Fiche de mathématiques
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Les pourcentages

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Prérequis :
Tu as déjà vu et utilisé les pourcentages au collège. Il est donc important de bien maîtriser le vocabulaire et les techniques calculs apprises jusque là. Tu seras amené à résoudre, de temps en temps, des équations du type ax+b=c. Il faut donc que tu sois à l'aise sur ce genre de question.

Enjeu :
Les notions vues dans ce chapitre sont très souvent utilisées dans les cours d'économie et de géographie. Maîtriser les techniques de calculs de pourcentage, savoir ajouter un pourcentage ou une réduction sur un montant et comprendre les raisonnements est donc clairement un plus dans ces matières.


I. Les pourcentages

Définition :
On considère une partie A d'un ensemble E.
La proportion de A dans E est le nombre :
p=\dfrac{\text{Nombre d'éléments de }A}{\text{Nombre d'éléments de }E}

Remarque : Cette proportion est très souvent exprimée en pourcentage.
Si p=0,75 alors le pourcentage associé est 75\%.
D'une manière générale, la valeur du pourcentage associé à p est le nombre t tel que p=\dfrac{t}{100}.
Ainsi, 0,75 = \dfrac{75}{100}= 75\%.
On peut te demander de trouver, dans un exercice, l'un de ces trois nombres : le pourcentage, le nombre d'éléments de A ou le nombre d'éléments de E.
Exemples :
24 élèves dans une classe de 30 viennent au lycée en car.
\dfrac{24}{30}=0,8 = 80\%.
Donc 80\% des élèves de la classe viennent au lycée en car.

20\% des bulbes d'un paquet contenant 60 bulbes font des fleurs rouges.
60\times \dfrac{20}{100} = 12.
Le paquet donnera donc 12 fleurs rouges.

Dans un lycée, on compte 39 élèves en première ES. On sait qu'elles représentent 60\% des élèves de première ES.
Soit N le nombre d'élèves en première ES. On a alors 0,6=\dfrac{39}{N} soit N=\dfrac{39}{0,6}=65.
65 élèves sont inscrits en première ES.

II. Pourcentage d'évolution et calculs sur les pourcentages

Il est très fréquent de voir des articles changer de prix au cours du temps. On s'est donc intéressé à l'évolution des grandeurs.
Définition :
On considère une grandeur passant de la valeur V_0 à la valeur V_1.
On appelle taux d'évolution de V_0 à V_1 le nombre \dfrac{V_1-V_0}{V_0}.
Si ce rapport est exprimé sous forme de pourcentage, on parle alors de pourcentage d'évolution.

Remarque : Si le rapport est positif on parle d'augmentation et si le rapport est négatif on parle alors de diminution.
Exemples :
Le prix d'un article passe de 15 euros à 18 euros.

Son taux d'évolution est donc t=\dfrac{18-15}{15}=0,3.

Son pourcentage d'évolution est donc de 30\%. Il s'agit d'une augmentation.

Le nombre d'élèves d'un lycée est passé en cinq ans de 850 élèves à 816.

Le taux d'évolution associé au nombre d'élèves est t=\dfrac{816-850}{850}=-0,04.

Le pourcentage d'évolution est donc de -4\%. Il s'agit d'une diminution.

Propriété :
Augmenter une quantité de t\% revient à la multiplier par 1+\dfrac{t}{100}.
diminuer une quantité de t\% revient à la multiplier par 1-\dfrac{t}{100}.

Remarque : Les nombres 1+\dfrac{t}{100} et 1-\dfrac{t}{100} sont appelés des coefficients multiplicateurs.
Grace à cette propriété tu es en mesure de déterminer la valeur initiale ou la valeur finale de la grandeur. Exemples :
Augmenter une quantité de 20\% revient à la multiplier par 1+\dfrac{20}{100}=1,2.

Diminuer une quantité de 10\% revient à la multiplier par 1-\dfrac{10}{100}=0,9

Après une augmentation de 15\% le prix d'un article est de 16,10 euros.
On veut déterminer le prix initial P.
On alors l'équation suivante P \times \left(1+\dfrac{15}{100}\right)=16,1 soit P \times 1,15=16,1 donc P=\dfrac{16,1}{1,15} = 14.
L'article coûtait donc initialement 14 euros.

