Fiche de mathématiques
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Equations de droite

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exercice 1

On considère le quadrilatère ABCD où A(3; 3), B(3; -1), C(-2; -4) et D(-2; 0).
Démontrer que ABCD est un parallélogramme et calculer les coordonnées de son centre I.



exercice 2

Déterminer un vecteur directeur et le coefficient directeur de chacune des droites suivantes:
  (d) 2x - 5y + 7 = 0
  (d') 3y - 4x = 0
  (d'') -x = y



exercice 3

Soient les points A(3; 5), B(1; 3) et C(-3; 2).
    a) Déterminer une équation de la droite (AB).
    b) Déterminer une équation de la droite (d) passant par C et parallèle à (AB).
    c) Soit D(x; y). Déterminer les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme.
    d) On considère le point E(1; 6). Démontrer que les points C, D et E sont alignés.



exercice 4

Trouver les valeurs de x pour que les vecteurs \vec{u} et \vec{v} soient orthogonaux:
    a) \vec{u}(-2; -5)   \vec{v}(1; x+4)
    b) \vec{u}(5; 11)   \vec{v}(2; x)
    c) \vec{u}(x; 3)   \vec{v}(x; -6)




exercice 5

Trouver une équation de la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à la droite D.
    a) A(1; 1) D a pour équation x + y - 5 = 0
    b) A(-2; 3) D a pour équation 2x - y + 2 = 0



exercice 6

    a) Placer les points A(3; 6) B(1; 2) C(5; 4) dans un repère (O; \vec{i}, \vec{j}).
    b) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB].
    c) Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
    d) Calculer l'aire du triangle ABC.



exercice 7

Voici un système d'inéquations:
\left \lbrace \begin{array}{l} y + x > 1 \\ y - 2x > 1 \\ \end{array} \right.
Le résoudre graphiquement



exercice 8

Résoudre graphiquement les systèmes suivants:
    a)
\left \lbrace \begin{array}{l} y \le 3 \\ y \ge -1 \\ y \le 2x \\ y \ge 2x-2 \\ \end{array} \right.
    b)
\left \lbrace \begin{array}{l} y \le 3 \\ y \ge -1 \\ y \le -2x \\ y \ge -2x-2 \\ \end{array} \right.



exercice 9

Au cirque de Pythaville, un adulte paie x euros et un enfant y euros.
Lundi dernier, pour 20 adultes et 10 enfants, la recette était de 160 euros et le lendemain, pour 30 adultes et 60 enfants, la recette était de 420 euros.
Mais combien paie donc un adulte? Et un enfant?
    a) Résoudre ce système graphiquement.
    b) Vérifier que le couple (x; y) trouvé est bien solution des équations précédentes.
    c) Conclure.



exercice 1

Si ABCD est un parallélogramme alors \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
Or \overrightarrow{AB}(0;-4)\\\overrightarrow{DC}(0;-4)
Donc ABCD est un parallèlogramme.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leurs milieu, donc le centre I du parallélogramme est le milieu de [AC]
I\left(\dfrac{x_a+x_c}{2};\dfrac{y_a+y_c}{2}\right)
I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{-1}{2}\right)



exercice 2

2x-5y+7=0
y=\dfrac{-2x-7}{-5}
y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{7}{5}
Le coefficient directeur de (d) est \dfrac{2}{5}.
La droite d'équation y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{7}{5} et la droite d'équation y=\dfrac{2}{5}x ont le même vecteur directeur (car ils ont le même coefficient directeur).
On constate que si x=1 alors y=\dfrac{2}{5}
Le vecteur directeur de la droite (d) a pour coordonnées \left(1;\dfrac{2}{5}\right).
3y-4x=0
y=\dfrac{4}{3}x
Le coefficient directeur de (d') est \dfrac{4}{3}
On constate que si x=1alors y=\dfrac{4}{3}
Le vecteur directeur de la droite (d') a pour coordonnées \left(1;\dfrac{4}{3}\right)
y=-x
Le coefficient de la droite (d'') est -1
On constate que si x=1 alors y=-1
Le vecteur directeur de la droite (d'') a pour coordonnées \left((1;-1\right)



exercice 3

a) On sait que A(3;5) et qu'une fonction affine est de la forme y=ax+b
On se ramène donc a unsystème de deux équations à deux inconnues.
\left \lbrace \begin{array}{l}3a+b=5\\a+b=3 \\ \end{array} \right.
On trouve \left \lbrace \begin{array}{l}a=1\\\\b=2 \\ \end{array} \right.

b) L'équation de la droite passant par C et parallèle à (AB) a donc le même coefficient directeur que la droite (AB)
D'où a=1
On a donc l'équation suivante :
-3+b=2
D'où b=5

c) Si ABCD est un parallèlogramme alors \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
On a donc le système d'équation suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} -2 = -3-x \\ -2 = 2-y \\ \end{array} \right.
On trouve \left \lbrace \begin{array}{l} x=-1\\y=4\\ \end{array} \right.
Donc D(-1 ; 4).

