjà réalisé se note pA(C),
et se lit « probabilité de C sachant A » ;
c'est le poids de la branche secondaire qui relie les événements A et C.
pA(C) est une probabilité conditionnelle, car la réalisation de C dépend de celle de A.
A savoir
Sur les branches secondaires d'un arbre pondéré, on lit toujours une probabilité conditionnelle.
La règle concernant la probabilité de l'issue (A ET C) s'applique ici aussi :
p(AC) = p(A) pA(C), d'où la formule suivante :
Formule des probabilités conditionnelles
A et B étant deux événements avec A de probabilité non nulle, on a :
soit
Propriété : (on remarquera que le conditionnement doit se faire
par rapport au même événement, ici A )
II. Arbre pondéré et probabilités totales
Formule des probabilités totales
Si forment une partition de l'univers alors, pour tout événement B de l'univers,
on a :
Ce qui peut se dire : la probabilité d'un événement associé à plusieurs issues est égale à la somme
des probabilités de chacune de ses issues.
Un cas fréquent est d'utiliser une partition de l'univers par un ensemble et son complémentaire .
ce qui donne :
exercice d'application
Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients,
s'ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire,
* d'utiliser celle-ci en mode sans contact
(quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 50 )
* ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).
Il remarque que :
75 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 50 . Parmi eux :
* 35 % paient en espèces ;
* 40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
* les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
25 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 50 . Parmi eux :
* 80 % paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
* les autres paient en espèces.
On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les évènements suivants :
V : « pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 50 » ;
E : « pour son achat, le client a réglé en espèces » ;
C : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret » ;
S : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ».
1.
a. Donner la probabilité de l'évènement V, ainsi que la probabilité de S sachant V .
b. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
2. a) Calculer la probabilité que, pour son achat,
le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 50 et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
b) Calculer p(C).
Corrige-toi
Correction de l'exercice d'application : 1.
a.
b. arbre pondéré.
2.
a.
b. d'après la formule des probabilités totales,
III. Evénements indépendants
1. Définition
A savoir
Soient A et B deux événements d'un univers .
A et B sont indépendants si et seulement si p(AB) = p(A) p(B)
Autrement dit, la réalisation de A n'a aucune influence sur celle de B, et vice-versa.
Exemple :
l'événement « obtenir un 5 au lancer d'un dé » n'a aucune influence sur
l'événement « extraire un 10 de coeur dans un jeu de 32 cartes ».
2. Propriétés
Soit A et B deux événements indépendants et de probabilités non nulles. On a :
la probabilité de B ne dépend pas de la réalisation de A, et inversement.
et
Remarque : démontrer l'une ou l'autre de ces égalités suffit à prouver que A et B sont indépendants.
et B sont indépendants
A et sont indépendants et sont indépendants
attention : ne pas confondre indépendants et incompatibles !
EXEMPLE :
On considère l'arbre des probabilités suivant, où A et B désignent deux événements d'un univers . 1. Calculer , p(AB), p(B), 2. A et B sont-ils indépendants ?
Exemple : solution
Solution de l'exemple
1.
on commence par calculer
2.
p(A) p(B) = 0.2 0.32 = 0.64
p(AB) = 0.08 0.64
A et B ne sont pas indépendants.
Teste-toi
Teste-toi :
Dans cet exercice, A et B désignent deux événements de l'univers d'une expérience aléatoire.
Dire, dans chaque cas, si A et B sont indépendants.
1 p(B) = 0,15 ; p(AB) = 0,02 et p(AB) = 0,5 ; 2, p(B) = 0,4 et p(A B) = 0,7.
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C) = p(A) 
pA(C),  =\dfrac{ p(A \cap{} B) }{p(A)}\quad )
 = p(A) \times p_A(B) )
+ p_A(\bar{B}) = 1 )
(on remarquera que le conditionnement doit se faire
par rapport au même événement, ici A )
et son complémentaire 
.
ce qui donne :
)
Corrige-toi
 = p(B))
et  = p(A))
et B sont indépendants
sont indépendants
.
)
, p(A)
forment une partition de l'univers 
alors, pour tout événement B de l'univers,
on a :
=p(B\cap A_1)+p(B\cap A_2)+\dots + P(B\cap A_n))
B) = p(A)
p(B)
0.64
B) = 0,5 ;
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