Fiche de mathématiques
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Probabilités conditionnelles et indépendance

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I. Arbre pondéré et probabilités conditionnelles


Probabilités conditionnelles et indépendance : image 1


Sur l'arbre pondéré ci-dessus, le chemin matérialisé en rouge représente la réalisation de l'évènement A suivie de celle de l'événement C.


On suppose que l'évènement A a une probabilité non nulle.
La probabilité de réalisation de l'événement C sachant que A est déjà réalisé se note pA(C), et se lit « probabilité de C sachant A » ;
c'est le poids de la branche secondaire qui relie les événements A et C.

pA(C) est une probabilité conditionnelle, car la réalisation de C dépend de celle de A.

A savoir
Sur les branches secondaires d'un arbre pondéré, on lit toujours une probabilité conditionnelle.


La règle concernant la probabilité de l'issue (A ET C) s'applique ici aussi : p(AinterC) = p(A) multiplie pA(C),
d'où la formule suivante :

Formule des probabilités conditionnelles

A et B étant deux événements avec A de probabilité non nulle, on a :
p_A(B) =\dfrac{ p(A \cap{} B) }{p(A)}\quad
soit p(A \cap{} B) = p(A) \times p_A(B)


Propriété : p_A(B)+ p_A(\bar{B})  = 1 (on remarquera que le conditionnement doit se faire par rapport au même événement, ici A )

II. Arbre pondéré et probabilités totales


Formule des probabilités totales
Si A_1\,,A_2\,\dots\,A_n forment une partition de l'univers omegamaj alors, pour tout événement B de l'univers, on a :
p(B)=p(B\cap A_1)+p(B\cap A_2)+\dots + P(B\cap A_n)


Ce qui peut se dire : la probabilité d'un événement associé à plusieurs issues est égale à la somme des probabilités de chacune de ses issues.

Un cas fréquent est d'utiliser une partition de l'univers par un ensemble A et son complémentaire \overline A. ce qui donne :
Probabilités conditionnelles et indépendance : image 4




exercice d'application

Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire,
* d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 50  \text{\euro})
* ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).

Il remarque que :
75 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 50  \text{\euro}. Parmi eux :
* 35 % paient en espèces ;
* 40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
* les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.

25 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 50  \text{\euro}. Parmi eux :
* 80 % paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
* les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les évènements suivants :
V : « pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 50  \text{\euro} » ;
E : « pour son achat, le client a réglé en espèces » ;
C : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret » ;
S : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ».

1.
a. Donner la probabilité de l'évènement V, ainsi que la probabilité de S sachant V .
b. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2.
a) Calculer la probabilité que, pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 50  \text{\euro} et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
b) Calculer p(C).
  Corrige-toi

III. Evénements indépendants

1. Définition


A savoir
Soient A et B deux événements d'un univers omegamaj.
A et B sont indépendants si et seulement si p(AinterB) = p(A)multiplie p(B)

Autrement dit, la réalisation de A n'a aucune influence sur celle de B, et vice-versa.

Exemple :
l'événement « obtenir un 5 au lancer d'un dé » n'a aucune influence sur l'événement « extraire un 10 de coeur dans un jeu de 32 cartes ».


2. Propriétés


Soit A et B deux événements indépendants et de probabilités non nulles. On a :

la probabilité de B ne dépend pas de la réalisation de A, et inversement.

p_A(B) = p(B) et p_B(A) = p(A)
Remarque : démontrer l'une ou l'autre de ces égalités suffit à prouver que A et B sont indépendants.

\bar{A} et B sont indépendants
A et \bar{B} sont indépendants
\bar{A} et \bar{B} sont indépendants

attention : ne pas confondre indépendants et incompatibles !

EXEMPLE :
On considère l'arbre des probabilités suivant, où A et B désignent deux événements d'un univers omegamaj.
Probabilités conditionnelles et indépendance : image 2

1. Calculer p_A(\bar{B}), p(AinterB), p(B), p_B(A)
2. A et B sont-ils indépendants ?

 Exemple : solution
 Teste-toi
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