d) Si C, D et E sont alignés alors \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{CE} sont colinéaires.
\overrightarrow{CD}(2;2)
\overrightarrow{CE}(4;4)
Si \overrightarrow{CD} et \overrightarrow{CE} sont colinéaires alors X_{\overrightarrow{CD}}\times Y_{\overrightarrow{CE}}-X_{\overrightarrow{CE}}\times Y_{\overrightarrow{CD}}
2\times 4-4\times 2 =0
Donc C, D et E sont alignés.



exercice 4

a) On détermine une équation de la droite ayant pour vecteur directeur \vec{u}
On trace la droite ayant pour vecteur directeur, le vecteur \vec{u} passant par O(0;0)
On constate que :
- L'image de 0 est 0
- L'image de -2 est -5
On a donc le système d'équation suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} b=0\\-2a+b=-5\\ \end{array} \right.
D'où \left \lbrace \begin{array}{l} a=\dfrac{5}{2}\\b=0\\ \end{array} \right.
L'équation de la droite ayant pour vecteur directeur \vec{u} est donc y=\dfrac{5}{2}x
On détermine une équation de la droite ayant pour vecteur directeur \vec{v}
On considère la droite ayant pour vecteur directeur le vecteur \vec{v} et passant par O(0;0)
On constate que
- L'image de 0 est 0
- L'image de 1 est x+4
On a donc le système d'équation suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} b=0\\x+4=a+b\\ \end{array} \right.
D'où \left \lbrace \begin{array}{l} a=x+4\\b=0\\ \end{array} \right.
Si 2 droites sont perpendiculaires alors le produit de leur coefficient directeur est égale à -1.
\dfrac{5}{2}(x+4)=-1
x=\dfrac{-22}{5}

b) On détermine une équation de la droite ayant pour vecteur directeur \vec{u}
On trace la droite ayant pour vecteur directeur, le vecteur \vec{u}passant par O(0;0)
On constate que :
- L'image de 0 est 0
- L'image de 5 est 11
On a donc le système d'équation suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} b=0\\5a+b=11\\ \end{array} \right.
D'où \left \lbrace \begin{array}{l} a=\dfrac{11}{5}\\b=0\\ \end{array} \right.
On considère la droite ayant pour vecteur directeur le vecteur \vec{v} et passant par O(0;0)
On constate que
- L'image de 0 est 0
- L'image de 2 est x
On a donc le système d'équation suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} b=0\\x=2a+b\\ \end{array} \right.
D'où \left \lbrace \begin{array}{l} a=\dfrac{x}{2}\\b=0\\ \end{array} \right.
Si 2 droites sont perpendiculaires alors le produit de leur coefficient directeur est égale à -1.
\dfrac{11}{5}\times\dfrac{x}{2}=-1
x=\dfrac{-10}{11}

c) On détermine une équation de la droite ayant pour vecteur directeur \vec{u}
On trace la droite ayant pour vecteur directeur, le vecteur \vec{u}passant par O(0;0)
On constate que :
- L'image de 0 est 0
- L'image de x est 3
On a donc le système d'équation suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} b=0\\ax+b=3\\ \end{array} \right.
D'où \left \lbrace \begin{array}{l} a=\dfrac{3}{x}\\b=0\\ \end{array} \right.
On considère la droite ayant pour vecteur directeur le vecteur \vec{v} et passant par O(0;0)
On constate que
- L'image de 0 est 0
- L'image de x est -6
On a donc le système d'équation suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} b=0\\ax+b=-6\\ \end{array} \right.
D'où \left \lbrace \begin{array}{l} a=\dfrac{-6}{x}\\b=0\\ \end{array} \right.
Si 2 droites sont perpendiculaires alors le produit de leur coefficient directeur est égale à -1.
\dfrac{3}{x}\times\dfrac{-6}{x}=-1
\dfrac{-18}{x^2}=-1
-18=-x^2
x^2=18
x=3\sqrt{2} ou x=-3\sqrt{2}



exercice 5

a) D a pour équation y=-x+5
Le produit du coefficient directeur de D et du coefficient directeur de la droite passant par A est égal à -1 car les deux droites sont perpendiculaires.
On a donc le système d'équations suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} -a=-1\\a+b=1\\ \end{array} \right.
On trouve \left \lbrace \begin{array}{l} a=1\\b=0\\ \end{array} \right.
Donc l'équation de la droite passant par A est y=x

b) D a pour équation y=2x+2
Le produit du coefficient directeur de D et du coefficient directeur de la droite passant par A est égal à -1 car les deux droites sont perpendiculaires.
On a donc le système d'équations suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} 2a=-1\\-2a+b=3\\ \end{array} \right.
On trouve \left \lbrace \begin{array}{l} a=\dfrac{-1}{2}\\b=2\\ \end{array} \right.
Donc l'équation de la droite passant par A est y=\dfrac{-1}{2}x+2



