Prérequis :
Tu as déjà vu et utilisé les pourcentages au collège. Il est donc
important de bien maîtriser le vocabulaire et les techniques calculs apprises jusque là.
Tu seras amené à résoudre, de temps en temps, des équations du type
![ax+b=c](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?ax+b=c)
. Il faut donc
que tu sois à l'aise sur ce genre de question.
Enjeu :
Les notions vues dans ce chapitre sont très souvent utilisées dans les cours
d'économie et de géographie. Maîtriser les techniques de calculs de pourcentage, savoir ajouter un pourcentage ou une réduction sur un montant et comprendre les raisonnements
est donc clairement un plus dans ces matières.
I. Les pourcentages
Définition :
On considère une partie
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
d'un ensemble
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
La
proportion de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
dans
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
est le nombre :
Remarque : Cette proportion est très souvent exprimée en pourcentage.
Si
![p=0,75](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p=0,75)
alors le pourcentage associé est
![75\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?75\%)
.
D'une manière générale, la valeur du pourcentage associé à
![p](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p)
est le nombre
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
tel que
![p=\dfrac{t}{100}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p=\dfrac{t}{100})
.
Ainsi,
![0,75 = \dfrac{75}{100}= 75\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0,75 = \dfrac{75}{100}= 75\%)
.
On peut te demander de trouver, dans un exercice, l'un de ces trois nombres :
le pourcentage, le nombre d'éléments de
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
ou le nombre d'éléments de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
Exemples :
![24](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?24)
élèves dans une classe de
![30](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?30)
viennent au lycée en car.
![\dfrac{24}{30}=0,8 = 80\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{24}{30}=0,8 = 80\%)
.
Donc
![80\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?80\%)
des élèves de la classe viennent au lycée en car.
![20\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?20\%)
des bulbes d'un paquet contenant
![60](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?60)
bulbes font des fleurs
rouges.
![60\times \dfrac{20}{100} = 12](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?60\times \dfrac{20}{100} = 12)
.
Le paquet donnera donc
![12](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?12)
fleurs rouges.
Dans un lycée, on compte
![39](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?39)
élèves en première ES. On sait qu'elles représentent
![60\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?60\%)
des élèves de première ES.
Soit
![N](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?N)
le nombre d'élèves en première ES. On a alors
![0,6=\dfrac{39}{N}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0,6=\dfrac{39}{N} )
soit
![N=\dfrac{39}{0,6}=65](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?N=\dfrac{39}{0,6}=65)
.
![65](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?65)
élèves sont inscrits en première ES.
II. Pourcentage d'évolution et calculs sur les pourcentages
Il est très fréquent de voir des articles changer de prix au cours du temps. On s'est donc
intéressé à l'évolution des grandeurs.
Définition :
On considère une grandeur passant de la valeur
![V_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_0)
à
la valeur
![V_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_1)
.
On appelle
taux d'évolution de
![V_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_0)
à
![V_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_1)
le nombre
![\dfrac{V_1-V_0}{V_0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{V_1-V_0}{V_0})
.
Si ce rapport est exprimé sous forme de pourcentage, on parle alors de
pourcentage
d'évolution.
Remarque : Si le rapport est positif on parle d'
augmentation et si le rapport
est négatif on parle alors de
diminution.
Exemples :
Le prix d'un article passe de
![15](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?15)
euros à
![18](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?18)
euros.
Son taux d'évolution est donc
![t=\dfrac{18-15}{15}=0,2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t=\dfrac{18-15}{15}=0,2)
.
Son pourcentage d'évolution est donc de
![30\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?30\%)
. Il s'agit d'une augmentation.
Le nombre d'élèves d'un lycée est passé en cinq ans de
![850](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?850)
élèves à
![816](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?816)
.
Le taux d'évolution associé au nombre d'élèves est
![t=\dfrac{816-850}{850}=-0,04](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t=\dfrac{816-850}{850}=-0,04)
.
Le pourcentage d'évolution est donc de
![-4\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-4\%)
. Il s'agit d'une diminution.
Propriété :
Augmenter une quantité de
![t\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t\%)
revient à la multiplier par
![1+\dfrac{t}{100}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1+\dfrac{t}{100})
.
diminuer une quantité de
![t\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t\%)
revient à la multiplier par
![1-\dfrac{t}{100}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1-\dfrac{t}{100})
.
Remarque : Les nombres
![1+\dfrac{t}{100}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1+\dfrac{t}{100})
et
![1-\dfrac{t}{100}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1-\dfrac{t}{100})
sont appelés des coefficients multiplicateurs.
Grace à cette propriété tu es en mesure de déterminer la valeur initiale ou la valeur
finale de la grandeur.
Exemples :
Augmenter une quantité de
![20\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?20\%)
revient à la multiplier par
![1+\dfrac{20}{100}=1,2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1+\dfrac{20}{100}=1,2)
.
Diminuer une quantité de
![10\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?10\%)
revient à la multiplier par
Après une augmentation de
![15\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?15\%)
le prix d'un article est de
![16,10](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?16,10)
euros.
On veut déterminer le prix initial
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
.
On alors l'équation suivante
![P \times \left(1+\dfrac{15}{100}\right)=16,1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P \times \left(1+\dfrac{15}{100}\right)=16,1)
soit
![P \times 1,15=16,1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P \times 1,15=16,1)
donc
![P=\dfrac{16,1}{1,15} = 14](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P=\dfrac{16,1}{1,15} = 14)
.
L'article coûtait donc initialement
![14](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?14)
euros.
III Evolutions successives
On va voir dans cette partie comment déterminer le taux d'évolution associé à une grandeur
quand celle-ci subit plusieurs évolutions.
