Fiche de mathématiques
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E3C-Spécimen 1 - Mathématiques Spécialité Epreuve 2 -

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Calculatrice autorisée

Durée : 2 heures


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E3C-Spécimen 1- Spécialité Mathématiques-Épreuve 2

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5 points

exercice 1

1.  u 1 = 1  ;  u 2 = 2  ;  u 3 = 4  ;  u 4 = 8  ;  u 5 = 16.

2.  Le nombre de grains est doublé entre une case et la suivante.
D'où, pour tout entier naturel n  non nul, nous obtenons :  u n +1 = 2 multiplie u n.

3.  De la question précédente, nous déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 2 et dont le premier terme est u 1 = 1.
Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_1\times q^{n-1} .
Donc, pour tout entier naturel n  non nul,   u_n=1\times2^{n-1} , soit  \boxed{u_n=2^{n-1}}

4.  Nous devons déterminer la somme  S=u_1+u_2+...+u_{64}  des 64 premiers termes de la suite géométrique (un ).
\text{Or }\ S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}

\text{Dès lors, }\ S=1\times\dfrac{1-2^{64}}{1-2}=\dfrac{1-2^{64}}{-1}\Longrightarrow\boxed{S=2^{64}-1}
Par conséquent, 264 - 1 grains de riz doivent être disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage.

5.  Fonction complétée permettant de déterminer à partir de quelle case le vieux sage disposera d'au moins R  grains de riz :

           {\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ {\blue{\text{nb}}}\_{\blue{\text{case}}}\text{(R)}: \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{case}\ {\red{=}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{u}\ {\red{=}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{somme}\ {\red{=}}\ \text{u} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }{\green{\text{while}}}\ \text{somme}\ {\red{<}}\ \text{R}: \\\phantom{WWW}\text{u}\ {\red{=}}\ {\cyan{2}}\ {\red{*}}\ \text{u} \\\phantom{WWW}\text{somme}\ {\red{=}}\ \text{somme}\ {\red{+}}\ \text{u} \\\phantom{WWW}\text{case}\ {\red{=}}\ \text{case}\ {\red{+}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }{\green{\text{return}}}\ \text{case}

5 points

exercice 2

1.  L'urne contient 10 jetons dont 6 sont rouges et 4 sont verts.
Donc la probabilité que le jeton soit rouge est  P(R)=\dfrac{6}{10}=0,6.
De même, la probabilité que le jeton soit vert est  P(V)=\dfrac{4}{10}=0,4.
Parmi les 6 jetons rouges, un seul est marqué "gagnant".
Donc si le jeton tiré est rouge, la probabilité qu'il soit marqué "gagnant" est égale à  \dfrac{1}{6}  et par suite, il est perdant avec une probabilité égale à  \dfrac{5}{6}.
Parmi les 4 jetons verts, 3 sont marqués "gagnant".
Donc si le jeton tiré est vert, la probabilité qu'il soit marqué "gagnant" est égale à  \dfrac{3}{4}  et par suite, il est perdant avec une probabilité égale à  \dfrac{1}{4}.
D'où, l'arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
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2.  Nous devons déterminer  P(V\cap G)

P(V\cap G)=P(V)\times P_V(G) \\\\\phantom{P(V\cap G)}=\dfrac{4}{10}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{\cancel{4}}{10}\times\dfrac{3}{\cancel{4}} \\\\\phantom{P(V\cap G)}=\dfrac{3}{10} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(V\cap G)=\dfrac{3}{10}}
Par conséquent, la probabilité de l'événement "le jeton tiré est vert et marqué gagnant" est égale à  \dfrac{3}{10} .

3.  Nous devons déterminer  P(G).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(G)= P(R\cap G)+P(V\cap G) \\\\\phantom{P(G)}=P(R)\times P_{R}(G)+\dfrac{3}{10} \\\\\phantom{P(G)}=\dfrac{6}{10}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{10} =\dfrac{\cancel{6}}{10}\times\dfrac{1}{\cancel{6}}+\dfrac{3}{10} \\\\\phantom{P(G)}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10} =\dfrac{4}{10} \\\\\phantom{P(G)}=\dfrac{2}{5}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(G)=\dfrac{2}{5}}

4.  Nous devons déterminer  P_G(R).

P_G(R)=\dfrac{P(R\cap G)}{P(G)} \\\\\phantom{P_R(C)}=\dfrac{P(R)\times P_R(G)}{P(G)} \\\\\phantom{P_R(C)}=\dfrac{\dfrac{6}{10}\times\dfrac{1}{6}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{4}{10}}=\dfrac{1}{4}\\\\\Longrightarrow\boxed{P_G(R)=\dfrac{1}{4}}
Par conséquent, sachant que le jeton tiré est gagnant, la probabilité qu'il soit de couleur rouge est égale à  \dfrac{1}{4} .