exercice 6

b) On prend un point M(x;y) situé sur la médiactrice [AB]
On sait que le point M est équidistant de A et de B donc MA=MB
Donc \sqrt{(x-3)^2+(y-6)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}
En élevant au carré, on obtient
(x-3)^2+(y-6)^2=(x-1)^2+(y-2)^2
x^2-6x+9+y^2-12y+36=x^2-2x+1+y^2-4y+4
x^2-6x+y^2-12y+45=x^2-2x+y^2-4y+5
-6x-12y+45=-2x-4y+5
-4x-8y+40=0
y=\dfrac{-1}{2}x+5

c) On détermine l'équation de la médiatrice de [AC]
On prend un point N(x;y)
On sait que le point N est équidistant de A et de C donc NA=NC
Donc \sqrt{(x-3)^2+(y-6)^2}=\sqrt{(x-5)^2+(y-4)^2}
En élevant au carré on obtient
(x-3)^2+(y-6)^2=(x-5)^2+(y-4)^2
-6x-12y+45=-10x-8y+41
4x-4y+4=-10x-8y+41
y=x+1
On cherche l'intersection des 2 médiactrices.
\dfrac{-1}{2}x+5=x+1
\dfrac{-3}{2}x+4=0
x=\dfrac{8}{3}
On cherche l'image de \dfrac{8}{3}
\left(\dfrac{8}{3}\right)+1=\dfrac{11}{3}
Le centre I du cercle circonscrit a pour coordonnées \left(\dfrac{8}{3};\dfrac{11}{3}\right)
Le rayon du cercle est égale à IA
IA=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{11}{3}-6\right)^2}
IA=sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{49}{9}}
IA=\dfrac{sqrt{50}}{3}

d) Le triangle ABC à l'air isocèle en B
Si le triangle ABC est isocèle en B alors BA=BC
Vérifions-le
BA=\sqrt{(1-3)^2+(2-6)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}
BC=\sqrt{(5-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}
Donc, le triangle ABC est isocèle en B.
On appelle H, le milieu du segment [AC]
Aire_{ABC}=\dfrac{HB\times AC}{2}
Coordonnés de H
H\left(\dfrac{3+5}{2};\dfrac{6+4}{2}\right)
H(4;5)

Distance BH
HB=\sqrt{(4-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

Distance AC
AC=\sqrt{(3-5)^2+(6-4)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

Aire_{ABC}=\dfrac{HB\times AC}{2}
Aire_{ABC}=\dfrac{3\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}{2}
Aire_{ABC}=6



exercice 7


On a le système suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} y + x > 1 \\ y - 2x > 1 \\ \end{array} \right.
On a donc
\left \lbrace \begin{array}{l} y > 1 - x \\ y > 1 + 2x \\ \end{array} \right.
On prend
\left \lbrace \begin{array}{l} f(x)=1-x (F) \\ g(x)=1+2x (G) \\ \end{array} \right.
L'ensemble des points vérifiant le système d'inéquation se trouve au dessus de la courbe F et au dessus de la courbe G. (Zone violette sur le graphique)
des problèmes sur les droites - seconde : image 4




exercice 8

a) On a le système suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} y \le 3 \\ y \ge -1 \\ y \le 2x \\ y \ge 2x-2 \\ \end{array} \right.
On prend
f(x)=3 (F)\\h(x)=-1 (H)\\i(x)=2x (I)\\g(x)=2x-2 (G)
L'ensemble des points vérifiant le système d'inéquations ce trouve au dessus de H et de G et en dessous de F et de I. (Zone verte sur le graphique)
des problèmes sur les droites - seconde : image 5


b) On a le système suivant
\left \lbrace \begin{array}{l} y \le 3 \\ y \ge -1 \\ y \le -2x \\ y \ge -2x-2 \\ \end{array} \right.
On prend
f(x)=3 (F)\\h(x)=-1 (H)\\i(x)=-2x (I)\\g(x)=-2x-2 (G)
L'ensemble des points vérifiant le système d'inéquations ce trouve au dessus de H et de G et en dessous de F et de I. (Zone bleue sur le graphique)
des problèmes sur les droites - seconde : image 6




exercice 9

a) Soit y le prix payé par un adulte.
Soit x le prix payé par un enfant.

Lundi :
20y+10x=160
y=\dfrac{-1}{2}x+8

Mardi :
30y+60x=420
y=-2x+14
des problèmes sur les droites - seconde : image 7

L'intersection des deux droites a pour coordonnées (4;6)

b) y=\dfrac{-1}{2}x+8 \\ \dfrac{-1}{2}\times 4+8=y \\ y=6     y=-2x+14\\ y=-2\times 4+14\\ y=6
Le couple (4;6) est bien solution de ce système.

c)Un adulte paie donc 6€ et un enfant, 4€.
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