Fiche de mathématiques
> >

Les nombres complexes

Partager :
Définitions
Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique z=x+iy avec x et y réels et i^2=-1

Cette écriture x+iy s'appelle l'écriture algébrique de z

x s'appelle la partie réelle de z ; y s'appelle la partie imaginaire de z



Remarque : la partie imaginaire est y et non iy.

Notations : on note Re(z) et Im(z) les parties réelle et respectivement imagnaire de z.

Cas particuliers : si Im(z)=0 on dit que z est réel pur ; si Re(z)=0 , on dit que z est imaginaire pur.

Propriété
Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.


Cette propriété est très utilisée dans les exercices.
En particulier x et y étant réels, x+iy=0 équivaut à dire que x=0 \text{ et } y=0.

Définition
Soit z=x+iy avec x et y réels
On appelle conjugué du complexe z le complexe x-iy que l'on note \bar z



Exemples : \overline{4-5i}=4+5i \quad ; \quad \bar 3 = 3 \quad ; \quad \overline{2i}= -2i

Conséquences

\bullet \overline{ \overline z}=z (on dit que "prendre le conjugué de" est une opération involutive )
\bullet z\times \bar z = x^2+y^2
\bullet z+\bar z = 2\; \text{Re}(z)
\bullet z-\bar  z = 2i \;\text{Im}(z)



Définition
On appelle module du complexe z le réel \sqrt{x^2+y^2} \text{ noté } |z|

On a donc : |z|=\sqrt{x^2+y^2}
Remarque 1 : le module d'un complexe est un réel positif ou nul.
Remarque 2 : |z|^2= x^2+y^2= z.\overline z (très utile dans les exercices)



Exemple : si z=3-4i \quad \text{ alors } \quad |z|=\sqrt{3^3+(-4)^2 }= 5

Interprétation géométrique d'un nombre complexe : l'affixe
Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé (0\;; \vec u \;,\vec v)

\bullet A tout complexe z=x+iy, avec x et y réels, on associe le point M du plan de coordonnées (x\;; y).
On dit que z est l'affixe de M, ou que z est l'affixe du vecteur \overrightarrow{OM}


Nombres complexes : image 1


Interprétation géométrique d'un nombre complexe : le module
|z|=\sqrt{x^2+y^2}=OM
Remarque : un module est un réel positif ou nul.


Nombres complexes : image 6


Interprétation géométrique d'un nombre complexe : le conjugué
Les points M d'affixe z et M' d'affixe \bar z sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses


Nombres complexes : image 3


Propriétés (à connaître sans hésitation) :
\bullet\;1. Le conjugué de la somme est la somme des conjugués soit \overline{z+z'}=\overline z + \overline {z'}
\bullet\; 2. Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués soit \overline{z.z'}=\overline z . \overline z'
\bullet\; 3.  pour z\neq 0 , le conjugué de l'inverse est l'inverse du conjugué soit \overline{ \left(\dfrac 1 z \right)} = \left(\dfrac {1}{\overline z} \right)
\bullet\; 4.  pour z\neq 0 , le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués
soit \overline{ \left(\dfrac {z'}{ z} \right)} = \left(\dfrac {\overline{z'}}{\overline z} \right)
\bullet \; 5.\; z est réel équivaut à \bar z = z
\bullet \; 6. \; z est imaginaire pur équivaut à \bar z = - z



Exemple d'utilisation : On pose Z_1=\dfrac {2-i}{3+i} \text{ et } Z_2=\dfrac {2+i}{3-i}
Montrer sans calculs que Z_1-Z_2 est imaginaire pur.
dans le but d'utiliser le résultat (6) donné ci-dessus, j'évalue \overline{Z_1-Z_2}.

\overline{Z_1-Z_2}=\overline{Z_1}-\overline{Z_2}=  \overline{\left(\dfrac {2-i}{3+i}\right)}-\overline{\left(\dfrac {2+i}{3-i}\right)}=  \dfrac {\overline{2-i}}{\overline{3+i}}-\dfrac {\overline{2+i}}{\overline{3-i}}=  \dfrac {2+i}{3-i}-\dfrac {2-i}{3+i}=Z_2-Z_1=-(Z_1-Z_2)
Z_1-Z_2 est donc imaginaire pur.

Propriétés du module
\bullet\; 1. Pour tous nombres complexes z et z', |z+z'|\le |z|+|z'| (appelée inégalité triangulaire)

\bullet\; 2. Le module d'un produit est égal au produit des modules soit |z.z'|=|z|.|z'|

\bullet\; 3. Pour z\neq 0 \;\;, \left|\dfrac{z'}{z}\right|= \dfrac{|z'|}{|z|}

\bullet\; 4. Si n\in \textbf N\;\;\;|z^n|=|z|^n



Arguments d'un complexe non nul
Dans le plan complexe, soit z non nul, affixe du point M.
On appelle argument de z toute mesure en radians de l'angle \widehat{(\overrightarrow {u} \;; \overrightarrow{OM})}
Tout nombre complexe non nul a donc une infinité d'arguments (définis à 2\pi près).


Nombres complexes : image 7

Dans cet exemple, arg(z)=\theta \; (2\pi)

On en déduit la forme trigonométrique d'un complexe non nul.
Nombres complexes : image 4

Tout point M(z) du plan, distinct de l'origine, est repéré par sa distance à l'origine OM et par l'angle \widehat{(\overrightarrow {u} \;; \overrightarrow{OM})}
On peut donc écrire :
\boxed{z=x+iy=|z|\left(\cos (\theta)+i \sin (\theta)\right)}

Cette écriture z=|z|\left(\cos (\theta)+i \sin (\theta)\right) s'appelle l'écriture ou la forme trigonométrique du complexe z. On l'écrit également z=[|z|\;; \theta]

Exemple : Donner la forme trigonométrique du complexe z=-2\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) et placer le point M d'affixe z dans le plan complexe.

Le réel -2 étant négatif, ceci n'est pas une écriture trigonométrique.
z=-2\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=2\left((-1)\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i(-1)\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)
Or on sait que \cos \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=-\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) et \sin \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)
donc la forme trigonométrique de z est : z=2\left(\cos \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)+i\sin \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right)
Nombres complexes : image 2

Quelques résultats utiles

z réel non nul équivaut à dire arg(z)=0 +k\pi \; \;, k\in \textbf Z
z imaginaire pur non nul équivaut à dire arg(z)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \; \;, k\in \textbf Z



Conséquence :
Si A et B sont deux points du plan d'affixes respectives a et b (avec a differentb)
Nombres complexes : image 5

AB=|b-a|
(\overrightarrow {u} \;; \overrightarrow{AB})=arg(b-a)\;\;(2\pi)

Propriétés des arguments
Soient z et z' deux complexes non nuls. On montre que :
arg(z.z')=arg(z)+arg(z')\;\;(2\pi)
arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=arg(z)-arg(z')\;\;(2\pi)
si n\in \textbf N\;\;\;arg(z^n)=n.arg(z) \;\;(2\pi)



Conséquence :
Si A(a), B(b) avec AdifferentB et C(c) et D(d) avec CdifferentD alors :

(\overrightarrow {AB} \;; \overrightarrow{CD})=\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)\;\;(2\pi)

Nota : regardez bien la place des lettres dans cette expression afin de la retenir sans erreur.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1441 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !