Fiche de mathématiques
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Vecteurs et droites

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Fiche relue en 2016
Prérequis
Dans ce chapitre tu auras besoin de bien connaître ton cours de 2nd sur les vecteurs tant sur l'aspect calculatoire que sur l'aspect géométrique.

Enjeu
Ce chapitre a deux buts principaux. Le premier est de fournir une forme d'équation de droites qui gère à la fois les équations de la forme y=ax+b et celles de la forme x=c. Le second de savoir décomposer un vecteur selon deux autres vecteurs qui ne sont pas ceux définissant le repère initial.

I. Colinéarité

Définition
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que \vec{u}=k\vec{v} ou \vec{v}=k\vec{u}.

Remarque 1 : le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.
Remarque 2 : Deux vecteurs non nuls sont donc colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.
Vecteurs et droites : image 1



On a vu l'année dernière comment caractériser la colinéarité de deux vecteurs du plan muni d'un repère à l'aide de leurs coordonnées grâce à la propriété suivante :
Propriété
On considère deux vecteurs \vec{u}(x;y) et \vec{v}(x';y').
\vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, xy'-x'y=0.

Démonstration :
La propriété est évidente si l'un des deux vecteurs est le vecteur nul.
On suppose qu'aucun des deux vecteurs n'est le vecteur nul.

On suppose que \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires
Il existe donc un réel k tel que \vec{u}=k\vec{v}
Ainsi (x;y)=(kx';ky')
Par conséquent xy'-x'y=kx'y'-x'ky'=0

On suppose maintenant que xy'-x'y=0
Ainsi xy'=x'y
Si y=0 alors x\neq0 (sinon \vec{u} serait le vecteur nul). Cela signifie donc que y'=0.
Les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires.

De la même manière si x=0 alors x'=0 et \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires

Par symétrie des résultats, on peut maintenant supposer qu'aucune des coordonnées n'est nulle.

On pose k=\frac{x'}{x}.

On a alors y'=\frac{x'}{x}y=ky.

Il existe donc un réel k tel que x'=kx et y'=ky.
Donc \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires.

Exemple : \vec{u}(2;4) et \vec{v}(-1;-2).
On a alors 2 \times (-2)-4 \times (-1)=4-4=0
Donc les deux vecteurs sont colinéaires.

On va utiliser cette notion de colinéarité des vecteurs pour caractériser le parallélisme de deux droites.

II. Equation cartésienne d'une droite


On va commencer par définir la notion de vecteur directeur d'une droite.
Définition
On considère une droite (AB) et un vecteur \vec{u} non nul . On dit que \vec{u} est un vecteur directeur de la droite (AB) si, et seulement si, les vecteurs \vec{u} et \vec{AB} sont colinéaires.

Remarque 1 : Un vecteur directeur d'une droite est nécessairement non nul.
Remarque 2 : Il y a donc une infinité de vecteurs directeurs pour une droite donnée.
Remarque 3 : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leur vecteur directeur sont colinéaires.

Exemple : On considère les points A(2;3), B(-1;2), C(3;-1) \text{ et } D(18;4)
Un vecteur directeur de la droite (AB) est \overrightarrow{AB}(-3;-1).
Un vecteur directeur de la droite (CD) est \overrightarrow{CD}(15;5)
Or -3 \times 5-(-1) \times 15 = -15 + 15 = 0
Par conséquent les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires et les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Avant de fournir une équation des droites du plan, voyons une propriété caractérisant l'appartenance d'un point à une droite.
Propriété : On considère une droite (d) de vecteur directeur \vec{u} passant par un point A du plan.
M \in (d)\text{ équivaut à } \overrightarrow{AM} \text{ et } \vec{u} sont colinéaires

Démonstration :
Deux cas sont à étudier : M=A ou MdifferentA.
Quand MdifferentA, la droite (AM) existe et \overrightarrow{AM} en est un vecteur directeur.
Si Mappartient(d) :
Dans le cas où M=A, \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires car \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} .
Dans le cas où MdifferentA, alors les droites (AM) et (d) passent par les deux points distincts A et M ; elles sont donc parallèles car confondues, et leurs vecteurs directeurs \vec{AM} et \vec{u} sont colinéaires.

Réciproquement, si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires :
Dans le cas où M=A alors Mappartient(d).
Dans le cas où MdifferentA, alors les droites (AM) et (d) sont parallèles car leurs vecteurs directeurs \overrightarrow{AM} et \vec{u} sont colinéaires.
Elles sont parallèles et passent par A ; elles sont donc confondues et Mappartient(d).
Propriété : Toute droite (d) du plan admet une équation de la forme :

ax+by+c=0

a, b \text{ et } c sont trois réels.

Démonstration : Soit (d) une droite de vecteur directeur \vec{u} passant par A(x_A;y_A) et M(x;y) un point du plan muni d'un repère (O;I,J).
M \in (d) \\ \overrightarrow{AM}(x-x_A;y-y_A) \text{ et } \vec{u}(\alpha;\beta) \text{ sont colinéaires } \\ \Leftrightarrow \beta (x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0 \\ \Leftrightarrow \beta x-\beta x_A-\alpha y+\alpha y_A=0 \\ \Leftrightarrow \beta x-\alpha y+\alpha y_A-\beta x_A=0
On pose alors a=\beta, b=-\alpha \text{ et } c=\alpha y_A-\beta x_A
Une équation de (d) est donc bien de la forme ax+by+c=0.

Voyons maintenant la réciproque :
Propriété
On considère trois réels a, b \text{ et } c tels que (a;b) \neq (0,0).
L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0 est une droite de vecteur directeur \vec{u}(-b ;a).

Démonstration : Supposons que a \neq 0 (si ce n'est pas le cas alors b \neq 0 et on échange les rôles)
On appelle E l'ensemble des points M(x;y) tels que ax+by+c=0.
M(x;y) \in E \\ \Leftrightarrow ax+by+c=0 \\ \Leftrightarrow ax-(-b)y+a(\frac{c}{a})=0 \\ \Leftrightarrow a(x+\frac{c}{a})-(-b)y=0
On appelle A le point de coordonnées (-\frac{c}{a};0) et \vec{u} le vecteur de coordonnées (-b;a).
On a donc M(x;y) \in E \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}(x+\frac{c}{a};y) \text{ et } \vec{u}(-b;a) sont colinéaires.
E est donc la droite de vecteur directeur \vec{u}(-b;a) passant par A.
Définition
Une équation d'une droite de la forme ax+by+c=0 est appelée une équation cartésienne de cette droite.

Exemple 1 : Déterminons les caractéristiques de l'ensemble des points M(x;y) du plan tels que 2x+3y+1=0 (1) .
Il s'agit d'après la propriété précédente d'une droite dont un vecteur directeur est \vec{u}(-3;2).
Cherchons les coordonnées d'un point appartenant à cette droite.
Prenons x=-5 et remplaçons cette valeur dans l'équation (1).
On obtient alors : -10 + 3y + 1 = 0 \text{ soit } 3y-9=0 et donc y=3.
Ainsi la droite passe par A(-5;3).

Exemple 2 : Déterminons une équation cartésienne de la droite (d) de vecteur directeur \vec{u}(1;2) passant par A(-1;3).
Une équation de (d) est donc de la forme -2x+y+c=0.
Puisque A \in (d) alors -2×(-1)+3+c=0 soit 5+c=0 \text{ et } c=-5.
Ainsi une équation cartésienne de (d) \text{ est } -2x+y-5=0.

Remarque : Pour une droite donnée, il existe une infinité d'équations cartésiennes lui étant associéees : il suffit de multiplier une équation par un réel non nul pour en obtenir une nouvelle.

En seconde, on a vu que les droites parallèles à l'axe des ordonnées possède une équation de la forme x=r et les autres une équation de la forme y=mx+p.
Essayons de retrouver ces équations à partir de l'équation cartésienne ax+by+c=0
Si b \neq 0 alors on a by=-ax-c \text{ soit } =-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} . On retrouve donc une équation de la forme y=mx+p.
Si b=0 alors on a ax+c=0. On a alors ax=-c. Puisque (a;b) \neq (0;0) \text{ alors } a\neq 0.
Par conséquent x=-\frac{c}{a}. On retrouve donc une équation de la forme x=r.

Utilisons les propriétés sur les vecteurs colinéaires pour caractériser le parallélisme de deux droites dont on connait des équations cartésiennes.
Propriété
On considère deux droites (d) \text{ et } (d') d'équations cartésiennes respectives ax+by+c=0 \text{ et } a'x+b'y+c'=0.
(d) \text{ et } (d') sont parallèles si, et seulement si, ab'-a'b=0.


III. Décomposition d'un vecteur dans une base

Définition
On appelle base du plan tout couple de vecteurs (\vec{u},\vec{v}) tels que \vec{u} \text { et } \vec{v} ne soient pas colinéaires.

Le but ici est d'essayer de décomposer un vecteur \vec{w} dans une base (\vec{u},\vec{v}) donnée. La propriété suivante nous assure que cela est toujours possible.
Propriété
On considère une base (\vec{u},\vec{v}) du plan et \vec{w} un vecteur quelconque.
Il existe alors un couple de réels (a;b) tel que \vec{w}=\vec{au}+\vec{bv}.


Vecteurs et droites : image 2


Pour déterminer la décomposition du vecteur \vec{w} dans la base (\vec{u},\vec{v}) , on place le point A tel que \vec{OA} = \vec{w}.

On appelle :
B le point de la droite passant par O de vecteur directeur \vec{v} tel que \overrightarrow{AB} soit colinéaire à \vec{u}
C le point de la droite passant par O de vecteur directeur \vec{u} tel que \overrightarrow{AC} soit colinéaire à \vec{v}
Il existe donc deux réels a et b tels que \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{au} et \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{bv}.
Or, d'après la règle du parallélogramme, on a \overrightarrow{w}=\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{au}+\overrightarrow{bv}

Remarque : Dans les exercices, il n'y a pas de « recette » pour décomposer un vecteur dans une base. Il faut très souvent appliquer des propriétés liées à la figure donnée et/ou la relation de Chasles.

Exemple : On considère un parallélogramme ABCD et on construit les points I et J tels que :
\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AB} et J est le symétrique de I par rapport à C.

On veut exprimer \overrightarrow{AJ} dans la base (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}).
Vecteurs et droites : image 3


D'après la relation de Chasles on a :
\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}

Or par définition \overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IC}
Donc : \overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{IC}

D'après la relation de Chasles et le fait que \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} on a :
\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}

Ainsi \overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}
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