Fiche de mathématiques
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BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

SESSION 2020

__________________

Série STD2A

Sciences et Technologies du Design et des Arts Appliqués

MATHÉMATIQUES

__________________

DURÉE DE L'ÉPREUVE : 3 heures

COEFFICIENT : 2

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Le candidat doit traiter les 3 exercices.

Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.


9 points

exercice 1

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 10


Les parties A et B sont indépendantes.
L'annexe 1 est à compléter et à rendre avec la copie.



Partie A : Modélisation du « corps » de l'éléphant (corps et oreille)

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 4


Partie B : Modélisation de la "trompe" de l'éléphant

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 2


6 points

exercice 2

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 1

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 5


5 points

exercice 3

Le but de cet exercice est d'étudier un pavage du plan construit à partir d'un trapèze régulier.


Partie A : Construction d'un trapèze

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 9


Partie B : Construction d'un motif

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 12


Partie C : Construction du pavage

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 8



Annexe 1 (à rendre avec la copie)

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 13


Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 3



Annexe 2 (à rendre avec la copie)




Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 6



Annexe 3-A (à rendre avec la copie)

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 7



Annexe 3-B (à rendre avec la copie)

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 11







Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie

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9 points

exercice 1

Partie A : Modélisation du « corps » de l'éléphant (corps et oreille)

1. a)  \left\lbrace\begin{array}l A(-5\ ;\,-0,5)\\O(0\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AO}\begin{pmatrix}0-(-5)\\0-(-0,5)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AO}\begin{pmatrix}5\\0,5\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l B(0,5\ ;\,-6,75)\\O(0\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BO}\begin{pmatrix}0-0,5\\0-(-6,75)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BO}\begin{pmatrix}-0,5\\6,75\end{pmatrix}}

\overrightarrow{AO}. \overrightarrow{BO}=x_{\overrightarrow{AO}}\times x_{\overrightarrow{BO}}+y_{\overrightarrow{AO}}\times y_{\overrightarrow{BO}} \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{AO}. \overrightarrow{BO}}}=5\times(-0,5)+0,5\times6,75 \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{AO}. \overrightarrow{BO}}=-2,5+3,375} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{BO}=0,875}

1. b)  Nous devons en déduire que le point A n'est pas le centre du cercle C.
Nous savons que la droite (T) passant par les points O et B est tangente au cercle C au point O.

Or la tangente en un point d'un cercle est la perpendiculaire au rayon aboutissant au point de contact.
Dès lors, la tangente (T) en O au cercle C est perpendiculaire au rayon aboutissant au point O.

Si le point A était le centre du cercle, la droite (OA) serait perpendiculaire à la tangente (T) et par suite, les vecteurs  \overrightarrow{AO}  et  \overrightarrow{BO}  seraient orthogonaux, ce qui n'est pas le cas puisque  \overrightarrow{AO}. \overrightarrow{BO}\neq 0 .
Par conséquent, le point A n'est pas le centre du cercle C.

2.  Tracé de la courbe  \mathscr{C}_1  définie par la représentation paramétrique :

\left\lbrace\begin{matrix}x(t)=-4+2\cos(t)\\y(t)=2+2\sin(t)\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \text{pour }t\in[\dfrac{\pi}{4}\,;\,\pi]
Déterminons les valeurs de x (t ) et y (t ) pour diverses valeurs de t  appartenant à l'intervalle  [\dfrac{\pi}{4}\,;\,\pi].

t=\dfrac{\pi}{4}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-4+2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-4+2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2+2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-4+\sqrt{2}\approx-2,59\\\\y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2+\sqrt{2}\approx3,41\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{A_1(-2,59\,;\,3,41)\in\mathscr{C}_1}

t=\dfrac{\pi}{3}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-4+2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-4+2\times\dfrac{1}{2}\\\\y\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2+2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-4+1=-3\\\\y\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2+\sqrt{3}\approx3,73\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{B_1(-3\,;\,3,73)\in\mathscr{C}_1}

t=\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-4+2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-4+2\times0\\\\y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2+2\times1\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-4\\\\y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{C_1(-4\,;\,2)\in\mathscr{C}_1}

t=\dfrac{3\pi}{4}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-4+2\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-4+2\times\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\\\y\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=2+2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-4-\sqrt{2}\approx-5,41\\\\y\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=2+\sqrt{2}\approx3,41\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{D_1(-5,41\,;\,3,41)\in\mathscr{C}_1}

t=\dfrac{2\pi}{3}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4+2\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4+2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\\\y\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=2+2\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=2+2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-4-1=-5\\\\y\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=2+\sqrt{3}\approx3,73\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{E_1(-5\,;\,3,73)\in\mathscr{C}_1}

t=\pi\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x(\pi)=-4+2\cos(\pi)=-4+2\times(-1)\\\\y(\pi)=2+2\sin(\pi)=2+2\times0\end{matrix}\right. \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x(\pi)=-4-2=-6\\\\y(\pi)=2\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{F_1(-6\,;\,2)\in\mathscr{C}_1}