5.  L'urne contient 4 jetons marqués "gagnant" et 6 jetons marqués "perdant".
Nous les noterons respectivement G1, G2, G3, G4 et P1, P2, P3, P4, P5 et P6.
En nous aidant du tableau ci-dessous, nous pouvons déterminer le nombre de paires possibles de deux jetons tirés simultanément en nous rappelant que l'ordre des éléments de la paire n'a pas d'importance puisque le tirage est simultané.

         
E3C-Spécimen 1- Spécialité Mathématiques-Épreuve 2 : image 6


Nous comptons donc 45 paires possibles.
Parmi ces paires, nous comptons 6 paires de 2 jetons marqués "gagnant".
Ces paires sont : {G1;G2}, {G1;G3}, {G1;G4}, {G2;G3}, {G2;G4} et {G3;G4}.
Par conséquent, la probabilité que les deux jetons soient marqués "gagnant" est égale à  \dfrac{6}{45} , soit  \dfrac{2}{15}.

5 points

exercice 3

Soit la fonction f  définie sur R par  f(x)=x^3+7x^2+11x-19.

1.  Déterminons l'expression de f' (x ).

f'(x)=(x^3)'+7(x^2)'+11x'-19' \\\phantom{f'(x)}=3x^2+7\times2x+11\times1-0 \\\phantom{f'(x)}=3x^2+14x+11 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=3x^2+14x+11}

2.  Résoudre dans R l'inéquation 3x 2 + 14x  + 11 > 0.
Dressons le tableau de signe du polynôme du second degré 3x 2 + 14x  + 11.

\text{Discriminant du polynôme : }\Delta=14^2-4\times3\times11=196-132=64>0 \\\\\text{Racines du polynôme : }x_1=\dfrac{-14-\sqrt{64}}{2\times3}=\dfrac{-14-8}{6}=\dfrac{-22}{6}=-\dfrac{11}{3} \\\phantom{\text{Racines du polynôme : }}x_2=\dfrac{-14+\sqrt{64}}{2\times3}=\dfrac{-14+8}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1
Puisque le coefficient de x 2 est positif, le polynôme sera positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur des racines.
D'où, le tableau de signe de 3x 2 + 14x  + 11.

          \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{11}{3}&&-1&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&3x^2+14x+11&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de l'inéquation 3x 2 + 14x  + 11 > 0 est  S=]-\infty\,;\,-\dfrac{11}{3}[\cup\,]-1\,;\,+\infty[.

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f .

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\f(-\dfrac{11}{3})=(-\dfrac{11}{3})^3+7\times(-\dfrac{11}{3})^2+11\times(-\dfrac{11}{3})-19=-\dfrac{392}{27}\approx-14,5\\\\f(-1)=(-1)^3+7\times(-1)^2+11\times(-1)-19=-1+7-11-19=-24\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{11}{3}&&-1&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&f'(x)=3x^2+14x+11&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&-\dfrac{392}{27}\approx-14,5&&&&&f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&&&&&-24&&\\\hline \end{array}

3.  L'équation réduite de la tangente à la courbe C  au point d'abscisse 0 est de la forme  y=f'(0)(x-0)+f(0) , soit de la forme  y=f'(0)x+f(0).

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=x^3+7x^2+11x-19\\f'(x)=3x^2+14x+11\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=-19\ \ \ \ \\f'(0)=11\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
Par conséquent, l'équation réduite de la tangente à la courbe C  au point d'abscisse 0 est  \boxed{y=11x-19}

{\red{4.}}\ f(x)=x^3+7x^2+11x-19\Longrightarrow f(1)=1^3+7\times1^2+11\times1-19 \\\phantom{{\red{4.}}\ f(x)=x^3+7x^2+11x-19\Longrightarrow f(1)}=1+7+11-19 \\\phantom{{\red{4.}}\ f(x)=x^3+7x^2+11x-19\Longrightarrow f(1)}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{f(1)=0}
Nous en déduisons que 1 est solution de l'équation x 3 + 7x 2 + 11x  - 19 = 0.

\text{De plus, }\ (x-1)(x^2+8x+19)=x^3+8x^2+19x-x^2-8x-19 \\\phantom{\text{De plus, }\ (x-1)(x^2+8x+19)}=x^3+7x^2+11x-19 \\\phantom{\text{De plus, }\ (x-1)(x^2+8x+19)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=(x-1)(x^2+8x+19)}

5.  f(x)=(x-1)(x^2+8x+19)

Etudions le signe de chaque facteur puis dressons le tableau de signes de f  sur R.

  Signe de x  - 1.

