Fiche de mathématiques
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BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

Nouvelle Calédonie Session 2020

Séries STI2D et STL spécialité SPCL

MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

Coefficient : 4

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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Aucun document n'est autorisé.


Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat ou la candidate doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat ou la candidate peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
On invite le candidat ou la candidate à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qui aura été développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.



4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des affirmations suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On considère le nombre complexe z=-2\sqrt 3 + 2i. Sa forme exponentielle est :

\textbf a. \;\; z=-4\text e ^{i\frac{\pi}{6}}\qquad \textbf b. \;\; z=4\text e ^{-i\frac{\pi}{6}}\qquad \textbf c. \;\; z=2\text e ^{i\frac{5\pi}{6}}\qquad \textbf d. \;\; z=4\text e ^{i\frac{5\pi}{6}}

2. La fonction f définie sur R par f(t)=2\sin \left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) est solution de l'équation différentielle :

\begin{matrix} a. & 2y''+3y=0\qquad & b. & 2y''+9y=0\\ c.& y''+9y=0\qquad& d.& y''+3y=0 \end{matrix}

3. Soit la fonction f définie sur R par f(x)=\text e ^{-2x} et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé. L' équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est :

\textbf a. \;\; y=-2x+1\qquad \textbf b. \;\; y=x+1\qquad \textbf c. \;\; y=-2x-1\qquad \textbf d. \;\; y=x-1

4. On donne le tableau de variation d'une fonction f :
 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 7


Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f admet :
{\white{ww}}\textbf a.{\white{w}} deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ;
{\white{ww}}\textbf b.{\white{w}}une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ;
{\white{ww}}\textbf c.{\white{w}}une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et aucune asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ;
{\white{ww}}\textbf d.{\white{w}} aucune asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.

5 points

exercice 2

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément.
Sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à
10 -3 .

Une entreprise vient d'installer un distributeur à café dans la salle de repos de ses salariés.

PARTIE A :

On admet que la durée moyenne de fonctionnement d'un distributeur de ce type jusqu'à l'apparition de la première panne est de 15 mois.
Ce distributeur bénéficie d'une garantie de 2 ans.
On modélise la durée de fonctionnement, en mois, de ce distributeur jusqu'à sa première panne par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre lambda.

1. Déterminer la valeur exacte de lambda.
2. Dans la suite, on prendra lambda = 0,067.
\white wwa. Calculer la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des 12 premiers mois.
\white wwb. Calculer la probabilité que ce distributeur subisse sa première panne avant la fin de la garantie.

PARTIE B :

Dans cette partie, les volumes sont exprimés en centilitre (cL).

La notice précise que le distributeur délivre les cafés dans des gobelets d'une contenance de 16 cL. Le volume d'un café distribué par cette machine peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance mu= 12,5 et d'écart type sigma = 1,2.

1. Déterminer la probabilité que le volume d'un café soit compris entre 11 cL et 14 cL.
2. Déterminer la probabilité que le café déborde du gobelet.

PARTIE C :

Tous les cafés délivrés par ce distributeur ont une température initiale de 80 °C.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température des cafés servis.
On note theta(t) la température d'un café en degré Celsius, à l'instant t exprimé en minute.
On admet que la fonction theta, définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; +infini[ est solution de l'équation différentielle :

\theta '(t)+0,2\theta (t)=4


1. Déterminer les solutions de cette équation différentielle.
2. Montrer que, pour tout réel t positif : \theta (t)=60\text e ^{-0,2t}+20.
3. Un salarié se sert un café et attend 4 minutes avant de le boire.
\white wwa. Quelle est alors la température de son café ? On arrondit le résultat à l'unité.
\white wwb. Déterminer la valeur exacte de la durée d'attente nécessaire pour que la température du café atteigne 40° C, puis en donner une valeur approchée arrondie à la minute.

5 points

exercice 3

La loutre d'Europe est un mammifère carnivore de la famille des mustélidés.

Sa population n'a cessé de décroître en France en raison de la dégradation de son milieu naturel, mais également parce que cette espèce est victime de pièges posés par les chasseurs.

