L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Aucun document n'est autorisé.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat ou la candidate doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat ou la candidate peut admettre un résultat précédemment
donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement
sur la copie.
On invite le candidat ou la candidate à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qui aura été développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte
dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des affirmations suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une
bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.
1. On considère le nombre complexe . Sa forme exponentielle est :
2. La fonction f définie sur R par est solution de l'équation différentielle :
3. Soit la fonction f définie sur R par et Cf sa courbe représentative dans
un repère orthonormé. L' équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est :
4. On donne le tableau de variation d'une fonction f :
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f admet : deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe
des ordonnées ; une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe
des ordonnées ; une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et aucune asymptote parallèle à l'axe
des ordonnées ; aucune asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe
des ordonnées.
5 points
exercice 2
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément.
Sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à 10 -3 .
Une entreprise vient d'installer un distributeur à café dans la salle de repos de ses salariés.
PARTIE A :
On admet que la durée moyenne de fonctionnement d'un distributeur de ce type jusqu'à
l'apparition de la première panne est de 15 mois.
Ce distributeur bénéficie d'une garantie de 2 ans.
On modélise la durée de fonctionnement, en mois, de ce distributeur jusqu'à sa première panne
par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre .
1. Déterminer la valeur exacte de . 2. Dans la suite, on prendra = 0,067. a. Calculer la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des
12 premiers mois. b. Calculer la probabilité que ce distributeur subisse sa première panne avant la fin de
la garantie.
PARTIE B :
Dans cette partie, les volumes sont exprimés en centilitre (cL).
La notice précise que le distributeur délivre les cafés dans des gobelets d'une contenance de
16 cL. Le volume d'un café distribué par cette machine peut être modélisé par une variable
aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance = 12,5 et d'écart type = 1,2.
1. Déterminer la probabilité que le volume d'un café soit compris entre 11 cL et 14 cL. 2. Déterminer la probabilité que le café déborde du gobelet.
PARTIE C :
Tous les cafés délivrés par ce distributeur ont une température initiale de 80 °C.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température des cafés servis.
On note (t) la température d'un café en degré Celsius, à l'instant t exprimé en minute.
On admet que la fonction , définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; +[ est solution de l'équation
différentielle :
1. Déterminer les solutions de cette équation différentielle. 2. Montrer que, pour tout réel t positif : 3. Un salarié se sert un café et attend 4 minutes avant de le boire. a. Quelle est alors la température de son café ? On arrondit le résultat à l'unité. b. Déterminer la valeur exacte de la durée d'attente nécessaire pour que la
température du café atteigne 40° C, puis en donner une valeur approchée arrondie
à la minute.
5 points
exercice 3
La loutre d'Europe est un mammifère carnivore de la famille des mustélidés.
Sa population n'a cessé de décroître en France en raison de la dégradation de son milieu naturel,
mais également parce que cette espèce est victime de pièges posés par les chasseurs.
PARTIE A :
La population de loutres d'Europe était en France de 50 000 individus au 1 er janvier 1930. On
estime que depuis cette date, la population a perdu 5 % de ses individus chaque année en raison
de la dégradation du milieu naturel.
1. Calculer la population de loutres d'Europe en France au 1 er janvier 1931.
On fait l'hypothèse qu'en plus de la chute démographique due à la dégradation du milieu naturel,
68 individus sont piégés tous les ans entre le 1 er janvier et le 31 décembre.
On modélise la population de loutres d'Europe en France par la suite (uu ) définie par
u0= 50 000 et, pour tout entier naturel n,
L'arrondi à l'unité de un est alors égal au nombre de loutres de la population le 1 er janvier de
l'année 1930 + n.
2. Calculer u 1 et u2 . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. L'algorithme ci-dessous permet d'estimer l'année à partir de laquelle la population de
loutres d'Europe en France comptera moins de 1 000 individus.
Recopier et compléter cet algorithme.
4. On estime que l'espèce est en danger d'extinction si elle comporte moins de 1 000
individus. Justifier le fait qu'un plan de réintroduction de la loutre d'Europe ait été mis en
place en France à partir de l'année 1991.
Partie B :
À partir de 1991, la population de loutres d'Europe perd toujours 5 % de ses individus chaque
année, mais le plan de sauvegarde prévoit :
l'interdiction de la pose de pièges ; la réintroduction de 250 jeunes loutres au 31 décembre de chaque année.
On suppose que la population au 1 er janvier 1991 s'élève à 1 000 loutres.
On modélise la population à partir du 1 er janvier 1991 par la suite (vn ) définie par v0= 1 000 et,
pour tout entier naturel n, .
L'arrondi à l'unité de v nreprésente le nombre de loutres au premier janvier de l'année 1991 + n.
1. Soit la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par .
Justifier que la suite (w n ) est une suite géométrique de raison 0,95. Préciser son terme
initial w 0 .
2. Exprimer alors w n en fonction de n.
3. En déduire que pour tout entier naturel n, on a .
4. Dans l'hypothèse où l'on conserve la même évolution tous les ans, la population de loutres
d'Europe en France peut-elle à long terme retrouver l'effectif de 1930 ? Justifier.
6 points
exercice 4
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément.
Partie A :
1. Déterminer graphiquement f(1) et f '(1). 2. Vérifier que pour tout x de l'intervalle ]0 ; + [
3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs de a et b.
Partie B :
On admet que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + [
1. Donner l'expression de f '(x). 2. Etudier le signe de f '(x) et en déduire le tableau de variation de la fonction f. ( Les
limites aux bornes ne sont pas demandées).
Partie C :
On souhaite installer des abris à vélos couverts.
Pour les fabriquer, on a besoin de connaître l'aire
des faces latérales.
Soit E le point de Cf d'abscisse 0,04 et F le point d'abscisse 2 ayant la même ordonnée que E.
Une face latérale est représentée par le domaine délimité par la courbe C f, les droites d'équation
x = 0,04 et x = 2 et la droite (EF) parallèle à l'axe des abscisses (voir figure ci-dessous).
1. Montrer que la fonction G définie sur ]0 ; + [ par :
est une primitive de f sur ]0 ; + [
2. On souhaite calculer Parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur la copie celle qui permet de calculer cette intégrale :
Donner une valeur approchée de
à 10-1 près.
3. Toutes les dimensions sont exprimées en mètre. En déduire une valeur approchée, à 0,1 m² près, de l'aire d'une face latérale.
1. Nous devons déterminer la forme exponentielle de
D'où un argument de z est .
Par conséquent, la forme exponentielle de z est La réponse correcte est donc la réponse d.
La réponse correcte est donc la réponse c : y'' + 9y = 0.
3. Soit la fonction f définie sur par et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
L'équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est de la forme , soit
D'où l'équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est La réponse correcte est donc la réponse a.
4. On donne le tableau de variation d'une fonction f :
la courbe Cf admet une asymptote horizontale d'équation : y = 2.
la courbe Cf admet une asymptote verticale d'équation : x = -1.
Remarque : Nous aurions pu montrer l'existence de cette même asymptote verticale par les informations :
D'où, la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées. La réponse correcte est donc la réponse b.
5 points
exercice 2
Partie A
On admet que la durée moyenne de fonctionnement d'un distributeur de ce type jusqu'à l'apparition de la première panne est de 15 mois.
Ce distributeur bénéficie d'une garantie de 2 ans.
On modélise la durée de fonctionnement, en mois, de ce distributeur jusqu'à sa première panne par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre .
1. Nous devons déterminer la valeur exacte de .
La variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre .
L'espérance mathématique de T vérifie l'égalité suivante :
2. Dans la suite, on prendra
2. a) Nous devons déterminer la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des 12 premiers mois.
D'où la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des 12 premiers mois est environ égale à 0,448.
2. b) Nous devons déterminer la probabilité que ce distributeur subisse sa première panne avant la fin de la garantie de 24 mois.
