Fiche de mathématiques
> >

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

Session 2020

Séries STI2D et STL spécialité SPCL

MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

Coefficient : 4

Partager :
L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Aucun document n'est autorisé.


Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat ou la candidate doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat ou la candidate peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
On invite le candidat ou la candidate à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qui aura été développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.



4 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des affirmations suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On considère le nombre complexe z=-3\sqrt 3 + 2i. sa forme exponentielle est :

\textbf a. \;\; z=-4\text e ^{i\frac{\pi}{6}}\qquad \textbf b. \;\; z=4\text e ^{-i\frac{\pi}{6}}\qquad \textbf c. \;\; z=2\text e ^{i\frac{5\pi}{6}}\qquad \textbf d. \;\; z=4\text e ^{i\frac{5\pi}{6}}

2. La fonction f définie sur R par f(t)=2\sin \left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) est solution de l'équation différentielle :

\begin{matrix} a. & 2y''+3y'=0\qquad & b. & 2y''+9y=0\\ c.& y''+9y=0\qquad& c.& y''+3y=0 \end{matrix}

3. Soit la fonction f définie sur R par f(x)=\text e ^{-2x} et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé. l'équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est :

\textbf a. \;\; y=-2x+1\qquad \textbf b. \;\; y=x+1\qquad \textbf c. \;\; y=-2x-1\qquad \textbf d. \;\; y=x-1

4. On donne le tableau de variation d'une fonction f :
 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 7


Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f admet :
{\white{ww}}\textbf a.{\white{w}} deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ;
{\white{ww}}\textbf b.{\white{w}}une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ;
{\white{ww}}\textbf c.{\white{w}}une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et aucune asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ;
{\white{ww}}\textbf d.{\white{w}} aucune asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.

5 points

exercice 2

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément.
Sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à
10 -3 .

Une entreprise vient d'installer un distributeur à café dans la salle de repos de ses salariés.

PARTIE A :

On admet que la durée moyenne de fonctionnement d'un distributeur de ce type jusqu'à l'apparition de la première panne est de 15 mois.
Ce distributeur bénéficie d'une garantie de 2 ans.
On modélise la durée de fonctionnement, en mois, de ce distributeur jusqu'à sa première panne par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre lambda.

1. Déterminer la valeur exacte de lambda.
2. Dans la suite, on prendra lambda = 0,067.
\white wwa. Calculer la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des 12 premiers mois.
\white wwb. Calculer la probabilité que ce distributeur subisse sa première panne avant la fin de la garantie.

PARTIE B :

Dans cette partie, les volumes sont exprimés en centilitre (cL).

La notice précise que le distributeur délivre les cafés dans des gobelets d'une contenance de 16 cL. Le volume d'un café distribué par cette machine peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance mu= 12,5 et d'écart type sigma = 1,2.

1. Déterminer la probabilité que le volume d'un café soit compris entre 11 cL et 14 cL.
2. Déterminer la probabilité que le café déborde du gobelet.

PARTIE C :

Tous les cafés délivrés par ce distributeur ont une température initiale de 80 °C.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température des cafés servis.
On note theta(t) la température d'un café en degré Celsius, à l'instant t exprimé en minute.
On admet que la fonction theta, définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; +infini[ est solution de l'équation différentielle :

\theta '(t)+0,2\theta (t)=4


1. Déterminer les solutions de cette équation différentielle.
2. Montrer que, pour tout réel t positif : \theta (t)=60\text e ^{-0,2t}+20.
3. Un salarié se sert un café et attend 4 minutes avant de le boire.
\white wwa. Quelle est alors la température de son café ? On arrondit le résultat à l'unité.
\white wwb. Déterminer la valeur exacte de la durée d'attente nécessaire pour que la température du café atteigne 40 ^{°} \text C, puis en donner une valeur approchée arrondie à la minute.

5 points

exercice 3

La loutre d'Europe est un mammifère carnivore de la famille des mustélidés.

Sa population n'a cessé de décroître en France en raison de la dégradation de son milieu naturel, mais également parce que cette espèce est victime de pièges posés par les chasseurs.

PARTIE A :

La population de loutres d'Europe était en France de 50 000 individus au 1 er janvier 1930. On estime que depuis cette date, la population a perdu 5 % de ses individus chaque année en raison de la dégradation du milieu naturel.

