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Cours sur les barycentres

Fiche relue en 2016

I. Barycentre de deux points pondérés

Théorème :

Soient A et B deux points et $\alpha$ et $\beta$ deux réels.
Si $\alpha + \beta \neq 0$ , alors il existe un unique point G tel que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}$ .

Définition :

Soient A et B deux points et $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\alpha + \beta \neq 0$ .
L'unique point G tel que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}$ est appelé barycentre des points A et B affectés des coefficients $\alpha$ et $\beta$ .

remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, $\alpha$ ) et (B, $\beta$ ),
ou encore que G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )}.
On note : G = bar {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )}
Si $\alpha$ = $\beta$ , on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points distincts).

Théorème :

Soit G le barycentre des points pondérés (A, $\alpha$ ) et (B, $\beta$ ), avec $\alpha + \beta \neq 0$ .
Alors, pour tout point M du plan, on a : $(\alpha + \beta) \overrightarrow{MG} = \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}$
D'où l'on déduit : $\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MB}$

démonstration :
On sait que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$
Donc, à l'aide de la relation de Chasles : $\alpha (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MA}) + \beta (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB}) = \overrightarrow{0}$
Donc : $\alpha \overrightarrow{GM} + \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{GM} + \beta \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$
Donc : $(\alpha + \beta) \overrightarrow{GM} = -(\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB})$
Donc : $(\alpha + \beta) \overrightarrow{MG} = \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}$
On en déduit que : $\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MB}$

Propriétés :

Si G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )} avec $\alpha + \beta \neq 0$ et A et B deux points distincts,
alors G appartient à la droite (AB) (ce qui revient à dire que les points G, A et B sont alignés).
Position du barycentre G sur la droite (AB) : si $\alpha + \beta \neq 0$ et $\alpha$ et $\beta$ deux réels tous deux positifs ou tous deux négatifs,
alors G appartient au segment [AB].

homogénéité : le barycentre de deux points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )} avec $\alpha + \beta \neq 0$ ,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k × $\alpha$ ); (B, k × $\beta$ )} avec k réel non nul.

II. Barycentre de trois points pondérés

Théorème :

Soient A, B et C trois points et $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ trois réels.
Si $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$ , alors il existe un unique point G tel que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Définition :

Soient A, B et C trois points et $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ trois réels tels que $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$ .
L'unique point G tel que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ est appelé barycentre des points A, B et C affectés des coefficients $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ .

remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, $\alpha$ ), (B, $\beta$ ) et (C, $\gamma$ ).
ou encore que G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ ); (C, $\gamma$ )}.
On note : G = bar {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ ); (C, $\gamma$ )}
Si $\alpha$ = $\beta$ = $\gamma$ , on dit que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
Si ABC est un triangle, l'isobarycentre G est le centre de gravité de ABC.

Théorème :

Soit G le barycentre des points pondérés (A, $\alpha$ ), (B, $\beta$ ) et (C, $\gamma$ ), avec $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$ .
Alors, pour tout point M du plan, on a : $(\alpha + \beta + \gamma) \overrightarrow{MG} = \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} + \gamma \overrightarrow{MC}$
D'où l'on déduit : $\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MB} + \dfrac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MC}$

Propriétés :

homogénéité : le barycentre de trois points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ ); (C, $\gamma$ )} avec $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$ ,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k × $\alpha$ ); (B, k × $\beta$ ); (C, k × $\gamma$ )} avec k réel non nul.

théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ ); (C, $\gamma$ )}.
Supposons que $\alpha + \beta \neq 0$ et notons H le barycentre de {(A, $\alpha$ ); (B, $\beta$ )}.
Alors G est le barycentre de {(H, $\alpha$ + $\beta$ ); (C, $\gamma$ )}

III. Barycentre de n points pondérés

On généralise à n points les résultats établis pour deux ou trois points.

Théorème :

Soient A₁, A₂, ..., A_n n points et $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ n réels.
Si $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0$ , alors il existe un unique point G tel que $\alpha_1 \overrightarrow{GA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{GA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0}$

Définition :

Soient A₁, A₂, ..., A_n n points et $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ n réels tels que $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0$ .
L'unique point G tel que $\alpha_1 \overrightarrow{GA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{GA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0}$ est appelé barycentre des points A₁, A₂, ..., A_n affectés des coefficients $\alpha$ ₁, $\alpha$ ₂, ... $\alpha$ _n.

remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A₁, $\alpha$ ₁); (A₂, $\alpha$ ₂), ... et (A_n, $\alpha$ _n),
ou encore que G est le barycentre du système {(A₁, $\alpha$ ₁); (A₂, $\alpha$ ₂); ...; (A_n, $\alpha$ _n)}.
On note : G = bar {(A₁, $\alpha$ ₁); (A₂, $\alpha$ ₂); ...; (A_n, $\alpha$ _n)}
Si $\alpha$ ₁ = $\alpha$ ₂ = ... = $\alpha$ _n, on dit que G est l'isobarycentre des points A₁, A₂, ... A_n (avec A₁, A₂, ... A_n n points dictincts).

Théorème :

Soit G le barycentre des points pondérés (A₁, $\alpha$ ₁); (A₂, $\alpha$ ₂); ...; (A_n, $\alpha$ _n), avec $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0$ .
Alors, pour tout point M du plan, on a : $(\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n) \overrightarrow{MG} = \alpha_1 \overrightarrow{MA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{MA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{MA_n}$
D'où l'on déduit : $\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_1} + \dfrac{\alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_2} + ... + \dfrac{\alpha_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_n}$

Propriétés :

homogénéité : le barycentre de n points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A₁, $\alpha$ ₁); (A₂, $\alpha$ ₂), ... et (A_n, $\alpha$ _n)} avec $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0$ ,
alors G est aussi le barycentre du système {(A₁, k × $\alpha$ ₁); (A₂, k × $\alpha$ ₂); ...; (A_n, k × $\alpha$ _n)} avec k réel non nul.

théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A₁, $\alpha$ ₁); (A₂, $\alpha$ ₂); ...; (A_n, $\alpha$ _n)}.
Supposons que $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_p \neq 0$ (p $\le$ n) et notons H le barycentre du système {(A₁, $\alpha$ ₁); (A₂, $\alpha$ ₂); ...; (A_p, $\alpha$ _p)}
Alors G est le barycentre du système {(H, $\alpha$ ₁ + $\alpha$ ₂ + ... + $\alpha$ _p); (A_p+1, $\alpha$ _p+1); ...; (A_n, $\alpha$ _n)}.

IV. Coordonnées du barycentre

Dans un repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , si G est le barycentre de (A₁, $\alpha$ ₁); (A₂, $\alpha$ ₂); ...; (A_n, $\alpha$ _n), avec $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0$ , et $A_1(x_1;y_1), A_2(x_2;y_2), \dots ,A_n(x_n;y_n)$

alors les coordonnées du point G sont :

$x_G = \dfrac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n}$ et $y_G = \dfrac{\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 + ... + \alpha_n y_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n}$

exemple :
A, B et C sont trois points tels que A(-2; 3), B(2; 4) et C(1; -1).
Le barycentre G de {(A, 4); (B, 3); (C, -2)} a pour coordonnées le couple (x_G; y_G) tel que : $x_G = \dfrac{4 \times (-2) + 3 \times 2 - 2 \times 1}{4 + 3 - 2} = -\dfrac{4}{5}$ et $y_G = \dfrac{4 \times 3 + 3 \times 4 - 2 \times (-1)}{4 + 3 - 2} = \dfrac{26}{5}$

Publié par Tom_Pascal le 28-11-2019

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