Sciences et Technologies du Design et des Arts Appliqués
MATHÉMATIQUES
__________________
DURÉE DE L'ÉPREUVE : 3 heures
COEFFICIENT : 2
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Le candidat doit traiter les 3 exercices.
Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.
9 points
exercice 1
Les parties A et B sont indépendantes.
L'annexe 1 est à compléter et à rendre avec la copie.
Partie A : Modélisation du « corps » de l'éléphant (corps et oreille)
Partie B : Modélisation de la "trompe" de l'éléphant
6 points
exercice 2
5 points
exercice 3
Le but de cet exercice est d'étudier un pavage du plan construit à partir d'un trapèze régulier.
Partie A : Modélisation du « corps » de l'éléphant (corps et oreille)
1. a)
1. b) Nous devons en déduire que le point A n'est pas le centre du cercle C.
Nous savons que la droite (T) passant par les points O et B est tangente au cercle C au point O.
Or la tangente en un point d'un cercle est la perpendiculaire au rayon aboutissant au point de contact.
Dès lors, la tangente (T) en O au cercle C est perpendiculaire au rayon aboutissant au point O.
Si le point A était le centre du cercle, la droite (OA) serait perpendiculaire à la tangente (T) et par suite, les vecteurs et seraient orthogonaux, ce qui n'est pas le cas puisque .
Par conséquent, le point A n'est pas le centre du cercle C.
2. Tracé de la courbe définie par la représentation paramétrique :
Déterminons les valeurs de x (t ) et y (t ) pour diverses valeurs de t appartenant à l'intervalle .
Nous obtenons ainsi la courbe représentée ci-dessous en rouge.
La courbe , symétrique de la courbe par la symétrie d'axe (D) d'équation y = 2 est représentée en vert.
Partie B : Modélisation de la « trompe » de l'éléphant
1. Traduisons mathématiquement les contraintes.
Le point O(0 ; 0) appartient à la courbe ff (0) = 0.
Le coefficient directeur de la tangente à f au point O est -13,5 f' (0) = -13,5.
La courbe f passe par le point D(1 ; 6) f (1) = 6.
La courbe f admet une tangente horizontale en D(1 ; -6) f' (1) = 0.
Par conséquent, les nombres réels a , b , c et d sont solutions du système :
2. Résolvons ce système.
D'où
Par conséquent, l'expression de la fonction f est :
3. Etude de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 2].
3. a) Déterminons l'expression de la dérivée f' (x ).
3. b) Etudions le signe de la dérivée sur l'intervalle [0 , 2].
Nous savons que .
Nous en déduisons que le signe de f' (x ) est le signe du trinôme
Déterminons les racines de ce trinôme.
Le trinôme admet deux racines (1 et 3) et est du signe du coefficient de x2 (négatif) pour toutes les valeurs réelles de x sauf entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de ce trinôme sur .
Nous en déduisons le tableau de signes de sur l'intervalle [0 : 2] et par suite le signe de la dérivée f'(x) sur [0 ; 2].
D'où le tableau de variation de f sur l'intervalle [0 ; 2].
4. Tracé de la courbe f de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 2].
4. a) Tableau de valeurs (arrondies à 10-2).
4. b) Tracé de la courbe f ci-dessus en bleu (voir question 2).
6 points
exercice 2
On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AE = 6 cm, AD = 12 cm et AM = BN = BP = ES = ET = FR = x cm (0 x 6).
Partie A :
1. Exprimons l'aire du triangle BNM en fonction de x .
Dans le pavé droit ABCDEFGH, le quadrilatère ABCD est un rectangle.
Donc les droites (BA) et (BC) sont perpendiculaires et par suite, les droites (BM) et (BN) sont également perpendiculaires.
Il s'ensuit que le triangle BNM est rectangle en B.
L'aire du triangle BNM est donnée par :
Or
2. Exprimons le volume du tétraèdre MBNP en fonction de x .
Dans le pavé droit ABCDEFGH, nous savons que la droite (BF) est perpendiculaire au plan (ABC).
Dès lors, le droite (BP) est perpendiculaire au plan (MBN).
Par conséquent, nous pouvons considérer que le prisme MBNP possède le triangle BNM comme base et BP comme hauteur.
Le volume du tétraèdre MBNP est donné par :
Or
3. Par un calcul analogue nous obtenons :
Nous en déduisons que :
Par conséquent, la somme des volumes des tétraèdres MBNP et REST s'exprime en fonction de x par :
4. On considère la fonction V définie sur [0 ; 6] par :
L'énoncé nous donne le tableau de signes sur [0 ; 6] de la dérivée V' .
Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction V sur [0 ; 6].
Par conséquent, la somme des volumes des tétraèdres MBNP et REST est maximale pour x = 4 cm, la valeur de cette somme est environ égale à 11 cm3.
Partie B :
1. Construction de l'image abcdefgh du pavé droit ABCDEFGH.
Les points de fuite sont notés 1 et 2 (voir figure en fin d'exercice).
