Sciences et technologies de l'hôtellerie et de la restauration
DURÉE DE L'ÉPREUVE : 2 heures
COEFFICIENT : 3
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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé,
l'usage de calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Le candidat doit traiter les 3 exercices.
Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des
copies.
9 points
exercice 1
Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
Une entreprise produit et commercialise des pizzas dans deux points de vente.
On dispose des informations suivantes :
60 % de la production est vendue dans le premier point de vente, le reste est vendu
dans le second.
Dans le premier point de vente, 10 % des pizzas vendues sont des pizzas
Margherita, 40 % des pizzas 4 fromages.
Dans le second, 20 % des pizzas vendues sont des pizzas Margherita, 35 % des
pizzas 4 fromages.
On prélève au hasard une pizza à la sortie du laboratoire de production.
On considère les événements suivants : V 1 : « la pizza sera vendue dans le premier point de vente » V 2 : « la pizza sera vendue dans le second point de vente » M : « la pizza est une pizza Margherita » F : « la pizza est une pizza 4 fromages » A : « la pizza n'est ni une pizza Margherita, ni une pizza 4 fromages »
1. Compléter l'arbre donné dans l'annexe 1, à rendre avec la copie. 2. Traduire par une phrase l'événement , puis calculer sa probabilité. 3. Montrer que P (F ) = 0,38. 4. La pizza prélevée est une pizza 4 fromages. Quelle est la probabilité, arrondie à 0,01,
que la pizza soit vendue dans le second point de vente ?
Partie B
Dans cette partie, les probabilités seront arrondies au millième.
Le laboratoire de cette entreprise produit des pizzas dont la masse, exprimée en grammes,
peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance
et d'écart-type . 1. Calculer P (388 X 412) et interpréter le résultat. 2. On estime qu'une pizza est commercialisable si sa masse est supérieure à 380 g.
Déterminer la probabilité qu'une pizza choisie au hasard soit commercialisable.
Partie C
Après leur production, les pizzas doivent être livrées au point de vente V depuis le
laboratoire de production L en passant par différents carrefours B, C, D, E, F et G.
Voici les différentes étapes possibles et le temps nécessaire pour les parcourir :
1. Compléter le graphe pondéré donné en annexe 1 à rendre avec la copie avec les
données du tableau ci-dessus. 2. Déterminer le parcours le plus rapide entre le laboratoire de production L et le point
de vente V. Quelle est alors la durée du parcours ?
6 points
exercice 2
Les membres du C. V. L. (Conseil de la Vie Lycéenne) d'un lycée ont lancé une campagne
de sensibilisation visant à réduire le gaspillage alimentaire.
1. Après une semaine de sensibilisation, on a constaté que la masse moyenne de déchets
par repas est passée de 131 g à 124 g.
Calculer le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, correspondant à cette baisse. Le
résultat sera arrondi à 0,01 %. 2. On suppose que pour les semaines qui suivent la masse moyenne de déchets par repas
diminue de 5,3 % par semaine. On note u n la masse moyenne de déchets par repas,
exprimée en grammes, où n représente le nombre de semaines écoulées après cette
semaine de campagne de sensibilisation. On a ainsi : u 0 = 124. a. Calculer u1 .
On arrondira le résultat à l'unité. b. Justifier que (u n) est une suite géométrique dont on précisera la raison. c. Pour tout entier naturel n exprimer u nen fonction de n. d. Selon ce modèle combien de semaines faudra-t-il, après cette semaine de campagne
de sensibilisation, pour que la masse moyenne de déchets de ce lycée soit inférieure
à 100 g ? e. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour que la valeur de N à la fin de son
exécution soit égale au résultat trouvé à la question 2.d.
5 points
exercice 3
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 25]. On note C sa courbe
représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. Avec la précision permise par le graphique : a. lire f(11) ; b. résoudre l'équation f(x) = 0.
2. La fonction f est définie sur l'intervalle [0 ; 25] par a. On note f ' la fonction dérivée de la fonction f.
Calculer f ' (x) pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; 25]. b. Déterminer le signe de f ' sur l'intervalle [0; 25]. En déduire le tableau de variations
de la fonction f sur [0 ; 25]. c. En déduire le maximum de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 25]. Pour quelle valeur
de x est-il atteint ?
1. Une entreprise produit et commercialise des pizzas dans deux points de vente.
On dispose des informations suivantes :
60 % de la production est vendue dans le premier point de vente, le reste est vendu dans le second.
