Fiche de mathématiques
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Cours sur les barycentres

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Fiche relue en 2016

I. Barycentre de deux points pondérés

Théorème :
Soient A et B deux points et \alpha et \beta deux réels.
Si \alpha + \beta \neq 0, alors il existe un unique point G tel que \alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}.


Définition :
Soient A et B deux points et \alpha et \beta deux réels tels que \alpha + \beta \neq 0.
L'unique point G tel que \alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0} est appelé barycentre des points A et B affectés des coefficients \alpha et \beta.



remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, \alpha) et (B, \beta),
ou encore que G est le barycentre du système {(A, \alpha); (B, \beta)}.
On note : G = bar {(A, \alpha); (B, \beta)}
Si \alpha = \beta, on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points distincts).

Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A, \alpha) et (B, \beta), avec \alpha + \beta \neq 0.
Alors, pour tout point M du plan, on a : (\alpha + \beta) \overrightarrow{MG} = \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}
D'où l'on déduit : \overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MB}


démonstration :
On sait que \alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}
Donc, à l'aide de la relation de Chasles : \alpha (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MA}) + \beta (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB}) = \overrightarrow{0}
Donc : \alpha \overrightarrow{GM} + \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{GM} + \beta  \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}
Donc : (\alpha + \beta) \overrightarrow{GM} = -(\alpha \overrightarrow{MA} + \beta  \overrightarrow{MB})
Donc : (\alpha + \beta) \overrightarrow{MG} = \alpha \overrightarrow{MA} + \beta  \overrightarrow{MB}
On en déduit que : \overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{MB}

Propriétés :
Si G est le barycentre du système {(A, \alpha); (B, \beta)} avec \alpha + \beta \neq 0 et A et B deux points distincts,
alors G appartient à la droite (AB) (ce qui revient à dire que les points G, A et B sont alignés).
Position du barycentre G sur la droite (AB) : si \alpha + \beta \neq 0 et \alpha et \beta deux réels tous deux positifs ou tous deux négatifs,
alors G appartient au segment [AB].

homogénéité : le barycentre de deux points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A, \alpha); (B, \beta)} avec \alpha + \beta \neq 0,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k × \alpha); (B, k × \beta)} avec k réel non nul.





II. Barycentre de trois points pondérés

Théorème :
Soient A, B et C trois points et \alpha, \beta et \gamma trois réels.
Si \alpha + \beta + \gamma \neq 0, alors il existe un unique point G tel que \alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}


Définition :
Soient A, B et C trois points et \alpha, \beta et \gamma trois réels tels que \alpha + \beta + \gamma \neq 0.
L'unique point G tel que \alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} est appelé barycentre des points A, B et C affectés des coefficients \alpha, \beta et \gamma.



remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, \alpha), (B, \beta) et (C, \gamma).
ou encore que G est le barycentre du système {(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)}.
On note : G = bar {(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)}
Si \alpha = \beta = \gamma, on dit que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
Si ABC est un triangle, l'isobarycentre G est le centre de gravité de ABC.

Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A, \alpha), (B, \beta) et (C, \gamma), avec \alpha + \beta + \gamma \neq 0.
Alors, pour tout point M du plan, on a : (\alpha + \beta + \gamma) \overrightarrow{MG} = \alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} + \gamma \overrightarrow{MC}
D'où l'on déduit : \overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MB} + \dfrac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} \overrightarrow{MC}



Propriétés :
homogénéité : le barycentre de trois points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)} avec \alpha + \beta + \gamma \neq 0,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k × \alpha); (B, k × \beta); (C, k × \gamma)} avec k réel non nul.

théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)}.
Supposons que \alpha + \beta \neq 0 et notons H le barycentre de {(A, \alpha); (B, \beta)}.
Alors G est le barycentre de {(H, \alpha + \beta); (C, \gamma)}





III. Barycentre de n points pondérés

On généralise à n points les résultats établis pour deux ou trois points.
Théorème :
Soient A1, A2, ..., An n points et \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n n réels.
Si \alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0, alors il existe un unique point G tel que \alpha_1 \overrightarrow{GA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{GA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0}


Définition :
Soient A1, A2, ..., An n points et \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n n réels tels que \alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0.
L'unique point G tel que \alpha_1 \overrightarrow{GA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{GA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{GA_n} = \overrightarrow{0} est appelé barycentre des points A1, A2, ..., An affectés des coefficients \alpha1, \alpha2, ... \alphan.



remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A1, \alpha1); (A2, \alpha2), ... et (An, \alphan),
ou encore que G est le barycentre du système {(A1, \alpha1); (A2, \alpha2); ...; (An, \alphan)}.
On note : G = bar {(A1, \alpha1); (A2, \alpha2); ...; (An, \alphan)}
Si \alpha1 = \alpha2 = ... =\alphan, on dit que G est l'isobarycentre des points A1, A2, ... An (avec A1, A2, ... An n points dictincts).

Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A1, \alpha1); (A2, \alpha2); ...; (An, \alphan), avec \alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0.
Alors, pour tout point M du plan, on a : (\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n) \overrightarrow{MG} = \alpha_1 \overrightarrow{MA_1} + \alpha_2 \overrightarrow{MA_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{MA_n}
D'où l'on déduit : \overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_1} + \dfrac{\alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_2} + ... + \dfrac{\alpha_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n} \overrightarrow{MA_n}



Propriétés :
homogénéité : le barycentre de n points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A1, \alpha1); (A2, \alpha2), ... et (An, \alphan)} avec \alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0,
alors G est aussi le barycentre du système {(A1, k × \alpha1); (A2, k × \alpha2); ...; (An, k × \alphan)} avec k réel non nul.

théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A1, \alpha1); (A2, \alpha2); ...; (An, \alphan)}.
Supposons que \alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_p \neq 0 (p \le n) et notons H le barycentre du système {(A1, \alpha1); (A2,\alpha2); ...; (Ap,\alphap)}
Alors G est le barycentre du système {(H, \alpha1 + \alpha2 + ... + \alphap); (Ap+1,\alphap+1); ...; (An, \alphan)}.





IV. Coordonnées du barycentre

Dans un repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), si G est le barycentre de (A1, \alpha1); (A2, \alpha2); ...; (An, \alphan), avec \alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n \neq 0, et A_1(x_1;y_1), A_2(x_2;y_2), \dots ,A_n(x_n;y_n)

alors les coordonnées du point G sont :

x_G = \dfrac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n}     et     y_G = \dfrac{\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 + ... + \alpha_n y_n}{\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n}



exemple :
A, B et C sont trois points tels que A(-2; 3), B(2; 4) et C(1; -1).
Le barycentre G de {(A, 4); (B, 3); (C, -2)} a pour coordonnées le couple (xG; yG) tel que :
x_G = \dfrac{4 \times (-2) + 3 \times 2 - 2 \times 1}{4 + 3 - 2} = -\dfrac{4}{5}     et     y_G = \dfrac{4 \times 3 + 3 \times 4 - 2 \times (-1)}{4 + 3 - 2} = \dfrac{26}{5}
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