2. a)Le milieu d'un segment situé dans un plan frontal est conservé.
Le point P est le milieu du segment [BF] inclus dans un plan frontal.
Donc le point image p est le milieu du segment [bf].
2. b) Placement des points p et t, milieux respectifs des segments [bf] et [ae] (voir figure en fin d'exercice).
3. a)Le point image m n'est pas le milieu du segment [ab] car le segment [AB] n'est pas dans un plan frontal.
3. b) Construction des points m et r.
Par le point d'intersection x des diagonales [af] et [be], traçons une droite parallèle à la droite (bf) qui coupe les droites (ab) et (ef) respectivement en m et r.
4. Construction du point s.
Par le point n, traçons une droite parallèle à la droite (bf) coupant la droite (fg) en y.
La droite (y1) coupe (eh) en s.
5 points
exercice 3
Partie A : Construction d'un trapèze
On considère un triangle équilatéral ABC tel que AB = 4 cm.
1. Construisons le point D, distinct du point B tel que le triangle ACD soit équilatéral.
Avec une ouverture de compas de 4 cm, pointe en A, puis en C, traçons deux arcs de cercle se coupant en un point D. Le triangle ACD est équilatéral car AC = AD = CD = 4 cm.
Construisons le point E, distinct du point A tel que le triangle BCE soit équilatéral.
Avec une ouverture de compas de 4 cm, pointe en B, puis en C, traçons deux arcs de cercle se coupant en un point E. Le triangle BCE est équilatéral car BC = BE = CE = 4 cm.
2. Les mesures des angles des triangles équilatéraux ABC, ACD et BCE sont chacune égale à 60°.
Par conséquent, les mesures des angles du trapèze ABED sont :
3. Nous devons déterminer la valeur exacte de AE.
Le quadrilatère ABEC est un losange car AB = BE = CE = AC = 4 cm.
Les diagonales [AE] et [BC] de ce losange se coupent perpendiculairement en leur milieu M.
Donc AM = ME, soit AE = 2 AM.
En outre, le triangle AMB est rectangle en M avec AB = 4 cm et MB = 2 cm.
Par Pythagore dans ce triangle rectangle AMB, nous obtenons :
D'où,
Par conséquent, AE mesure exactement
Partie B : Construction d'un motif
On considère le motif ci-dessous construit à partir du trapèze isocèle ABED.
T2 est l'image de T1 par une symétrie orthogonale d'axe (AB).
T3 est l'image de T1 par une rotation de centre A et d'angle 120°.
T4 est l'image de T1 par une translation de vecteur
Partie C : Construction du pavage
1. Le motif de la partie B est hachuré en rouge au centre du pavage.
Ce motif est le polygone MNPQRSTUVW. Il est noté P1.
2. Les polygones P2, P3, P4 et P5 sont les images respectives de P1 par les translations de vecteurs et .
L'hexagone grisé H6 est l'image de l'hexagone MNPUVW par une symétrie orthogonale d'axe (MW).
L'hexagone grisé H7 est l'image de l'hexagone PQRSTU par une symétrie orthogonale d'axe (RS).
Publié par malou
le
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\\O(0\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AO}\begin{pmatrix}0-(-5)\\0-(-0,5)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AO}\begin{pmatrix}5\\0,5\end{pmatrix}})
\\O(0\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BO}\begin{pmatrix}0-0,5\\0-(-6,75)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BO}\begin{pmatrix}-0,5\\6,75\end{pmatrix}})
+0,5\times6,75 \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{AO}. \overrightarrow{BO}}=-2,5+3,375} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{BO}=0,875})
et 
seraient orthogonaux, ce qui n'est pas le cas puisque 
.