D'où la probabilité que ce distributeur subisse sa première panne avant la fin de la garantie est environ égale à 0,8.
Partie B
La notice précise que le distributeur délivre les cafés dans des gobelets d'une contenance de 16 cL. Le volume d'un café distribué par cette machine peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance = 12,5 et d'écart type = 1,2.
1. Par la calculatrice, nous obtenons :
Par conséquent, la probabilité que le volume d'un café soit compris entre 11 cL et 14 cL est environ égale à 0,789.
2. Par la calculatrice, nous obtenons :
Par conséquent, la probabilité que le café déborde du gobelet est environ égale à 0,002.
Partie C
1. Résoudre sur [0 ; +[ l'équation différentielle
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Dans ce cas, a = -0,2 et b = 4.
D'où la solution générale de l'équation (E ) est de la forme
soit
2. Nous savons que tous les cafés délivrés par ce distributeur ont une température initiale de 80 °C.
Nous obtenons ainsi la relation
Déterminons la solution de (E ) vérifiant la condition en remplaçant t par 0 et par 80 dans la solution générale de (E ).
Par conséquent, pour tout t de l'intervalle [0 ; +[,
3. a) Un salarié se sert un café et attend 4 minutes avant de le boire. La température de son café est alors de 47 °C.
3. b) Nous devons résoudre dans [0 ; +[ l'équation
Par conséquent, la température du café atteindra 40 °C après 6 minutes.
5 points
exercice 3
Partie A
La population de loutres d'Europe était en France de 50 000 individus au 1er janvier 1930. On estime que depuis cette date, la population a perdu 5 % de ses individus chaque année en raison de la dégradation du milieu naturel.
1. Une diminution de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,05 = 0,95.
Par conséquent, 1er janvier 1931, il y avait : 0,95 50 000 = 47 500 loutres.
Soit la suite (un ) définie par :
L'arrondi à l'unité de un est alors égal au nombre de loutres de la population le 1er janvier de l'année 1930 + n .
Par conséquent, le 31 décembre 1931, il y avait environ 47 400 loutres et le 31 décembre 1932, il y avait environ 45 000 loutres.
3. Algorithme complété.
4. En exécutant l'algorithme, nous déduisons que le nombre de loutres deviendra inférieur à 1 000 individus à partir de la 61ième année, soit en 1991.
Un plan de réintroduction de la loutre d'Europe a donc été mis en place en France à partir de 1991.
Partie B
Soit la suite (vn ) définie par :
L'arrondi à l'unité de vn représente le nombre de loutres au premier janvier de l'année 1991 + n .
1. Soit la suite (wn ) définie pour tout entier naturel n par : wn = vn - 5 000.
Par conséquent, la suite (wn ) est une suite géométrique de raison q = 0,95 dont le premier terme est w0 = -4 000.
2. Le terme général de la suite (wn ) est
Donc, pour tout entier naturel n ,
Par conséquent, à long terme, l'effectif de 1930 estimé à 50 000 loutres sera loin d'être atteint puisque la population de loutres tend vers une valeur maximale de 5 000 individus.
6 points
exercice 4
Soit la fonction f définie par ]0 ; +[ par où a et b sont deux réels.
La courbe est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé.
Partie A
1. Par une lecture graphique, nous obtenons :
f' (1) est le coefficient directeur de la tangente T au point A d'abscisse 1.
Nous observons graphiquement que la droite T passe par les points de coordonnées (0 ; 2) et (1 ; 2,5).
Le coefficient directeur de T est donc égal à
Par conséquent,
2. Déterminons l'expression de f' (x ).
3. Déterminons les valeurs de a et b .
Partie B
On admet que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; +[,
1. En utilisant les résultats de la partie A, nous obtenons :
2. Étudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle ]0 ; +[.
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +[.
Partie C
Soit E le point de Cf d'abscisse 0,04 et F le point d'abscisse 2 ayant la même ordonnée que E .
Une face latérale est représentée par le domaine délimité par la courbe Cf , les droites d'équation x = 0,04 et x = 2 et la droite (EF ) parallèle à l'axe des abscisses (voir figure ci-dessous).
Soit la fonction G définie sur ]0 ; +[ par :
1. La fonction G est dérivable sur ]0 ; +[ comme produit de deux fonctions dérivables sur ]0 ; +[.
Par conséquent, la fonction G est une primitive de la fonction f sur ]0 ; +[.
2. On souhaite calculer
2. a) Puisque la fonction G est une primitive de la fonction f sur ]0 ; +[, la valeur de cette intégrale sera déterminée par G(2)-G(0,04).
2. b) Nous devons donner une valeur approchée de à 10-1 près.
3. L'aire d'une face latérale est égale à la différence : - Aire du rectangle PQFE.
Par conséquent, l'aire d'une face latérale est environ égale à 4,2 - 0,7 = 3,5 m2.
Publié par malou
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. Sa forme exponentielle est :
=2\sin \left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right))
est solution de l'équation différentielle :
=\text e ^{-2x})
et Cf sa courbe représentative dans
un repère orthonormé. L' équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est :
deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe
des ordonnées ;
une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe
des ordonnées ;
une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et aucune asymptote parallèle à l'axe
des ordonnées ;
aucune asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe
des ordonnées.
.
a. Calculer la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des
12 premiers mois.
= 12,5 et d'écart type 
= 1,2.
(t) la température d'un café en degré Celsius, à l'instant t exprimé en minute.
[ est solution de l'équation
différentielle :+0,2\theta (t)=4)
=60\text e ^{-0,2t}+20.)
l'interdiction de la pose de pièges ; 
.
.
.
=a+b+b\ln (x).)
=2,5x-2x\ln (x))
=x²(1,75-\ln (x)))
}\;$d$x\end{aligned}.)
Parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur la copie celle qui permet de calculer cette intégrale :
Donner une valeur approchée de }\;$d$x\end{aligned})
à 10-1 près.
^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}={\blue{4}} \\\\\bullet{\white{w}}z=-2\sqrt{3}+2\text{i}={\blue{4}}\left(\dfrac{-2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{2}{4}\text{i}\right)=4\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right)=4\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{5\pi}{6}\right))
.
![{\red{2.\ }}\ f(t)=2\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\bullet{\white{w}}f'(t)=2\times\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)'\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{ww.f'(t)}=2\times3\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{ww.f'(t)}=6\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\bullet{\white{w}} f''(t)=6\times\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)'\left[-\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\\phantom{ww.f''(t)}=6\times3\left[-\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\\phantom{ww.f''(t)}=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(t)=2\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\\f''(t)=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\end{matrix}\right.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{2.\ }}\ f(t)=2\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\bullet{\white{w}}f'(t)=2\times\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)'\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{ww.f'(t)}=2\times3\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{ww.f'(t)}=6\cos\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\bullet{\white{w}} f''(t)=6\times\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)'\left[-\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\\phantom{ww.f''(t)}=6\times3\left[-\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\right] \\\phantom{ww.f''(t)}=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(t)=2\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\\f''(t)=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)\end{matrix}\right.})
+9f(t)=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)+9\times2\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{\forall\ t\in\R,\ f''(t)+9f(t)}=-18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right)+18\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{\forall\ t\in\R,\ f''(t)+9f(t)}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ t\in\R,\ f''(t)+9f(t)=0})
par =\text{e}^{-2x})
et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.(x-0)+f(0)})
, soit x+f(0)})
=\text{e}^{-2x}\Longrightarrow f(0)=\text{e}^{0} \\\phantom{wwwwf(x).=\text{e}^{-2x}}\Longrightarrow \boxed{f(0)=1} \\\\ {\white{ww.}}\bullet{\white{w}}f(x)=\text{e}^{-2x}\Longrightarrow f'(x)=(-2x)'\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{wwwwf(x).=\text{e}^{-2x}}\Longrightarrow f'(x)=-2\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{wwwwf(x).=\text{e}^{-2x}}\Longrightarrow f'(0)=-2\,\text{e}^{0} \\\phantom{wwwwf(x).=\text{e}^{-2x}}\Longrightarrow \boxed{f'(0)=-2})
=2\ \Longrightarrow})
la courbe Cf admet une asymptote horizontale d'équation : y = 2.=+\infty\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow})
=-\infty\end{matrix}\right.})
=\dfrac{1}{\lambda}.})
=15\Longleftrightarrow\dfrac{1}{\lambda}=15 \\\\\phantom{E(T)=15}\Longleftrightarrow\boxed{\lambda=\dfrac{1}{15}})
=\text{e}^{-0,067\times12}\Longrightarrow\boxed{P(T\ge12)\approx0,448})
=1-\text{e}^{-0,067\times24}\Longrightarrow\boxed{P(T\le24)\approx0,800})
\approx0,789.)
\approx0,00177.)
:\theta \, '(t)+0,2\,\theta (t)=4.)
est .)
\Longleftrightarrow \theta \, '(t)=-0,2\,\theta (t)+4.)
=k\,\text{e}^{-0,2t}-\left(\dfrac{4}{-0,2}\right)})
=k\,\text{e}^{-0,2t}+20\ \ \ \ \ (k\in\R)})
=80}.)
=80})
en remplaçant t par 0 et })
par 80 dans la solution générale de (E ).
=60\,\text{e}^{-0,2t}+20}}.)
=60\,\text{e}^{-0,2\times4}+20=60\,\text{e}^{-0,8}+20\Longrightarrow\boxed{ \theta(4)\approx47}}.)
} \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{-0,2t=-\ln(3)} \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{0,2t=\ln(3)} \\\phantom{60\,\text{e}^{-0,2t}+20=40}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\boxed{t=\dfrac{\ln(3)}{0,2}\approx5,493}})
50 000 = 47 500 loutres.\end{matrix}\right.)
\end{matrix}\right.)
 \\\phantom{w_{n+1}}=0,95w_n \\\\\Longrightarrow\boxed{w_{n+1}=0,95w_n} \\\\\underline{\text{Remarque}}:w_0=v_0-5\,000=1\,000-5\,000\Longrightarrow\boxed{w_0=-4\,000})
=0} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ 0<0,95<1}\Longrightarrow \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}(5\,000-4\,000\times0,95^n)=5\,000} \\\phantom{{\red{4.\ }}\ 0<0,95<1}\Longrightarrow \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=5\,000}})
=ax+b\,x\ln(x)})
où a et b sont deux réels.
est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé.
=2,5}\ .)
=0,5}\ .)
=(ax)'+\left(\overset{{\white{.}}}{b\,x\ln(x)}\right)' \\\phantom{f'(x)}=a+b\left(\overset{{\white{.}}}{x\ln(x)}\right)' \\\phantom{f'(x)}=a+b\left(\overset{{\white{.}}}{x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'}\right) \\\phantom{f'(x)}=a+b\left(\overset{{\white{.}}}{1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}}\right) \\\phantom{f'(x)}=a+b\left((\overset{{\white{.}}}{\ln(x)+1 }\right) \\\phantom{f'(x)}=\overset{{\white{.}}}{a+b\ln(x)+b} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=a+b+b\ln(x)})
=ax+b\,x\ln(x)\\f'(x)=a+b+b\ln(x)\end{matrix}\right. \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}f(1)=2,5\\f'(1)=0,5\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\times1+b\times1\times\ln(1)=2,5\\a+b+b\times\ln(1)=0,5\end{matrix}\right. \\\phantom{wwwwwwww}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}a+b\times0=2,5\\a+b+b\times0=0,5\end{matrix}\right.} \\\phantom{wwwwwwww}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}a=2,5\\a+b=0,5\end{matrix}\right.} \\\phantom{wwwwwwww}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}a=2,5\\2,5+b=0,5\end{matrix}\right.} \\\phantom{wwwwwwww}\Longleftrightarrow\overset{{\white{.}}}{\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=2,5\\b=-2\end{matrix}\right.}})
=2,5x-2x\ln(x).)
=a+b+b\ln(x)\\a=2,5{\white{wwww}}\\b=-2{\white{wwww}}\end{matrix}\right.\Longrightarrow \boxed{f'(x)=0,5-2\ln(x)})
=0\Longleftrightarrow0,5-2\ln(x)=0 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow2\ln(x)=0,5 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow\ln(x)=0,25 \\\phantom{f}\Longleftrightarrow x=\text{e}^{0,25}\end{matrix} \\\\\\ \begin{matrix}f'(x)>0\Longleftrightarrow0,5-2\ln(x)>0 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow2\ln(x)<0,5 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow\ln(x)<0,25 \\\phantom{fww.}\Longleftrightarrow 0<x<\text{e}^{0,25}\end{matrix} {\white{www}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}} \begin{matrix}f'(x)<0\Longleftrightarrow0,5-2\ln(x)<0 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow2\ln(x)>0,5 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow\ln(x)>0,25 \\\phantom{f}\Longleftrightarrow x>\text{e}^{0,25}\end{matrix})
=2,5\text{e}^{0,25}-2\text{e}^{0,25}\times0,25\\\phantom{\underline{\text{Calcul préliminaire}}\ :f(\text{e}^{0,25})}=2,5\text{e}^{0,25}-0,5\text{e}^{0,25}\\\phantom{\underline{\text{Calcul préliminaire}}\ :f(\text{e}^{0,25})}=2\text{e}^{0,25} \\\\ {\white{wwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&0&&\text{e}^{0,25}&&+\infty\\&&&&& \\\hline &&&&&&f'(x)&&+&0&-&\\&&&&& \\\hline &&&2\text{e}^{0,25} &&&f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&&&&&\\\hline \end{array})
=x^2(1,75-\ln(x)).})
![G\,'(x)=(x^2)'\times(1,75-\ln(x))+x^2\times(1,75-\ln(x))' \\\phantom{G'(x)}=2x\times(1,75-\ln(x))+x^2\times\left(-\dfrac{1}{x}\right) \\\phantom{G'(x)}=3,5x-2x\ln(x)-x \\\phantom{G'(x)}=2,5x-2x\ln(x) \\\phantom{G'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]0\,;\,+\infty[,\ G\,'(x)=f(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?G\,'(x)=(x^2)'\times(1,75-\ln(x))+x^2\times(1,75-\ln(x))' \\\phantom{G'(x)}=2x\times(1,75-\ln(x))+x^2\times\left(-\dfrac{1}{x}\right) \\\phantom{G'(x)}=3,5x-2x\ln(x)-x \\\phantom{G'(x)}=2,5x-2x\ln(x) \\\phantom{G'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]0\,;\,+\infty[,\ G\,'(x)=f(x)})
\;\text{d}x.)
\;\text{d}x})
à 10-1 près.=2^2(1,75-\ln(2)) \\\phantom{G(2)}=4(1,75-\ln(2)) \\\\G(0,04)=0,04^2(1,75-\ln(0,04)) \\\phantom{G(2)}=0,0016(1,75-\ln(0,04)) \\\\\Longrightarrow G(2)-G(0,04)\approx4,219461 \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_{0,04}^{2}f(x)\;\text{d}x=G(2)-G(0,04)\approx4,2})
\;\text{d}x\approx4,2\ \ (\text{voir question 2.b}) \\\\\phantom{\text{Or }}\text{Aire du rectangle PQFE }=PQ\times PE \\\phantom{\text{Or }\text{Aire du rectangle PEFQ }}=(2-0,04)\times f(0,04) \\\phantom{\text{Or }\text{Aire du rectangle PEFQ }}=1,96\times(2,5\times0,04-2\times0,04\ln(0,04)) \\\phantom{\text{Or }\text{Aire du rectangle PEFQ }}\approx0,7)
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