Cours sur les barycentres
Fiche relue en 2016
I. Barycentre de deux points pondérés
Théorème :
Soient A et B deux points et
et
deux réels.
Si
, alors il existe un unique point G tel que
.
Définition :
Soient A et B deux points et
et
deux réels tels que
.
L'unique point G tel que
est appelé barycentre des points A et B affectés des coefficients
et
.
remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A,
) et (B,
),
ou encore que G est le barycentre du système {(A,
); (B,
)}.
On note : G = bar {(A,
); (B,
)}
Si
=
, on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points distincts).
Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A,
) et (B,
), avec
.
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :
démonstration :
On sait que
Donc, à l'aide de la relation de Chasles :
Donc :
Donc :
Donc :
On en déduit que :
Propriétés :
Si G est le barycentre du système {(A,
); (B,
)} avec
et A et B deux points distincts,
alors G appartient à la droite (AB) (ce qui revient à dire que les points G, A et B sont alignés).
Position du barycentre G sur la droite (AB) : si
et
et
deux réels tous deux positifs ou tous deux négatifs,
alors G appartient au segment [AB].
homogénéité : le barycentre de deux points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A,
); (B,
)} avec
,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k ×
); (B, k ×
)} avec k réel non nul.
II. Barycentre de trois points pondérés
Théorème :
Soient A, B et C trois points et
,
et
trois réels.
Si
, alors il existe un unique point G tel que
Définition :
Soient A, B et C trois points et
,
et
trois réels tels que
.
L'unique point G tel que
est appelé barycentre des points A, B et C affectés des coefficients
,
et
.
remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A,
), (B,
) et (C,
).
ou encore que G est le barycentre du système {(A,
); (B,
); (C,
)}.
On note : G = bar {(A,
); (B,
); (C,
)}
Si
=
=
, on dit que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
Si ABC est un triangle, l'isobarycentre G est le centre de gravité de ABC.
Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A,
), (B,
) et (C,
), avec
.
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :
Propriétés :
homogénéité : le barycentre de trois points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A,
); (B,
); (C,
)} avec
,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k ×
); (B, k ×
); (C, k ×
)} avec k réel non nul.
théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A,
); (B,
); (C,
)}.
Supposons que
et notons H le barycentre de {(A,
); (B,
)}.
Alors G est le barycentre de {(H,
+
); (C,
)}
III. Barycentre de n points pondérés
On généralise à n points les résultats établis pour deux ou trois points.
Théorème :
Soient A
1, A
2, ..., A
n n points et
n réels.
Si
, alors il existe un unique point G tel que
Définition :
Soient A
1, A
2, ..., A
n n points et
n réels tels que
.
L'unique point G tel que
est appelé barycentre des points A
1, A
2, ..., A
n affectés des coefficients
1,
2, ...
n.
remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A
1,
1); (A
2,
2), ... et (A
n,
n),
ou encore que G est le barycentre du système {(A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n)}.
On note : G = bar {(A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n)}
Si
1 =
2 = ... =
n, on dit que G est l'isobarycentre des points A
1, A
2, ... A
n (avec A
1, A
2, ... A
n n points dictincts).
Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n), avec
.
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :
Propriétés :
homogénéité : le barycentre de n points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A
1,
1); (A
2,
2), ... et (A
n,
n)} avec
,
alors G est aussi le barycentre du système {(A
1, k ×
1); (A
2, k ×
2); ...; (A
n, k ×
n)} avec k réel non nul.
théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n)}.
Supposons que
(p
n) et notons H le barycentre du système {(A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
p,
p)}
Alors G est le barycentre du système {(H,
1 +
2 + ... +
p); (A
p+1,
p+1); ...; (A
n,
n)}.
IV. Coordonnées du barycentre
Dans un repère
, si G est le barycentre de (A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n), avec
,
et
alors les coordonnées du point G sont :
et
exemple :
A, B et C sont trois points tels que A(-2; 3), B(2; 4) et C(1; -1).
Le barycentre G de {(A, 4); (B, 3); (C, -2)} a pour coordonnées le couple (x
G; y
G) tel que :
et