PARTIE A :

La population de loutres d'Europe était en France de 50 000 individus au 1 er janvier 1930. On estime que depuis cette date, la population a perdu 5 % de ses individus chaque année en raison de la dégradation du milieu naturel.

1. Calculer la population de loutres d'Europe en France au 1 er janvier 1931.

On fait l'hypothèse qu'en plus de la chute démographique due à la dégradation du milieu naturel, 68 individus sont piégés tous les ans entre le 1 er janvier et le 31 décembre.

On modélise la population de loutres d'Europe en France par la suite (uu ) définie par u 0= 50 000 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0,95 u_n-68

L'arrondi à l'unité de un est alors égal au nombre de loutres de la population le 1 er janvier de l'année 1930 + n.

2. Calculer u 1 et u 2 . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

3. L'algorithme ci-dessous permet d'estimer l'année à partir de laquelle la population de loutres d'Europe en France comptera moins de 1 000 individus.
 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 2

Recopier et compléter cet algorithme.

4. On estime que l'espèce est en danger d'extinction si elle comporte moins de 1 000 individus. Justifier le fait qu'un plan de réintroduction de la loutre d'Europe ait été mis en place en France à partir de l'année 1991.

Partie B :

À partir de 1991, la population de loutres d'Europe perd toujours 5 % de ses individus chaque année, mais le plan de sauvegarde prévoit :

{\white{ww}}\bullet\white w l'interdiction de la pose de pièges ;
{\white{ww}}\bullet\white w la réintroduction de 250 jeunes loutres au 31 décembre de chaque année.

On suppose que la population au 1 er janvier 1991 s'élève à 1 000 loutres.

On modélise la population à partir du 1 er janvier 1991 par la suite (vn ) définie par v0= 1 000 et, pour tout entier naturel n, v _{n+1} = 0,95 v _n + 250.

L'arrondi à l'unité de v n représente le nombre de loutres au premier janvier de l'année 1991 + n.

1. Soit la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par w _ n = v_ n - 5 000.

Justifier que la suite (w n ) est une suite géométrique de raison 0,95. Préciser son terme initial w 0 .

2. Exprimer alors w n en fonction de n.

3. En déduire que pour tout entier naturel n, on a  v _ n = 5 000 - 4 000 \times  0,95^ n .

4. Dans l'hypothèse où l'on conserve la même évolution tous les ans, la population de loutres d'Europe en France peut-elle à long terme retrouver l'effectif de 1930 ? Justifier. 6 points

exercice 4

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément.

 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 1


Partie A :

1. Déterminer graphiquement f(1) et f '(1).
2. Vérifier que pour tout x de l'intervalle ]0 ; + infini[
f'(x)=a+b+b\ln (x).

3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs de a et b.

Partie B :

On admet que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + infini[
f(x)=2,5x-2x\ln (x)

1. Donner l'expression de f '(x).
2. Etudier le signe de f '(x) et en déduire le tableau de variation de la fonction f. ( Les limites aux bornes ne sont pas demandées).

Partie C :

On souhaite installer des abris à vélos couverts.
Pour les fabriquer, on a besoin de connaître l'aire des faces latérales.
 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 8


Soit E le point de Cf d'abscisse 0,04 et F le point d'abscisse 2 ayant la même ordonnée que E.

Une face latérale est représentée par le domaine délimité par la courbe C f , les droites d'équation x = 0,04 et x = 2 et la droite (EF) parallèle à l'axe des abscisses (voir figure ci-dessous).

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1. Montrer que la fonction G définie sur ]0 ; + infini[ par :

G(x)=x²(1,75-\ln (x))


est une primitive de f sur ]0 ; + infini[

2. On souhaite calculer \begin{aligned}\int_{0,04}^{2}{f(x)}\;$d$x\end{aligned}.
{\white{ww}}a.\white w Parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur la copie celle qui permet de calculer cette intégrale :
 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 6


{\white{ww}}b.\white w Donner une valeur approchée de \begin{aligned}\int_{0,04}^{2}{f(x)}\;$d$x\end{aligned} à 10-1 près.

3. Toutes les dimensions sont exprimées en mètre. En déduire une valeur approchée, à 0,1 m² près, de l'aire d'une face latérale.