Dans le premier point de vente, 10 % des pizzas vendues sont des pizzas Margherita, 40 % des pizzas 4 fromages.
Dans le second, 20 % des pizzas vendues sont des pizzas Margherita, 35 % des pizzas 4 fromages.
Arbre pondéré traduisant la situation.
2. L'événement peut se traduire par : "la pizza sera vendue dans le second point de vente et sera une pizza Margherita"
3. Nous devons déterminer P (F ).
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
4. Nous devons déterminer
Par conséquent, sachant que la pizza prélevée est une pizza 4 formages, la probabilité qu'elle soit vendue dans le second point de vente est environ égale à 0,37 (valeur arrondie au centième).
Partie B
Le laboratoire de cette entreprise produit des pizzas dont la masse, exprimée en grammes, peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance = 400 et d'écart-type = 12.
1. Nous devons calculer
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
Si le résultat est arrondi au millième, nous obtenons :
Cela signifie qu'environ 68,3 % des pizzas produites par cette entreprise ont une masse comprise entre 388 g et 412 g.
2. Nous devons déterminer
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
Par conséquent, la probabilité qu'une pizza choisie au hasard soit commercialisable est environ égale à 0,952.
Partie C
Après leur production, les pizzas doivent être livrées au point de vente V depuis le laboratoire de production L en passant par différents carrefours B, C, D, E, F et G .
1. Graphe pondéré représentant les différentes étapes possibles et le temps nécessaire pour les parcourir.
2. Déterminons le parcours le plus rapide entre le laboratoire de production L et le point de vente V .
Quatre trajets différents sont possibles pour aller de L à V .
Durée de ce trajet : 1 + 5 + 4 + 9 = 19 minutes.
Durée de ce trajet : 1 + 5 + 6 + 4 = 16 minutes.
Durée de ce trajet : 1 + 4 + 9 + 4 = 18 minutes.
Durée de ce trajet : 1 + 4 + 7 + 6 = 18 minutes.
D'où, le parcours le plus rapide entre le laboratoire de production et le point de vente est : L - B - C - F - V.
La durée du parcours est de 16 minutes.
6 points
exercice 2
1. Après une semaine de sensibilisation, on a constaté que la masse moyenne de déchets par repas est passée de 131 g à 124 g.
Le taux d'évolution, exprimé en pourcentage, entre deux valeurs est donné par la formule :
.
Dès lors, le taux d'évolution correspondant à cette baisse est égal à : soit à environ -5,34 %.
2. On suppose que pour les semaines qui suivent la masse moyenne de déchets par repas diminue de 5,3 % par semaine.
On note un la masse moyenne de déchets par repas, exprimée en grammes, où n représente le nombre de semaines écoulées après cette semaine de campagne de sensibilisation.
On a ainsi : u0 = 124.
2. a) Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 5,34 % est égal à 1 - 0,0534 = 0,9466.
2. b) Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 5,34 % est égal à 1 - 0,0534 = 0,9466.
La masse moyenne de déchets par repas (n + 1) semaines après la semaine de campagne de sensibilisation est égal à la masse moyenne de déchets par repas n semaines après la semaine de campagne de sensibilisation multipliée par 0,9466, soit
Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 0,9466 dont le premier terme est u0 = 124.
2. c) Le terme général de la suite (un ) est
Donc, pour tout entier naturel n ,
2. d) Déterminer combien de semaines seront nécessaires après cette semaine de campagne de sensibilisation, pour que la masse moyenne de déchets de ce lycée soit inférieure à 100 g revient à déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation
Donc, le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation est n = 4.
Par conséquent, selon de modèle, la masse moyenne de déchets de ce lycée soit inférieure à 100 g après 4 semaines au-delà de la semaine de campagne de sensibilisation.
2. e) Algorithme complété.
5 points
exercice 3
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 25]. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. a) Avec la précision permise par le graphique, nous lisons que f(11) 100.
1. b) Les solutions de l'équation f (x ) = 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.
Donc l'ensemble S des solutions de l'équation f (x ) = 0 est
2. La fonction f est définie sur l'intervalle [0 ; 25] par
2. a) La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; 25] en tant que fonction polynôme.
D'où le tableau de variations de la fonction f :
2. c) Nous déduisons du tableau de variations de la fonction f que f admet un maximum égal à 122,5.
Ce maximum est atteint pour x = 15.
Publié par malou
le
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