Cours sur les barycentres
Fiche relue en 2016
I. Barycentre de deux points pondérés
Théorème :
Soient A et B deux points et
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
et
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
deux réels.
Si
![\alpha + \beta \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta \neq 0)
, alors il existe un unique point G tel que
![\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0})
.
Définition :
Soient A et B deux points et
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
et
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
deux réels tels que
![\alpha + \beta \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta \neq 0)
.
L'unique point G tel que
![\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0})
est appelé barycentre des points A et B affectés des coefficients
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
et
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
.
remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
) et (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
),
ou encore que G est le barycentre du système {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
)}.
On note : G = bar {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
)}
Si
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
=
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
, on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points distincts).
Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
) et (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
), avec
![\alpha + \beta \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta \neq 0)
.
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :
![\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MB}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MB})
démonstration :
On sait que
Donc, à l'aide de la relation de Chasles :
Donc :
Donc :
Donc :
On en déduit que :
Propriétés :
Si G est le barycentre du système {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
)} avec
![\alpha + \beta \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta \neq 0)
et A et B deux points distincts,
alors G appartient à la droite (AB) (ce qui revient à dire que les points G, A et B sont alignés).
Position du barycentre G sur la droite (AB) : si
![\alpha + \beta \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta \neq 0)
et
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
et
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
deux réels tous deux positifs ou tous deux négatifs,
alors G appartient au segment [AB].
homogénéité : le barycentre de deux points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
)} avec
![\alpha + \beta \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta \neq 0)
,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k ×
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B, k ×
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
)} avec k réel non nul.
II. Barycentre de trois points pondérés
Théorème :
Soient A, B et C trois points et
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
et
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
trois réels.
Si
![\alpha + \beta + \gamma \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta + \gamma \neq 0)
, alors il existe un unique point G tel que
![\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0})
Définition :
Soient A, B et C trois points et
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
et
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
trois réels tels que
![\alpha + \beta + \gamma \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta + \gamma \neq 0)
.
L'unique point G tel que
![\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0})
est appelé barycentre des points A, B et C affectés des coefficients
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
et
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
.
remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
), (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
) et (C,
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
).
ou encore que G est le barycentre du système {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
); (C,
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
)}.
On note : G = bar {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
); (C,
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
)}
Si
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
=
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
=
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
, on dit que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
Si ABC est un triangle, l'isobarycentre G est le centre de gravité de ABC.
Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
), (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
) et (C,
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
), avec
![\alpha + \beta + \gamma \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta + \gamma \neq 0)
.
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :
![\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MB} + \dfrac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MC}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MB} + \dfrac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MC})
Propriétés :
homogénéité : le barycentre de trois points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
); (C,
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
)} avec
![\alpha + \beta + \gamma \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta + \gamma \neq 0)
,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k ×
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B, k ×
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
); (C, k ×
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
)} avec k réel non nul.
théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
); (C,
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
)}.
Supposons que
![\alpha + \beta \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha + \beta \neq 0)
et notons H le barycentre de {(A,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
); (B,
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
)}.
Alors G est le barycentre de {(H,
![\alpha](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha)
+
![\beta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\beta)
); (C,
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
)}
III. Barycentre de n points pondérés
On généralise à n points les résultats établis pour deux ou trois points.
Théorème :
Soient A
1, A
2, ..., A
n n points et
![\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)
n réels.
Si
![\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0)
, alors il existe un unique point G tel que
![\alpha_1 \overrightarrow{GA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{GA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1 \overrightarrow{GA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{GA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0})
Définition :
Soient A
1, A
2, ..., A
n n points et
![\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)
n réels tels que
![\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0)
.
L'unique point G tel que
![\alpha_1 \overrightarrow{GA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{GA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1 \overrightarrow{GA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{GA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0})
est appelé barycentre des points A
1, A
2, ..., A
n affectés des coefficients
1,
2, ...
n.
remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A
1,
1); (A
2,
2), ... et (A
n,
n),
ou encore que G est le barycentre du système {(A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n)}.
On note : G = bar {(A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n)}
Si
1 =
2 = ... =
n, on dit que G est l'isobarycentre des points A
1, A
2, ... A
n (avec A
1, A
2, ... A
n n points dictincts).
Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n), avec
![\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0)
.
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :
![\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_1} + \dfrac{\alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_2} + ... + \dfrac{\alpha_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_1} + \dfrac{\alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_2} + ... + \dfrac{\alpha_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_n})
Propriétés :
homogénéité : le barycentre de n points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A
1,
1); (A
2,
2), ... et (A
n,
n)} avec
![\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0)
,
alors G est aussi le barycentre du système {(A
1, k ×
1); (A
2, k ×
2); ...; (A
n, k ×
n)} avec k réel non nul.
théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n)}.
Supposons que
![\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_p \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_p \neq 0)
(p
![\le](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\le)
n) et notons H le barycentre du système {(A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
p,
p)}
Alors G est le barycentre du système {(H,
1 +
2 + ... +
p); (A
p+1,
p+1); ...; (A
n,
n)}.
IV. Coordonnées du barycentre
Dans un repère
![(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}))
, si G est le barycentre de (A
1,
1); (A
2,
2); ...; (A
n,
n), avec
![\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0)
,
et
![A_1(x_1;y_1), A_2(x_2;y_2), \dots ,A_n(x_n;y_n)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A_1(x_1;y_1), A_2(x_2;y_2), \dots ,A_n(x_n;y_n))
alors les coordonnées du point G sont :
et ![y_G = \dfrac{\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 + ... + \alpha_n y_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_G = \dfrac{\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 + ... + \alpha_n y_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n})
exemple :
A, B et C sont trois points tels que A(-2; 3), B(2; 4) et C(1; -1).
Le barycentre G de {(A, 4); (B, 3); (C, -2)} a pour coordonnées le couple (x
G; y
G) tel que :
et ![y_G = \dfrac{4 \times 3 + 3 \times 4 - 2 \times (-1)}{4 + 3 - 2} = \dfrac{26}{5}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y_G = \dfrac{4 \times 3 + 3 \times 4 - 2 \times (-1)}{4 + 3 - 2} = \dfrac{26}{5})