Un repère cartésien est formé d'un point appelé origine et de deux vecteurs non colinéaires.
On le note .
Si et sont colinéaires, ne sera que le repère d'un axe, on le note : (ou ).
Remarque : Dans un repère cartésien, les vecteurs ne sont pas obligatoirement orthogonaux et de même norme.
2. Repère orthogonal
Un repère est orthogonal s'il a ses deux vecteurs orthogonaux.
(ce qui signifie que les droites qui les supportent sont perpendiculaires) (mais pas forcément de même norme).
3. Repère orthonormal
Un repère est orthonormal (ou orthonormé) si ses vecteurs sont orthogonaux et de même norme.
II. Coordonnées dans un repère quelconque
1. Coordonnées d'un point
Un point M a pour coordonnées dans le repère si et seulement si
À savoir
Donner les coordonnées de M dans le repère , c'est donc déterminer réels tels que
On dit alors que a pour coordonnées dans le repère
2. Coordonnées d'un vecteur
Le vecteur a pour coordonnées dans la base signifie que
(une base est composée de deux vecteurs non colinéaires)
A partir d'ici, toutes les coordonnées sont données dans un même repère .
Coordonnées du vecteur
Si et alors a pour coordonnées
3. Coordonnées du milieu
Si et , alors le point I milieu de [AB] a pour coordonnées
4. Coordonnées de la somme de deux vecteurs
Si et alors
5. Coordonnées du produit d'un vecteur par un réel
Si et si est un nombre réel, alors
6. Condition de colinéarité
Deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si il existe réel tel que ou .
Deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si
III. Quelques résultats dans un repère orthonormal
Si a pour coordonnées , la norme de ce vecteur c'est à dire sa longueur est
Si et , alors
Condition d'orthogonalité :
Deux vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si
IV. Repérage en coordonnées polaires
Soit un point de coordonnées dans un repère orthonormal
On appelle et une mesure de l'angle
On dit que sont des coordonnées polaires de M dans le repère
On a donc
et donc aussi et
Publié par smil
le
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