Fiche de mathématiques
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Les premiers exercices sur les nombres complexes

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exercice 1. Donner l'écriture algébrique de

 z=\dfrac 1 i
z=\dfrac{1-i}{3+i\sqrt2}



exercice 2. Résoudre dans C les équations suivantes d'inconnue z

3z+3-4i=i(z-1)
z^2+iz=0



exercice 3. Construire des points d'affixe connue

A d'affixe 3 -2i
B d'affixe \left[3\;;\dfrac{\pi}{4}\right]
C d'affixe -\dfrac 3 2 + \dfrac{3\sqrt 3}{2}\,i
D d'affixe -2i



exercice 4. Déterminer une forme trigonométrique sur une représentation graphique

Par lecture graphique, donner la forme trigonométrique des 5 complexes z_1\;; z_2\;;z_3\;;z_4\;;z_5

premiers exercices pour comprendre les nombres complexes : image 2


exercice 5. Utiliser les complexes pour démontrer une propriété géométrique


On donne dans le plan complexe A(1+i)\;\;; B(3+2i)\;\;;C(4+4i).
Déterminer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Donner une valeur approchée de l'angle \widehat{\left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}}\right)






exercice 1.

On a vu que z.\bar z = |z|^2 . Lorsque l'on désire une écriture algébrique d'un complexe, il suffit donc de multiplier le dénominateur par son conjugué, le dénominateur sera alors un nombre réel.
\dfrac 1 i=\dfrac {-i}{i\times (-i)}=\dfrac {-i}{1}=-i.
Il n'est pas interdit de retenir ce résultat, qui connu, simplifie les calculs ! \boxed{\dfrac 1 i==-i}

z=\dfrac{1-i}{3+i\sqrt2}=\dfrac{(1-i)(3-i\sqrt2)}{(3+i\sqrt2)(3-i\sqrt2)}  = \dfrac{(1-i)(3-i\sqrt2)}{3^2+\sqrt 2 ^2}= \dfrac{3-i\sqrt 2 -3i-\sqrt 2}{11}  = \dfrac{3-\sqrt 2+i(-\sqrt 2 -3)}{11}  =\dfrac{3-\sqrt 2}{11}+i \dfrac{-\sqrt 2 -3}{11}



exercice 2.

Si tu savais résoudre des équations dans R, tu vas savoir résoudre ces équations sans souci, puisque le principe est exactement le même.
3z+3-4i=i(z-1)
3z + 3 - 4i = iz - i
3z - iz = -i - 3 + 4i
(3-i)z = 3i - 3
z=\dfrac {3i-3}{3-i} On rend le dénominateur réel, afin de trouver la forme algébrique.

z=\dfrac {(3i-3)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\dfrac{-12+6i}{10}=\dfrac{-6+3i}{5}


z^2+iz=0 je factorise, ce qui donne :
z(z+i)=0 un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
z=0 ou z=i



exercice 3.


Remarque : quand un énoncé précise "construire", les lignes de construction doivent rester visibles.
premiers exercices pour comprendre les nombres complexes : image 1

A d'affixe 3 -2i
Les coordonnées de A sont donc (3\;; -2), et A est donc facile à représenter

B d'affixe \left[3\;;\dfrac{\pi}{4}\right]
On sait donc que OB=3 et que (\widehat{\overrightarrow u \;, \overrightarrow {OB}}) a pour mesure \dfrac{\pi}{4}

C d'affixe z_C= -\dfrac 3 2 + \dfrac{3\sqrt 3}{2}\,i
Je calcule le module de z_C.
|z_C|=\sqrt{\dfrac 9 4 + \dfrac {27}{4}}=3
Je factorise z_C par 3, dans le but de trouver un de ses arguments.
z_C=3\left(  -\dfrac 1 2 + \dfrac{\sqrt 3}{2}\,i    \right)
On reconnaît les lignes trigonométriques de \dfrac{2\pi}{3}
Donc z_C=3\left(  \cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + i \,\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)    \right)
et on peut dès lors construire le point C.

D d'affixe -2i
Ce point a une affixe imaginaire pure. Ses coordonnées sont (0\;; -2) ; le point D est un point des l'axe des imaginaires purs.



exercice 4.

premiers exercices pour comprendre les nombres complexes : image 2
z_1=\left[4\;; 0\right]\quad ;\quad   z_2=\left[3\;; \dfrac{\pi}{2}\right]\quad ;\quad  z_3=\left[1\;; \pi\right]\quad ;\quad z_4=\left[2\sqrt 2\;; \dfrac{3\pi}{4}\right]\quad ;\quad z_5=\left[2\;; \dfrac{5\pi}{4}\right]



exercice 5.

Pour que ABCD soit un parallélogramme, il suffit que \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}
soit z_D-z_C=z_A-z_B ou encore z_D=z_C+z_A-z_B
Cela donne : z_c=2+3i
Il ne faut pas hésiter à visualiser le tout sur un graphique.
premiers exercices pour comprendre les nombres complexes : image 4


On souhaite évaluer une mesure de l'angle \widehat{\left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}}\right)
premiers exercices pour comprendre les nombres complexes : image 3

Pour cela il suffit d'évaluer arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right).

\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}= \dfrac{3+3i}{2+i}=\dfrac{(3+3i)(2-i)}{5}=\dfrac{3(3+i)}{5}

dont le module est \dfrac 3 5 \sqrt{9+1}=\dfrac 3 5 \sqrt {10}

\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac 3 5 \sqrt {10} \left( \dfrac{3+i}{\sqrt{10}}\right)

A l'aide de la calculatrice (en mode radian), je cherche \red \theta tel que \cos {\red \theta}=\dfrac {3}{\sqrt{10}} et \sin {\red \theta}=\dfrac {1}{\sqrt{10}}

On trouve {\red \theta }\approx 0,32 rd (à 2pi près).
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