Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique avec x et y réels et
Cette écriture s'appelle l'écriture algébrique de z
x s'appelle la partie réelle de z ; y s'appelle
la partie imaginaire de z
Remarque : la partie imaginaire est yet noniy.
Notations : on note Re(z) et Im(z) les parties réelle et respectivement imagnaire de z.
Cas particuliers : si Im(z)=0 on dit que z est réel pur ;
si Re(z)=0 , on dit que z est imaginaire pur.
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Cette propriété est très utilisée dans les exercices.
En particulier
x et y étant réels, équivaut à dire que .
Définition
Soit z=x+iy avec x et y réels
On appelle conjugué du complexe z le complexe x-iy que l'on note
Exemples :
Conséquences
(on dit que "prendre le conjugué de" est une opération
involutive )
Définition
On appelle module du complexe z le réel
On a donc : Remarque 1 : le module d'un complexe est un réel positif ou nul.
Remarque 2 : (très utile dans les exercices)
Exemple : si
Interprétation géométrique d'un nombre complexe : l'affixe
Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé
A tout complexe , avec x et y réels, on associe le point M du plan de coordonnées .
On dit que z est l'affixe de M, ou que z est l'affixe du vecteur
Interprétation géométrique d'un nombre complexe : le module
Remarque : un module est un réel positif ou nul.
Interprétation géométrique d'un nombre complexe : le conjugué
Les points M d'affixe z et M' d'affixe sont symétriques par rapport à l'axe
des abscisses
Propriétés (à connaître sans hésitation) :
Le conjugué de la somme est la somme des conjugués soit Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués soit
pour , le conjugué de l'inverse est l'inverse du conjugué
soit pour , le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués
soit est réel équivaut à est imaginaire pur équivaut à
Exemple d'utilisation : On pose Montrer sans calculs que est imaginaire pur.
dans le but d'utiliser le résultat (6) donné ci-dessus, j'évalue .
est donc imaginaire pur.
Propriétés du module
Pour tous nombres complexes z et z',
(appelée inégalité triangulaire)
Le module d'un produit est égal au produit des modules soit
Pour
Si
Arguments d'un complexe non nul
Dans le plan complexe, soit z non nul, affixe du point M.
On appelle argument de z toute mesure en radians de
l'angle Tout nombre complexe non nul a donc une infinité d'arguments (définis à
près).
Dans cet exemple,
On en déduit la forme trigonométrique d'un complexe non nul.
Tout point M(z) du plan, distinct de l'origine, est repéré par sa distance à l'origine
OM et par l'angle On peut donc écrire :
Cette écriture s'appelle l'écriture ou la forme
trigonométrique du complexe z. On l'écrit également
Exemple : Donner la forme trigonométrique du complexe
et placer le point M d'affixe z dans le plan complexe.
Le réel -2 étant négatif, ceci n'est pas une écriture trigonométrique.
Or on sait que et donc la forme trigonométrique de z est :
Quelques résultats utiles
z réel non nul équivaut à dire z imaginaire pur non nul équivaut à dire
Conséquence : Si A et B sont deux points du plan d'affixes respectives a et b (avec a b)
AB=|b-a|
Propriétés des arguments
Soient z et z' deux complexes non nuls. On montre que :
si
Conséquence : Si A(a), B(b) avec AB et C(c) et D(d) avec CD alors :
Nota : regardez bien la place des lettres dans cette expression afin de la retenir sans erreur.
Publié par malou
le
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équivaut à dire que 
.
(on dit que "prendre le conjugué de" est une opération
involutive )
)
)
^2 }= 5)
Le conjugué de la somme est la somme des conjugués soit 
Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués soit
pour 
, le conjugué de l'inverse est l'inverse du conjugué
soit } = \left(\dfrac {1}{\overline z} \right))
pour } = \left(\dfrac {\overline{z'}}{\overline z} \right))
est réel équivaut à 
est imaginaire pur équivaut à 
est imaginaire pur.
.
}-\overline{\left(\dfrac {2+i}{3-i}\right)}= \dfrac {\overline{2-i}}{\overline{3+i}}-\dfrac {\overline{2+i}}{\overline{3-i}}= \dfrac {2+i}{3-i}-\dfrac {2-i}{3+i}=Z_2-Z_1=-(Z_1-Z_2))
Pour tous nombres complexes z et z',
(appelée inégalité triangulaire)
Pour 
Si 
=\theta \; (2\pi))
})
+i \sin (\theta)\right)})
+i \sin (\theta)\right))
s'appelle l'écriture ou la forme
trigonométrique du complexe z. On l'écrit également ![z=[|z|\;; \theta]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z=[|z|\;; \theta])
+i\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right))
et placer le point M d'affixe z dans le plan complexe.
+i\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=2\left((-1)\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i(-1)\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right))
=-\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right))
et
=-\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right))
+i\sin \left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right))
=0 +k\pi \; \;, k\in \textbf Z)
=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \; \;, k\in \textbf Z)
b)
=arg(b-a)\;\;(2\pi))
=\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)\;\;(2\pi))
avec x et y réels et 
s'appelle l'écriture algébrique de z
(très utile dans les exercices))
A tout complexe )
.
sont symétriques par rapport à l'axe
des abscisses
près).
=arg(z)+arg(z')\;\;(2\pi))
=arg(z)-arg(z')\;\;(2\pi))
=n.arg(z) \;\;(2\pi))