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4 points

exercice 1

1.  Nous devons déterminer la forme exponentielle de  z=-2\sqrt{3}+2\text{i}.

\bullet{\white{w}}|z|=\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}={\blue{4}} \\\\\bullet{\white{w}}z=-2\sqrt{3}+2\text{i}={\blue{4}}\left(\dfrac{-2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{2}{4}\text{i}\right)=4\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right)=4\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)
D'où un argument de z  est  \dfrac{5\pi}{6}.
Par conséquent, la forme exponentielle de z  est  \boxed{z=4\,\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}}.
La réponse correcte est donc la réponse d.

{\red{2.\ }}\ f(t)=2\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\bullet{\white{w}}f'(t)=2\times\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)'\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{ww.f'(t)}=2\times3\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{ww.f'(t)}=6\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\bullet{\white{w}} f''(t)=6\times\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)'\left[-\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\\phantom{ww.f''(t)}=6\times3\left[-\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\\phantom{ww.f''(t)}=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(t)=2\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\\f''(t)=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\end{matrix}\right.}

\forall\ t\in\R,\ f''(t)+9f(t)=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)+9\times2\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{\forall\ t\in\R,\ f''(t)+9f(t)}=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)+18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{\forall\ t\in\R,\ f''(t)+9f(t)}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ t\in\R,\ f''(t)+9f(t)=0}
La réponse correcte est donc la réponse c : y'' + 9y = 0.

3.  Soit la fonction f  définie sur R par  f(x)=\text{e}^{-2x}  et Cf  sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
L'équation réduite de la tangente à Cf  au point d'abscisse 0 est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=f'(0)(x-0)+f(0)} , soit  \boxed{y=f'(0)x+f(0)}
\text{Or }\ \bullet{\white{w}}f(x)=\text{e}^{-2x}\Longrightarrow f(0)=\text{e}^{0} \\\phantom{wwwwf(x).=\text{e}^{-2x}}\Longrightarrow \boxed{f(0)=1} \\\\ {\white{ww.}}\bullet{\white{w}}f(x)=\text{e}^{-2x}\Longrightarrow f'(x)=(-2x)'\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{wwwwf(x).=\text{e}^{-2x}}\Longrightarrow f'(x)=-2\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{wwwwf(x).=\text{e}^{-2x}}\Longrightarrow f'(0)=-2\,\text{e}^{0} \\\phantom{wwwwf(x).=\text{e}^{-2x}}\Longrightarrow \boxed{f'(0)=-2}
D'où l'équation réduite de la tangente à Cf  au point d'abscisse 0 est  \boxed{y=-2x+1}
La réponse correcte est donc la réponse a.

4.  On donne le tableau de variation d'une fonction f  :

 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 11


\overset{{\white{.}}}{\bullet\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2\ \Longrightarrow} {\white{w}}la courbe Cf  admet une asymptote horizontale d'équation : y  = 2.

\overset{{\white{.}}}{\bullet{\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\text{dom }f=\R\setminus\lbrace-1\rbrace\\\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow}{\white{w}}la courbe Cf  admet une asymptote verticale d'équation : x  = -1.

Remarque : Nous aurions pu montrer l'existence de cette même asymptote verticale par les informations :   \overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}\text{dom }f=\R\setminus\lbrace-1\rbrace\\\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\end{matrix}\right.}

D'où, la courbe représentative de la fonction f  admet une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.
La réponse correcte est donc la réponse b.

5 points

exercice 2

Partie A

On admet que la durée moyenne de fonctionnement d'un distributeur de ce type jusqu'à l'apparition de la première panne est de 15 mois.
Ce distributeur bénéficie d'une garantie de 2 ans.
On modélise la durée de fonctionnement, en mois, de ce distributeur jusqu'à sa première panne par une variable aléatoire T  qui suit une loi exponentielle de paramètre lambda.