On considère une grandeur qui passe de la valeur
![V_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_0)
à la valeur
![V_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_1)
en
étant multipliée par un coefficient multiplicateur
![CM_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?CM_1)
puis
de la valeur
![V_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_1)
à la valeur
![V_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_2)
en étant multipliée par un coefficient
multiplicateur
![CM_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?CM_2)
.
On a alors
![V_1 = V_0 \times CM_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_1 = V_0 \times CM_1 )
et
![V_2=V_1\times CM_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_2=V_1\times CM_2)
.
Par conséquent
![V_2=V_0 \times CM_1 \times CM_2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_2=V_0 \times CM_1 \times CM_2)
.
Propriété :
Si une quantité subit des évolutions successives alors le
coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs.
Exemples :
Le prix d'un article subit une baisse de
![10\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?10\%)
puis une nouvelle baisse de
![20\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?20\%)
Alors le coefficient multiplicateur global est :
![CM=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right) = 0,9 \times 0,8 = 0,72](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?CM=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right) = 0,9 \times 0,8 = 0,72)
.
Or
![0,72 = 1-\dfrac{28}{100}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0,72 = 1-\dfrac{28}{100})
Donc le prix de l'article a, finalement, subit une baisse de
![28\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?28\%)
.
Le chiffre d'affaire d'une entreprise a augmenté de
![10\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?10\%)
puis a diminué de
![10\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?10\%)
.
Le chiffre d'affaire a donc été multiplié par
![\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right) = 1,1 \times 0,9 = 0,99](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right) = 1,1 \times 0,9 = 0,99)
.
Le chiffre d'affaire a donc, au global, baissé de
![1\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1\%)
.
Définition :
Si une quantité subit une évolution de
![t\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t\%)
, on appelle
taux d'évolution réciproque le taux d'évolution
![t'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t')
permettant
à la quantité de retrouver sa valeur initiale.
Propriété :
Si
![t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t)
est un taux d'évolution et
![t'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t')
son taux
d'évolution réciproque alors on a :
![\left(1+\dfrac{t}{100}\right) \times \left(1+\dfrac{t'}{100}\right)=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(1+\dfrac{t}{100}\right) \times \left(1+\dfrac{t'}{100}\right)=1)
Exemple : On considère une augmentation de
![25\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?25\%)
. On cherche le taux
d'évolution réciproque
![t'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t')
.
On a donc :
Soit
![1,25 \left(1+\dfrac{t'}{100}\right) = 1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1,25 \left(1+\dfrac{t'}{100}\right) = 1)
.
Donc
![1+\dfrac{t'}{100} = \dfrac{1}{1,25} = 0,8](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1+\dfrac{t'}{100} = \dfrac{1}{1,25} = 0,8)
Par conséquent
![t'=-0,2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t'=-0,2)
.
Ainsi, pour compenser une augmentation de
![25\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?25\%)
, il suffit de faire une diminution
de
![20\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?20\%)
.
Remarque : Une augmentation suivie d'une diminution d'un même pourcentage ne ramène
la grandeur à sa valeur initiale puisque les pourcentages ne sont pas appliqués sur les mêmes
valeurs.
IV Les indices
En économie, il est très fréquent d'entendre parler d'indice : on compare les différentes
valeurs que va prendre la grandeur en prenant comme point de référence une année donnée.
Définition :
On considère deux valeurs
![V_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_0)
et
![V_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_1)
d'une
même grandeur obtenues à des dates
![t_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t_0)
et
![t_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t_1)
. A la date
![t_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t_0)
on définit l'indice
![I_0=100](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_0=100)
et à la date
![t_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t_1)
on lui associe
l'indice base ![100](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?100)
tel que
![I_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_0)
et
![I_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1)
soient
proportionnels à
![V_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_0)
et
![V_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_1)
.
Exemple :On s'intéresse aux prix moyen en euros d'un article sur plusieurs mois
et aux indices base
![100](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?100)
associés.
![\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{Prix (en euros)}&250&300&P_2 \\ \hline \text{Indice}&100&I_1 &128 \\ \hline \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{Prix (en euros)}&250&300&P_2 \\ \hline \text{Indice}&100&I_1 &128 \\ \hline \end{array})
On a donc
![I_1=\dfrac{100 \times 300}{250} = 120](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=\dfrac{100 \times 300}{250} = 120)
et
![P_2=\dfrac{250\times 128}{100}=320](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P_2=\dfrac{250\times 128}{100}=320)
.
D'une manière générale On a la propriété suivante:
Propriété :
On considère deux valeurs
![V_0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_0)
et
![V_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V_1)
d'une
même grandeur pour lesquelles on a associé les indices respectifs
![I_0=100](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_0=100)
et
![I_1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1)
.
On a alors
![I_1=100\times \dfrac{V_1}{V_0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_1=100\times \dfrac{V_1}{V_0})
.
Cette formule permet d'automatiser dans un tableur le calcul des indices associés aux valeurs.
Remarque : Si l'indice calculé est supérieur à
![100](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?100)
cela signifie qu'il y a
eu une augmentation. S'il est inférieur à
![100](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?100)
il y a alors une diminution.
Propriété :
Les taux d'évolutions correspondant aux valeurs d'une grandeurs et
ceux correspondant aux indices associés sont égaux.
Exemple : Si un indice passe de
![120](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?120)
à
![123,6](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?123,6)
alors le taux
d'évolution est
![\dfrac{123,6-120}{120}=0,03](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{123,6-120}{120}=0,03)
.
Il y a donc eu une augmentation de
![3\%](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?3\%)
.