définie par la représentation paramétrique : ![\left\lbrace\begin{matrix}x(t)=-4+2\cos(t)\\y(t)=2+2\sin(t)\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \text{pour }t\in[\dfrac{\pi}{4}\,;\,\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}x(t)=-4+2\cos(t)\\y(t)=2+2\sin(t)\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \text{pour }t\in[\dfrac{\pi}{4}\,;\,\pi])
![[\dfrac{\pi}{4}\,;\,\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[\dfrac{\pi}{4}\,;\,\pi])
.=-4+2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-4+2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2+2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-4+\sqrt{2}\approx-2,59\\\\y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2+\sqrt{2}\approx3,41\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{A_1(-2,59\,;\,3,41)\in\mathscr{C}_1})
=-4+2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-4+2\times\dfrac{1}{2}\\\\y\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2+2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-4+1=-3\\\\y\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2+\sqrt{3}\approx3,73\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{B_1(-3\,;\,3,73)\in\mathscr{C}_1})
=-4+2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-4+2\times0\\\\y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2+2\times1\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-4\\\\y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{C_1(-4\,;\,2)\in\mathscr{C}_1})
=-4+2\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-4+2\times\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\\\y\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=2+2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-4-\sqrt{2}\approx-5,41\\\\y\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=2+\sqrt{2}\approx3,41\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{D_1(-5,41\,;\,3,41)\in\mathscr{C}_1})
=-4+2\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4+2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\\\y\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=2+2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4-1=-5\\\\y\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=2+\sqrt{3}\approx3,73\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{E_1(-5\,;\,3,73)\in\mathscr{C}_1})
=-4+2\cos(\pi)=-4+2\times(-1)\\\\y(\pi)=2+2\sin(\pi)=2+2\times0\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x(\pi)=-4-2=-6\\\\y(\pi)=2\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{F_1(-6\,;\,2)\in\mathscr{C}_1})
, symétrique de la courbe 
f 
f (0) = 0.=ax^3+bx^2+cx+d}\Longrightarrow \boxed{f'(x)=3ax^2+2bx+c} \\\\\bullet \ f(0)=0\Longleftrightarrow a\times0+b\times0+c\times0+d=0 \\\phantom{\bullet \ f(0)=0}\Longleftrightarrow \boxed{d=0} \\\\\bullet \ f'(0)=-13,5\Longleftrightarrow 3a\times0+2b\times0+c=-13,5 \\\phantom{\bullet \ f'(0)=-16,5}\Longleftrightarrow \boxed{c=-13,5} \\\\\bullet \ f(1)=-6\Longleftrightarrow a\times1^3+b\times1^2+c\times1+d=-6\ \ \ \ \text{où }c=-13,5\text{ et }d=0 \\\phantom{\bullet \ f(1)=-6}\Longleftrightarrow a+b-13,5+0=-6 \\\phantom{\bullet \ f(1)=-6}\Longleftrightarrow \boxed{a+b=7,5} \\\\\bullet \ f'(1)=0\Longleftrightarrow 3a\times1^2+2b\times1+c=0\ \ \ \ \text{où }c=-13,5 \\\phantom{\bullet \ f'(1)=0}\Longleftrightarrow 3a+2b-13,5=0 \\\phantom{\bullet \ f'(1)=0}\Longleftrightarrow \boxed{3a+2b=13,5})
+2b=13,5\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-b\\22,5-3b+2b=13,5\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}a+b=7,5\\3a+2b=13,5\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-b\\-b=-9\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-b\\b=9\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-9\\b=9\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1,5\\b=9\end{matrix}\right.)
=-\dfrac{3}{2}x^3+9x^2-\dfrac{27}{2}x})
=-\dfrac{3}{2}\times3x^2+9\times2x-\dfrac{27}{2}\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\dfrac{9}{2}x^2+18x-\dfrac{27}{2}})
=-\dfrac{9}{2}x^2+18x-\dfrac{27}{2}\Longleftrightarrow f'(x)=\dfrac{9}{2}(-x^2+4x-3))
.
\times(-3)=16-12=4>0\\\\ \text{Racines : }x_1=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\times(-1)}=\dfrac{-4-2}{-2}=3 \\\\\phantom{\text{Racines : }}x_2=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\times(-1)}=\dfrac{-4+2}{-2}=1.)
admet deux racines (1 et 3) et est du signe du coefficient de x 2 (négatif) pour toutes les valeurs réelles de x sauf entre les racines.
.
&-&-&0&+&+\\&&&&&\\\hline \end{array} )
&-&-&0&+&+\\&&&&&\\\hline&0&&&&-3\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-6&&\\\hline \end{array})
&&0&&&-4,69&&&-6&&&-5,06&&&-3&\\&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array})
x 
x}{2}=\dfrac{6x-x^2}{2}=\dfrac{6x}{2}-\dfrac{x^2}{2}=3x-\dfrac{x^2}{2}\\\\\phantom{\text{D'où }\ }\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}_{BNM}=-\dfrac{x^2}{2}+3x})
\times x=\dfrac{1}{3}\times \left(-\dfrac{x^3}{2}+3x^2\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ }\Longrightarrow\boxed{\mathscr{V}_{MBNP}=-\dfrac{x^3}{6}+x^2})
\times x\times x \\\\\phantom{WWw}=\dfrac{1}{6}\times (6-x)x^2=\dfrac{1}{6}\times (6x^2-x^3) \\\\\phantom{WWw}=x^2-\dfrac{x^3}{6} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{V}_{REST}=-\dfrac{x^3}{6}+x^2})
+(-\dfrac{x^3}{6}+x^2)=2\left(-\dfrac{x^3}{6}+x^2\right)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2)
=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2.)
=-\dfrac{0^3}{3}+2\times0^2=0\\\\V(4)=-\dfrac{4^3}{3}+2\times4^2=\dfrac{32}{3}\approx11\\\\V(6)=-\dfrac{6^3}{3}+2\times6^2=0\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&4&&6&&&&&&\\\hline &&&&&&V'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&\dfrac{32}{3}\approx11&&\\V(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\\hline \end{array}\end{matrix})
1 et 
AM.
et 
.
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