1.  Nous devons déterminer la valeur exacte de lambda.
La variable aléatoire T  suit une loi exponentielle de paramètre lambda.
L'espérance mathématique de T  vérifie l'égalité suivante :  \overset{{\white{.}}}{E(T)=\dfrac{1}{\lambda}.}
E(T)=15\Longleftrightarrow\dfrac{1}{\lambda}=15 \\\\\phantom{E(T)=15}\Longleftrightarrow\boxed{\lambda=\dfrac{1}{15}}

2.  Dans la suite, on prendra  \overset{{\white{.}}}{\lambda=0,067.}

2. a)  Nous devons déterminer la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des 12 premiers mois.

P(T\ge 12)=\text{e}^{-0,067\times12}\Longrightarrow\boxed{P(T\ge12)\approx0,448}
D'où la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des 12 premiers mois est environ égale à 0,448.

2. b)  Nous devons déterminer la probabilité que ce distributeur subisse sa première panne avant la fin de la garantie de 24 mois.

P(T\le 24)=1-\text{e}^{-0,067\times24}\Longrightarrow\boxed{P(T\le24)\approx0,800}
D'où la probabilité que ce distributeur subisse sa première panne avant la fin de la garantie est environ égale à 0,8.

Partie B

La notice précise que le distributeur délivre les cafés dans des gobelets d'une contenance de 16 cL. Le volume d'un café distribué par cette machine peut être modélisé par une variable aléatoire X  qui suit la loi normale d'espérance mu = 12,5 et d'écart type sigma = 1,2.

1.  Par la calculatrice, nous obtenons :  P(11\le X\le 14)\approx0,789.
Par conséquent, la probabilité que le volume d'un café soit compris entre 11 cL et 14 cL est environ égale à 0,789.

2.  Par la calculatrice, nous obtenons :  P(X>16)\approx0,00177.
Par conséquent, la probabilité que le café déborde du gobelet est environ égale à 0,002.

Partie C

1.  Résoudre sur [0 ; +infini[ l'équation différentielle  (E):\theta \, '(t)+0,2\,\theta (t)=4.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme  \overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}  est  y=k\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).
\text{Or }\ (E)\Longleftrightarrow \theta \, '(t)=-0,2\,\theta (t)+4.
Dans ce cas, a = -0,2 et b = 4.
D'où la solution générale de l'équation (E ) est de la forme  \overset{{\white{.}}}{\theta (t)=k\,\text{e}^{-0,2t}-\left(\dfrac{4}{-0,2}\right)}
soit  \boxed{\theta (t)=k\,\text{e}^{-0,2t}+20\ \ \ \ \ (k\in\R)}

2.  Nous savons que tous les cafés délivrés par ce distributeur ont une température initiale de 80 °C.
Nous obtenons ainsi la relation  \overset{{\white{.}}}{\theta(0)=80}.
Déterminons la solution de (E ) vérifiant la condition  \overset{{\white{.}}}{\theta(0)=80}  en remplaçant t  par 0 et  \overset{{\white{.}}}{\theta (t)}   par 80 dans la solution générale de (E ).

k\,\text{e}^{-0,2\times0}+20=80\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}+20=80 \\\phantom{k\,\text{e}^{-0,2\times0}+20=80}\Longleftrightarrow k+20=80 \\\phantom{k\,\text{e}^{-0,2\times0}+20=80}\Longleftrightarrow k=80-20 \\\phantom{k\,\text{e}^{-0,2\times0}+20=80}\Longleftrightarrow{\red{ k=60}}
Par conséquent, pour tout t  de l'intervalle [0 ; +infini[,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{ \theta(t)=60\,\text{e}^{-0,2t}+20}}.

3. a)  Un salarié se sert un café et attend 4 minutes avant de le boire.
\overset{{\white{.}}}{\theta(4)=60\,\text{e}^{-0,2\times4}+20=60\,\text{e}^{-0,8}+20\Longrightarrow\boxed{ \theta(4)\approx47}}.
La température de son café est alors de 47 °C.

3. b)  Nous devons résoudre dans [0 ; +infini[ l'équation  60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40.

60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40\Longleftrightarrow60\,\text{e}^{-0,2t}=20 \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{3\,\text{e}^{-0,2t}=1} \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{-0,2t}=\dfrac{1}{3}} \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{-0,2t=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)} \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{-0,2t=-\ln(3)} \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{0,2t=\ln(3)} \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\boxed{t=\dfrac{\ln(3)}{0,2}\approx5,493}}
Par conséquent, la température du café atteindra 40 °C après 6 minutes.

5 points

exercice 3

Partie A

La population de loutres d'Europe était en France de 50 000 individus au 1er janvier 1930. On estime que depuis cette date, la population a perdu 5 % de ses individus chaque année en raison de la dégradation du milieu naturel.

1.  Une diminution de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,05 = 0,95.
Par conséquent, 1er janvier 1931, il y avait : 0,95 multiplie 50 000 = 47 500 loutres.

Soit la suite (un ) définie par :   \left\lbrace\begin{matrix}u_0=50\,000{\white{wwwwwww.w}}\\u_{n+1}=0,95u_n-68{\white{ww}}(n\in\N)\end{matrix}\right.

L'arrondi à l'unité de un  est alors égal au nombre de loutres de la population le 1er janvier de l'année 1930 + n .

{\red{2.\ }}\ u_{1}=0,95u_0-68 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ u_{1}}=0,95\times50\ 000-68 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ u_{1}}=47\,432. \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=47\,432} \\\\ \phantom{{\red{2.\ }}}\ u_{2}=0,95u_1-68 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ u_{2}}=0,95\times47\ 432-68 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ u_{1}}=44\,992,4. \\\\\Longrightarrow\boxed{u_2=44\,992,4\approx44\,992}

Par conséquent, le 31 décembre 1931, il y avait environ 47 400 loutres et le 31 décembre 1932, il y avait environ 45 000 loutres.

3.  Algorithme complété.

{\white{www}}\begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow1930{\white{wwwwwwwwww}}\\U\longleftarrow50\,000{\white{wwwwwwwww}}\\\text{Tant que }{\red{U\ge1\,000}}\ \ \text{faire}\ \ \ \ \\N\longleftarrow N+1{\phantom{wwwww}}\\U\longleftarrow\,{\red{0,95\times U-68}}\\\text{Fin Tant que}{\phantom{wwwwwwwww}}\\\hline\end{array}

4.  En exécutant l'algorithme, nous déduisons que le nombre de loutres deviendra inférieur à 1 000 individus à partir de la 61ième année, soit en 1991.
Un plan de réintroduction de la loutre d'Europe a donc été mis en place en France à partir de 1991.

Partie B

Soit la suite (vn ) définie par :   \left\lbrace\begin{matrix}v_0=1\,000{\white{wwwwwwww.w}}\\v_{n+1}=0,95v_n+250{\white{ww}}(n\in\N)\end{matrix}\right.

L'arrondi à l'unité de vn  représente le nombre de loutres au premier janvier de l'année 1991 + n .

1.  Soit la suite (wn ) définie pour tout entier naturel n  par : wn  = vn  - 5 000.

w_{n+1}=v_{n+1}-5\,000 \\\phantom{w_{n+1}}=0,95v_n+250-5\,000 \\\phantom{w_{n+1}}=0,95v_n-4\,750 \\\phantom{w_{n+1}}=0,95v_n-0,95\times5\,000 \\\phantom{w_{n+1}}=0,95(v_n-5\,000) \\\phantom{w_{n+1}}=0,95w_n \\\\\Longrightarrow\boxed{w_{n+1}=0,95w_n} \\\\\underline{\text{Remarque}}:w_0=v_0-5\,000=1\,000-5\,000\Longrightarrow\boxed{w_0=-4\,000}
Par conséquent, la suite (wn ) est une suite géométrique de raison q  = 0,95 dont le premier terme
est w 0 = -4 000.