1. Calculer la population de loutres d'Europe en France au 1 er janvier 1931.

On fait l'hypothèse qu'en plus de la chute démographique due à la dégradation du milieu naturel, 68 individus sont piégés tous les ans entre le 1 er janvier et le 31 décembre.

On modélise la population de loutres d'Europe en France par la suite (uu ) définie par u 0= 50 000 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0,95 u_n-68

L'arrondi à l'unité de un est alors égal au nombre de loutres de la population le 1 er janvier de l'année 1930 + n.

2. Calculer u 1 et u 2 . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

3. L'algorithme ci-dessous permet d'estimer l'année à partir de laquelle la population de loutres d'Europe en France comptera moins de 1 000 individus.
 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 2

Recopier et compléter cet algorithme.

4. On estime que l'espèce est en danger d'extinction si elle comporte moins de 1 000 individus. Justifier le fait qu'un plan de réintroduction de la loutre d'Europe ait été mis en place en France à partir de l'année 1991.

Partie B :

À partir de 1991, la population de loutres d'Europe perd toujours 5 % de ses individus chaque année, mais le plan de sauvegarde prévoit :

{\white{ww}}\bullet\white w l'interdiction de la pose de pièges ;
{\white{ww}}\bullet\white w la réintroduction de 250 jeunes loutres au 31 décembre de chaque année.

On suppose que la population au 1 er janvier 1991 s'élève à 1 000 loutres.

On modélise la population à partir du 1 er janvier 1991 par la suite (vn ) définie par v0= 1 000 et, pour tout entier naturel n, v _{n+1} = 0,95 v _n + 250.

L'arrondi à l'unité de v n représente le nombre de loutres au premier janvier de l'année 1991 + n.

1. Soit la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par w _ n = v_ n - 5 000.

Justifier que la suite (w n ) est une suite géométrique de raison 0,95. Préciser son terme initial w 0 .

2. Exprimer alors w n en fonction de n.

3. En déduire que pour tout entier naturel n, on a v _ n = 5 000 - 4 000 \times  0,95 n .

4. Dans l'hypothèse où l'on conserve la même évolution tous les ans, la population de loutres d'Europe en France peut-elle à long terme retrouver l'effectif de 1930 ? Justifier. 6 points

exercice 4

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément.

 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 1


Partie A :

1. Déterminer graphiquement f(1) et f '(1).
2. Vérifier que pour tout x de l'intervalle ]0 ; + infini[
f'(x)=a+b+b\ln (x).

3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs de a et b.

Partie B :

On admet que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + infini[
f(x)=2,5x-2x\ln (x)

1. Donner l'expression de f '(x).
2. Etudier le signe de f '(x) et en déduire le tableau de variation de la fonction f. ( Les limites aux bornes ne sont pas demandées).

Partie C :

On souhaite installer des abris à vélos couverts.
Pour les fabriquer, on a besoin de connaître l'aire des faces latérales.
 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 8


Soit E le point de Cf d'abscisse 0,04 et F le point d'abscisse 2 ayant la même ordonnée que E.

Une face latérale est représentée par le domaine délimité par la courbe C f , les droites d?équation x = 0,04 et x = 2 et la droite (EF) parallèle à l'axe des abscisses (voir figure ci-dessous).

 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 5


1. Montrer que la fonction G définie sur ]0 ; + infini[ par :

G(x)=x²(1,75-\ln (x))


est une primitive de f sur ]0 ; + infini[

2. On souhaite calculer \begin{aligned}\int_{0,04}^{2}{f(x)}\;$d$x\end{aligned}.
{\white{ww}}a.\white w Parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur la copie celle qui permet de calculer cette intégrale :
 Bac Nouvelle Calédonie 2020 STI2D et STL spe SPCL : image 6


{\white{ww}}b.\white w Donner une valeur approchée de \begin{aligned}\int_{0,04}^{2}{f(x)}\;$d$x\end{aligned} à 10-1 près.

3. Toutes les dimensions sont exprimées en mètre. En déduire une valeur approchée, à 0,1 m² près, de l'aire d'une face latérale.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1460 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !