Dans ce chapitre tu auras besoin de bien connaître ton cours de 2nd sur les vecteurs tant sur l'aspect calculatoire que sur l'aspect géométrique.
Enjeu
Ce chapitre a deux buts principaux. Le premier est de fournir une forme d'équation de droites qui gère à la fois les équations de la forme y=ax+b et celles de la forme x=c. Le second de savoir décomposer un vecteur selon deux autres vecteurs qui ne sont pas ceux définissant le repère initial.
I. Colinéarité
Définition
Deux vecteurs et sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel tel que ou .
Remarque 1 : le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.
Remarque 2 : Deux vecteurs non nuls sont donc colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.
On a vu l'année dernière comment caractériser la colinéarité de deux vecteurs du plan muni d'un repère à l'aide de leurs coordonnées grâce à la propriété suivante :
Propriété
On considère deux vecteurs et .
et sont colinéaires si, et seulement si, .
Démonstration : La propriété est évidente si l'un des deux vecteurs est le vecteur nul.
On suppose qu'aucun des deux vecteurs n'est le vecteur nul.
On suppose que et sont colinéaires
Il existe donc un réel tel que Ainsi Par conséquent
On suppose maintenant que Ainsi Si alors (sinon serait le vecteur nul). Cela signifie donc que .
Les vecteurs et sont colinéaires.
De la même manière si alors et et sont colinéaires
Par symétrie des résultats, on peut maintenant supposer qu'aucune des coordonnées n'est nulle.
On pose .
On a alors .
Il existe donc un réel tel que et .
Donc et sont colinéaires.
Exemple : et .
On a alors Donc les deux vecteurs sont colinéaires.
On va utiliser cette notion de colinéarité des vecteurs pour caractériser le parallélisme de deux droites.
II. Equation cartésienne d'une droite
On va commencer par définir la notion de vecteur directeur d'une droite.
Définition
On considère une droite (AB) et un vecteur non nul . On dit que est un vecteur directeur de la droite si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.
Remarque 1 : Un vecteur directeur d'une droite est nécessairement non nul.
Remarque 2 : Il y a donc une infinité de vecteurs directeurs pour une droite donnée.
Remarque 3 : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leur vecteur directeur sont colinéaires.
Exemple : On considère les points Un vecteur directeur de la droite est .
Un vecteur directeur de la droite (CD) est Or - Par conséquent les vecteurs et sont colinéaires et les droites et sont parallèles.
Avant de fournir une équation des droites du plan, voyons une propriété caractérisant l'appartenance d'un point à une droite.
Propriété : On considère une droite de vecteur directeur passant par un point du plan.
sont colinéaires
Démonstration :
Deux cas sont à étudier : M=A ou MA.
Quand MA, la droite (AM) existe et en est un vecteur directeur.
Si M(d) :
Dans le cas où M=A, et sont colinéaires car .
Dans le cas où MA, alors les droites (AM) et (d) passent par les deux points distincts A et M ; elles sont donc parallèles car confondues, et leurs vecteurs directeurs et sont colinéaires.
Réciproquement, si les vecteurs et sont colinéaires :
Dans le cas où M=A alors M(d).
Dans le cas où MA, alors les droites (AM) et (d) sont parallèles car leurs vecteurs directeurs et sont colinéaires.
Elles sont parallèles et passent par A ; elles sont donc confondues et M(d).
Propriété : Toute droite du plan admet une équation de la forme :
où sont trois réels.
Démonstration : Soit une droite de vecteur directeur passant par et un point du plan muni d'un repère .
On pose alors Une équation de est donc bien de la forme .
Voyons maintenant la réciproque :
Propriété
On considère trois réels tels que .
L'ensemble des points du plan tels que est une droite de vecteur directeur .
Démonstration :
Supposons que (si ce n'est pas le cas alors et on échange les rôles)
On appelle E l'ensemble des points tels que .
On appelle A le point de coordonnées et le vecteur de coordonnées .
On a donc sont colinéaires.
est donc la droite de vecteur directeur passant par .
Définition
Une équation d'une droite de la forme est appelée une équation cartésienne de cette droite.
Exemple 1 : Déterminons les caractéristiques de l'ensemble des points du plan tels que (1) .
Il s'agit d'après la propriété précédente d'une droite dont un vecteur directeur est .
Cherchons les coordonnées d'un point appartenant à cette droite.
Prenons et remplaçons cette valeur dans l'équation (1).
On obtient alors : et donc .
Ainsi la droite passe par .
Exemple 2 : Déterminons une équation cartésienne de la droite de vecteur directeur passant par .
Une équation de est donc de la forme .
Puisque alors soit .
Ainsi une équation cartésienne de .
Remarque : Pour une droite donnée, il existe une infinité d'équations cartésiennes lui étant associéees : il suffit de multiplier une équation par un réel non nul pour en obtenir une nouvelle.
En seconde, on a vu que les droites parallèles à l'axe des ordonnées possède une équation de la forme et les autres une équation de la forme .
Essayons de retrouver ces équations à partir de l'équation cartésienne Si alors on a . On retrouve donc une équation de la forme .
Si alors on a . On a alors . Puisque .
Par conséquent . On retrouve donc une équation de la forme .
Utilisons les propriétés sur les vecteurs colinéaires pour caractériser le parallélisme de deux droites dont on connait des équations cartésiennes.
Propriété
On considère deux droites d'équations cartésiennes respectives .
sont parallèles si, et seulement si, .
III. Décomposition d'un vecteur dans une base
Définition
On appelle base du plan tout couple de vecteurs tels que ne soient pas colinéaires.
Le but ici est d'essayer de décomposer un vecteur dans une base donnée. La propriété suivante nous assure que cela est toujours possible.
Propriété
On considère une base du plan et un vecteur quelconque.
Il existe alors un couple de réels (a;b) tel que .
Pour déterminer la décomposition du vecteur dans la base , on place le point A tel que .
On appelle :
B le point de la droite passant par O de vecteur directeur tel que soit colinéaire à C le point de la droite passant par O de vecteur directeur tel que soit colinéaire à Il existe donc deux réels a et b tels que et .
Or, d'après la règle du parallélogramme, on a
Remarque : Dans les exercices, il n'y a pas de « recette » pour décomposer un vecteur dans une base. Il faut très souvent appliquer des propriétés liées à la figure donnée et/ou la relation de Chasles.
Exemple : On considère un parallélogramme ABCD et on construit les points I et J tels que :
et J est le symétrique de I par rapport à C.
On veut exprimer dans la base .
D'après la relation de Chasles on a :
Or par définition
Donc :
D'après la relation de Chasles et le fait que on a :
Ainsi
Publié par Prof digiSchool
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
et 
sont colinéaires
tel que 
=(kx';ky'))
alors 
(sinon 
.
alors 
et 
.
.
et 
.
)
et )
.
-4 \times (-1)=4-4=0)
, B(-1;2), C(3;-1) \text{ et } D(18;4))
)
est )
.
)
 \times 15 = -15 + 15 = 0)
et 
sont colinéaires et les droites )
sont parallèles.
A.
en est un vecteur directeur.
(d) :
sont colinéaires car 
.
et )
une droite de vecteur directeur )
et )
un point du plan muni d'un repère )
.
 \\ \overrightarrow{AM}(x-x_A;y-y_A) \text{ et } \vec{u}(\alpha;\beta) \text{ sont colinéaires } \\ \Leftrightarrow \beta (x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0 \\ \Leftrightarrow \beta x-\beta x_A-\alpha y+\alpha y_A=0 \\ \Leftrightarrow \beta x-\alpha y+\alpha y_A-\beta x_A=0)
.
(si ce n'est pas le cas alors 
et on échange les rôles)
 \in E \\ \Leftrightarrow ax+by+c=0 \\ \Leftrightarrow ax-(-b)y+a(\frac{c}{a})=0 \\ \Leftrightarrow a(x+\frac{c}{a})-(-b)y=0)
)
et )
.
 \in E \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}(x+\frac{c}{a};y) \text{ et } \vec{u}(-b;a))
sont colinéaires.
est donc la droite de vecteur directeur )
passant par 
.
(1) .
)
.
et remplaçons cette valeur dans l'équation (1).
et donc 
.
)
.
)
passant par )
.
.
)
alors +3+c=0)
soit 
.
 \text{ est } -2x+y-5=0)
.
et les autres une équation de la forme 
.
. On retrouve donc une équation de la forme 
alors on a 
. On a alors 
. Puisque  \neq (0;0) \text{ alors } a\neq 0)
.
. On retrouve donc une équation de la forme 
dans une base )
donnée. La propriété suivante nous assure que cela est toujours possible.
.
soit colinéaire à 
et 
.
et J est le symétrique de I par rapport à C.
dans la base )
.
on a :
Publié par Prof digiSchool
le
.)
et )
.
sont colinéaires.
\text{ équivaut à } \overrightarrow{AM} \text{ et } \vec{u})
sont colinéaires
sont trois réels. \neq (0,0))
.
)
. \text{ et } (d'))
d'équations cartésiennes respectives 
.
.
ne soient pas colinéaires.
.
forum de première