2.  Le terme général de la suite (wn ) est  \overset{{\white{.}}}{w_n=w_0\times q^{n}}.
Donc, pour tout entier naturel n  ,  \overset{{\white{w}}}{\boxed{w_n=-4\,000\times0,95^{n}}}

{\red{3.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}w_n=v_n-5\,000{\white{nnnnn}}\\w_n=-4\,000\times0,95^{n}\end{matrix}\right.{\white{nnnnn}}\Longrightarrow{\white{nnnnn}}v_n-5000=-4\,000\times0,95^{n} \\\\\text{D'où }\boxed{\forall\ n\in\N,\ v_n=5\,000-4\,000\times0,95^{n}}

{\red{4.\ }}\ 0<0,95<1\Longrightarrow  \lim\limits_{n\to+\infty}0,95^n=0 \\\phantom{{\red{4.\ }}\ 0<0,95<1}\Longrightarrow  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}(4\,000\times0,95^n)=0} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ 0<0,95<1}\Longrightarrow  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}(5\,000-4\,000\times0,95^n)=5\,000} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ 0<0,95<1}\Longrightarrow  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=5\,000}}

Par conséquent, à long terme, l'effectif de 1930 estimé à 50 000 loutres sera loin d'être atteint puisque la population de loutres tend vers une valeur maximale de 5 000 individus.

6 points

exercice 4

Soit la fonction f  définie par ]0 ; +infini[ par  \overset{{\white{.}}}{f(x)=ax+b\,x\ln(x)}  où a  et b  sont deux réels.

La courbe  \overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_f}  est la représentation graphique de la fonction f  dans un repère orthonormé.

 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 9


Partie A

1.  Par une lecture graphique, nous obtenons :  \boxed{f(1)=2,5}\ .

f' (1) est le coefficient directeur de la tangente T  au point A  d'abscisse 1.
Nous observons graphiquement que la droite T  passe par les points de coordonnées (0 ; 2) et (1 ; 2,5).
Le coefficient directeur de T  est donc égal à  \overset{{\white{.}}}{\dfrac{2,5-2}{1-0}= 0,5}.
Par conséquent,  \boxed{f'(1)=0,5}\ .

2.  Déterminons l'expression de f' (x ).

f'(x)=(ax)'+\left(\overset{{\white{.}}}{b\,x\ln(x)}\right)' \\\phantom{f'(x)}=a+b\left(\overset{{\white{.}}}{x\ln(x)}\right)' \\\phantom{f'(x)}=a+b\left(\overset{{\white{.}}}{x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'}\right) \\\phantom{f'(x)}=a+b\left(\overset{{\white{.}}}{1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}}\right) \\\phantom{f'(x)}=a+b\left((\overset{{\white{.}}}{\ln(x)+1 }\right) \\\phantom{f'(x)}=\overset{{\white{.}}}{a+b\ln(x)+b} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=a+b+b\ln(x)}

3.  Déterminons les valeurs de a  et b .

\left\lbrace\begin{matrix}f(x)=ax+b\,x\ln(x)\\f'(x)=a+b+b\ln(x)\end{matrix}\right.  \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}f(1)=2,5\\f'(1)=0,5\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\times1+b\times1\times\ln(1)=2,5\\a+b+b\times\ln(1)=0,5\end{matrix}\right. \\\phantom{wwwwwwww}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}a+b\times0=2,5\\a+b+b\times0=0,5\end{matrix}\right.} \\\phantom{wwwwwwww}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}a=2,5\\a+b=0,5\end{matrix}\right.} \\\phantom{wwwwwwww}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}a=2,5\\2,5+b=0,5\end{matrix}\right.} \\\phantom{wwwwwwww}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=2,5\\b=-2\end{matrix}\right.}}

Partie B

On admet que pour tout réel x  de l'intervalle ]0 ; +infini[,  f(x)=2,5x-2x\ln(x).

1.  En utilisant les résultats de la partie A, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=a+b+b\ln(x)\\a=2,5{\white{wwww}}\\b=-2{\white{wwww}}\end{matrix}\right.\Longrightarrow \boxed{f'(x)=0,5-2\ln(x)}

2.  Étudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

{\white{wwwwwwwwww}}\begin{matrix}f'(x)=0\Longleftrightarrow0,5-2\ln(x)=0 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow2\ln(x)=0,5 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow\ln(x)=0,25 \\\phantom{f}\Longleftrightarrow x=\text{e}^{0,25}\end{matrix} \\\\\\  \begin{matrix}f'(x)>0\Longleftrightarrow0,5-2\ln(x)>0 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow2\ln(x)<0,5 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow\ln(x)<0,25 \\\phantom{fww.}\Longleftrightarrow 0<x<\text{e}^{0,25}\end{matrix} {\white{www}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}} \begin{matrix}f'(x)<0\Longleftrightarrow0,5-2\ln(x)<0 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow2\ln(x)>0,5 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow\ln(x)>0,25 \\\phantom{f}\Longleftrightarrow x>\text{e}^{0,25}\end{matrix}