III Evolutions successives

On va voir dans cette partie comment déterminer le taux d'évolution associé à une grandeur quand celle-ci subit plusieurs évolutions.
On considère une grandeur qui passe de la valeur V_0 à la valeur V_1 en étant multipliée par un coefficient multiplicateur CM_1 puis de la valeur V_1 à la valeur V_2 en étant multipliée par un coefficient multiplicateur CM_2.
On a alors V_1 = V_0 \times CM_1 et V_2=V_1\times CM_2.
Par conséquent V_2=V_0 \times CM_1 \times CM_2.
Propriété :
Si une quantité subit des évolutions successives alors le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs.

Exemples :
Le prix d'un article subit une baisse de 10\% puis une nouvelle baisse de 20\%
Alors le coefficient multiplicateur global est : CM=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times  \left(1-\dfrac{20}{100}\right) = 0,9 \times 0,8 = 0,72.
Or 0,72 = 1-\dfrac{28}{100}
Donc le prix de l'article a, finalement, subit une baisse de 28\%.
Le chiffre d'affaire d'une entreprise a augmenté de 10\% puis a diminué de 10\%.
Le chiffre d'affaire a donc été multiplié par \left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right) = 1,1 \times 0,9 = 0,99.
Le chiffre d'affaire a donc, au global, baissé de 1\%.
Définition :
Si une quantité subit une évolution de t\%, on appelle taux d'évolution réciproque le taux d'évolution t' permettant à la quantité de retrouver sa valeur initiale.

Propriété :
Si t est un taux d'évolution et t' son taux d'évolution réciproque alors on a :
\left(1+\dfrac{t}{100}\right) \times \left(1+\dfrac{t'}{100}\right)=1

Exemple : On considère une augmentation de 25\%. On cherche le taux d'évolution réciproque t'.
On a donc : \left(1+\dfrac{25}{100}\right) \times \left(1+\dfrac{t'}{100}\right) = 1
Soit 1,25 \left(1+\dfrac{t'}{100}\right) = 1.
Donc 1+\dfrac{t'}{100} = \dfrac{1}{1,25} = 0,8
Par conséquent t'=-0,2.
Ainsi, pour compenser une augmentation de 25\%, il suffit de faire une diminution de 20\%.
Remarque : Une augmentation suivie d'une diminution d'un même pourcentage ne ramène la grandeur à sa valeur initiale puisque les pourcentages ne sont pas appliqués sur les mêmes valeurs.

IV Les indices

En économie, il est très fréquent d'entendre parler d'indice : on compare les différentes valeurs que va prendre la grandeur en prenant comme point de référence une année donnée.
Définition :
On considère deux valeurs V_0 et V_1 d'une même grandeur obtenues à des dates t_0 et t_1. A la date t_0 on définit l'indice I_0=100 et à la date t_1 on lui associe l'indice base 100 tel que I_0 et I_1 soient proportionnels à V_0 et V_1.

Exemple :On s'intéresse aux prix moyen en euros d'un article sur plusieurs mois et aux indices base 100 associés.
\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{Prix (en euros)}&250&300&P_2 \\ \hline \text{Indice}&100&I_1 &128 \\ \hline \end{array}
On a donc I_1=\dfrac{100 \times 300}{250} = 120 et P_2=\dfrac{250\times 128}{100}=320.
D'une manière générale On a la propriété suivante:
Propriété :
On considère deux valeurs V_0 et V_1 d'une même grandeur pour lesquelles on a associé les indices respectifs I_0=100 et I_1.
On a alors I_1=100\times \dfrac{V_1}{V_0}.

Cette formule permet d'automatiser dans un tableur le calcul des indices associés aux valeurs.
Remarque : Si l'indice calculé est supérieur à 100 cela signifie qu'il y a eu une augmentation. S'il est inférieur à 100 il y a alors une diminution.
Propriété :
Les taux d'évolutions correspondant aux valeurs d'une grandeurs et ceux correspondant aux indices associés sont égaux.

Exemple : Si un indice passe de 120 à 123,6 alors le taux d'évolution est \dfrac{123,6-120}{120}=0,03.
Il y a donc eu une augmentation de 3\%.

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