Fiche de mathématiques
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Rechercher un ensemble de points dans le plan complexe

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Dans l'ensemble de cet exercice, nous nous placerons dans le plan complexe rapporté au repère (O\;;\vec u \;,\vec v)

exercice

Soit M(z). Déterminer puis représenter dans le plan complexe

1. l'ensemble E des points M(z) tels que |z|=2

2. l'ensemble F des points M(z) tels que arg(z)= \dfrac{\pi}{2}\;\;  (\pi)

3. l'ensemble G des points M(z) tels que |z-i|=3

4. l'ensemble H des points M(z) tels que arg(z-2+3i )= \dfrac{\pi}{4}\;\;  (2\pi)







exercice


1. On a vu en cours que |z|=OM
M(z)\in E équivaut à dire |z|=2 équivaut à dire OM=2
L'ensemble E est le cercle de centre 0 et de rayon 2.

2. On a vu en cours qu'un argument de complexe n'est défini que pour un complexe non nul, et que arg(z)=mes\widehat{(\overrightarrow {u} \;, \overrightarrow{OM})} \;\;(2\pi)
M(z) \in F équivaut à dire " z\neq 0 et mes\widehat{(\overrightarrow {u} \;, \overrightarrow{OM})}=\dfrac{\pi}{2}\;\;  (\pi) "
L'ensemble cherché est la droite passant par O, perpendiculaire au vecteur vectu privée du point O.
L'ensemble F est donc l'axe des imaginaires pur privé de l'origine du repère.

3. On a vu en cours que si A(z_A) et B(z_B) sont deux points du plan, |z_A-z_B|=AB.
M(z) \in G équivaut à dire |z-i|=3
On introduit le point D d'affixe i.
Dire que |z-i|=3 revient à dire que DM=3.
On obtient :M(z) \in G équivaut à dire |z-i|=3 équivaut à dire DM=3
L'ensemble G cherché est le cercle de centre D(i) et de rayon 3.

4. On cherche l'ensemble H des points M(z) tels que arg(z-2+3i )= \dfrac{\pi}{4}\;\;  (2\pi).
Cette définition impose que z\neq 2-3i.
Appelons K le point d'affixe 2-3i.
M(z)\in H équivaut à dire " z\neq 2-3i et mes\widehat{(\overrightarrow {u} \;, \overrightarrow{KM})}=\dfrac{\pi}{4}\;\;  (2\pi) "
L'ensemble H est la demi-droite ]Kt) (le point K exclu) faisant un angle de \dfrac{\pi}{4} avec vectu.


Des interprétations géométriques : image 1
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