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

\underline{\text{Calcul préliminaire}}\ :f(\text{e}^{0,25})=2,5\text{e}^{0,25}-2\text{e}^{0,25}\times0,25\\\phantom{\underline{\text{Calcul préliminaire}}\ :f(\text{e}^{0,25})}=2,5\text{e}^{0,25}-0,5\text{e}^{0,25}\\\phantom{\underline{\text{Calcul préliminaire}}\ :f(\text{e}^{0,25})}=2\text{e}^{0,25} \\\\ {\white{wwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&0&&\text{e}^{0,25}&&+\infty\\&&&&& \\\hline &&&&&&f'(x)&&+&0&-&\\&&&&& \\\hline &&&2\text{e}^{0,25} &&&f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&&&&&\\\hline \end{array}

Partie C

Soit E  le point de Cf  d'abscisse 0,04 et F  le point d'abscisse 2 ayant la même ordonnée que E .

Une face latérale est représentée par le domaine délimité par la courbe Cf , les droites d'équation x  = 0,04 et x  = 2 et la droite (EF ) parallèle à l'axe des abscisses (voir figure ci-dessous).

 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 10


Soit la fonction G  définie sur ]0 ; +infini[ par :  \overset{{\white{.}}}{G(x)=x^2(1,75-\ln(x)).}

1.  La fonction G  est dérivable sur ]0 ; +infini[ comme produit de deux fonctions dérivables sur ]0 ; +infini[.

G\,'(x)=(x^2)'\times(1,75-\ln(x))+x^2\times(1,75-\ln(x))' \\\phantom{G'(x)}=2x\times(1,75-\ln(x))+x^2\times\left(-\dfrac{1}{x}\right) \\\phantom{G'(x)}=3,5x-2x\ln(x)-x \\\phantom{G'(x)}=2,5x-2x\ln(x) \\\phantom{G'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]0\,;\,+\infty[,\ G\,'(x)=f(x)}
Par conséquent, la fonction G  est une primitive de la fonction f  sur ]0 ; +infini[.

2.  On souhaite calculer  \int\limits_{0,04}^{2}f(x)\;\text{d}x.

2. a)  Puisque la fonction G  est une primitive de la fonction f  sur ]0 ; +infini[, la valeur de cette intégrale sera déterminée par G(2)-G(0,04).

2. b)  Nous devons donner une valeur approchée de  \overset{{\white{.}}}{\int\limits_{0,04}^{2}f(x)\;\text{d}x}  à 10-1 près.

G(2)=2^2(1,75-\ln(2)) \\\phantom{G(2)}=4(1,75-\ln(2)) \\\\G(0,04)=0,04^2(1,75-\ln(0,04)) \\\phantom{G(2)}=0,0016(1,75-\ln(0,04)) \\\\\Longrightarrow G(2)-G(0,04)\approx4,219461 \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_{0,04}^{2}f(x)\;\text{d}x=G(2)-G(0,04)\approx4,2}

3.  L'aire d'une face latérale est égale à la différence :  \overset{{\white{.}}}{\int\limits_{0,04}^{2}f(x)\;\text{d}x} - Aire du rectangle PQFE.

\text{Or }\int\limits_{0,04}^{2}f(x)\;\text{d}x\approx4,2\ \ (\text{voir question 2.b}) \\\\\phantom{\text{Or }}\text{Aire du rectangle PQFE }=PQ\times PE \\\phantom{\text{Or }\text{Aire du rectangle PEFQ }}=(2-0,04)\times f(0,04) \\\phantom{\text{Or }\text{Aire du rectangle PEFQ }}=1,96\times(2,5\times0,04-2\times0,04\ln(0,04)) \\\phantom{\text{Or }\text{Aire du rectangle PEFQ }}\approx0,7
Par conséquent, l'aire d'une face latérale est environ égale à 4,2 - 0,7 = 3,5 m2.
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