        {\red{x-1=0}}\Longleftrightarrow {\red{x=1}} \\ {\red{x-1>0}}\Longleftrightarrow {\red{x>1}} \\ {\red{x-1<0}}\Longleftrightarrow {\red{x<1}}

  Signe de x 2 + 8x  + 19.

\text{Déterminant }\Delta=8^2-4\times1\times19=64-76=-12<0
Le polynôme du second degré x 2 + 8x  + 19 n'admet pas de racine.
Puisque le signe du coefficient de x 2 est strictement positif, nous déduisons que x 2 + 8x  + 19 > 0 pour tout réel x .
D'où le tableau de signes de f  sur R.

            \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-\infty&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline \text{Signe de }(x-1)&&-&0&+&\\\hline \text{Signe de }(x^2+8x+19)&&+&+&+&\\\hline&&&&&&\text{Signe de }f(x)&&-&0&+&&&&&&&\\\hline \end{array}

5 points

exercice 4

1.  Les points A  et B  sont manifestement distincts.
Montrons que les coordonnées du point A  vérifient l'équation x  + 3y  - 6 = 0 en remplaçant x  par 3 et y  par 1.
En effet, 3 + 3 multiplie 1 - 6 = 3 + 3 - 6 = 0.
Montrons que les coordonnées du point B  vérifient l'équation x  + 3y  - 6 = 0 en remplaçant x  par -3 et y  par 3.
En effet, -3 + 3 multiplie 3 - 6 = -3 + 9 - 6 = 0.
Les coordonnées des points distincts A  et B  vérifient donc l'équation x  + 3y  - 6 = 0.
Par conséquent, l'équation x  + 3y  - 6 = 0 est une équation cartésienne de la droite (AB ).

2.  Nous savons que si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax  + by  + c  = 0, alors le vecteur  \overrightarrow{n}  de coordonnées (a  ; b ) est un vecteur normal à cette droite.
Une équation cartésienne de la droite (AB ) est : x  + 3y  - 6 = 0.
Donc le vecteur  \overrightarrow{n}  de coordonnées (1 ; 3) est un vecteur normal à cette droite et par suite,  \overrightarrow{n}(1\,;\,3)  est un vecteur directeur de la droite d  perpendiculaire à (AB ).
Or si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax  + by  + c  = 0, alors cette droite est dirigée par le vecteur de coordonnées (-b  ; a ).
Dès lors, une équation cartésienne de la droite d  est de la forme 3x  - y  +  c  = 0.
De plus, le point C (2 ; 4) appartient à cette droite d .
Ses coordonnées vérifient donc l'équation de d .
D'où 3 multiplie 2 - 4 + c  = 0 equivaut 6 - 4 + c  = 0 equivaut c  = -2.
Par conséquent, une équation cartésienne de la droite d  est 3x  - y  - 2 = 0.

3.  Le point K , projeté orthogonal du point C  sur la droite (AB ) est le point d'intersection des droites d  et (AB ).
Les coordonnées de ce point K  se déterminent en résolvant le système composé par les équations des droites (AB ) et d .

\left\lbrace\begin{matrix}x+3y-6=0\\3x-y-2=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x+3y-6=0\\y=3x-2\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x+3(3x-2)-6=0\\y=3x-2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWw}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x+9x-6-6=0\\y=3x-2\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}10x=12\\y=3x-2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWw}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac{12}{10}=1,2\\y=3x-2\ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x=1,2\\y=3\times1,2-2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWw}\Longleftrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=1,2\\y=1,6\end{matrix}\right.}
Par conséquent, les coordonnées du point K  sont (1,2 ; 1,6).

{\red{4.\ }}\ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ AB}=\sqrt{(-3-3)^2+(3-1)^2} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ AB}=\sqrt{(-6)^2+2^2} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ AB}=\sqrt{36+4} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ AB}=\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt{4}\times\sqrt{10} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ AB}=2\sqrt{10} \\\\\Longrightarrow\boxed{AB=2\sqrt{10}}

Le point M  est le milieu du segment [AB ].
Ses coordonnées sont données par :  

\left\lbrace\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_M=\dfrac{3+(-3)}{2}\\\\y_M=\dfrac{1+3}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_M=0\\y_M=2\end{matrix}\right.}
Par conséquent, les coordonnées du point M  sont (0 ; 2).

5.  Une équation cartésienne du cercle de centre omegamaj(a  ; b ) et de rayon r  est de la forme  \boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}.
Le centre du cercle de diamètre [AB ] est le point M  (0 ; 2).
Le rayon du cercle est  \dfrac{AB}{2}=\sqrt{10}
D'où une équation du cercle de diamètre [AB ] est  (x-0)^2+(y-2)^2=(\sqrt{10})^2 , soit  \boxed{x^2+(y-2)^2=10}
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