Nous obtenons ainsi la courbe  \mathscr{C}_1  représentée ci-dessous en rouge.
La courbe  \mathscr{C}_2 , symétrique de la courbe  \mathscr{C}_1  par la symétrie d'axe (D) d'équation y  = 2 est représentée en vert.

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 18

Partie B : Modélisation de la « trompe » de l'éléphant

1.  Traduisons mathématiquement les contraintes.
  Le point O(0 ; 0) appartient à la courbe  \mathscr{C}f equivaut f (0) = 0.
  Le coefficient directeur de la tangente à  \mathscr{C}f  au point O est -13,5 equivaut f' (0) = -13,5.
  La courbe  \mathscr{C}f  passe par le point D(1 ; 6) equivaut f (1) = 6.
  La courbe  \mathscr{C}f  admet une tangente horizontale en D(1 ; -6) equivaut f' (1) = 0.

\boxed{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\Longrightarrow \boxed{f'(x)=3ax^2+2bx+c} \\\\\bullet \ f(0)=0\Longleftrightarrow a\times0+b\times0+c\times0+d=0 \\\phantom{\bullet \ f(0)=0}\Longleftrightarrow \boxed{d=0} \\\\\bullet \ f'(0)=-13,5\Longleftrightarrow 3a\times0+2b\times0+c=-13,5 \\\phantom{\bullet \ f'(0)=-16,5}\Longleftrightarrow \boxed{c=-13,5} \\\\\bullet \ f(1)=-6\Longleftrightarrow a\times1^3+b\times1^2+c\times1+d=-6\ \ \ \ \text{où }c=-13,5\text{ et }d=0 \\\phantom{\bullet \ f(1)=-6}\Longleftrightarrow a+b-13,5+0=-6 \\\phantom{\bullet \ f(1)=-6}\Longleftrightarrow \boxed{a+b=7,5} \\\\\bullet \ f'(1)=0\Longleftrightarrow 3a\times1^2+2b\times1+c=0\ \ \ \ \text{où }c=-13,5 \\\phantom{\bullet \ f'(1)=0}\Longleftrightarrow 3a+2b-13,5=0 \\\phantom{\bullet \ f'(1)=0}\Longleftrightarrow \boxed{3a+2b=13,5}
Par conséquent, les nombres réels a , b , c  et d  sont solutions du système :  \left\lbrace\begin{matrix}d=0\ \ \ \ \ \ \\c=-13,5\\a+b=7,5\\3a+2b=13,5\end{matrix}\right.

2.  Résolvons ce système.

\left\lbrace\begin{matrix}a+b=7,5\\3a+2b=13,5\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-b\\3a+2b=13,5\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-b\\3(7,5-b)+2b=13,5\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-b\\22,5-3b+2b=13,5\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}a+b=7,5\\3a+2b=13,5\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-b\\-b=-9\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-b\\b=9\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=7,5-9\\b=9\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1,5\\b=9\end{matrix}\right.

D'où  \left\lbrace\begin{matrix}d=0\ \ \ \ \ \ \\c=-13,5\\a+b=7,5\\3a+2b=13,5\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1,5\\b=9\\c=-13,5\\d=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-\dfrac{3}{2}\\b=9\ \ \ \ \\c=-\dfrac{27}{2}\\d=0\ \ \ \ \end{matrix}\right.}

Par conséquent, l'expression de la fonction f  est :  \boxed{f(x)=-\dfrac{3}{2}x^3+9x^2-\dfrac{27}{2}x}

3.  Etude de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 2].

3. a)  Déterminons l'expression de la dérivée f' (x ).

f'(x)=-\dfrac{3}{2}\times3x^2+9\times2x-\dfrac{27}{2}\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\dfrac{9}{2}x^2+18x-\dfrac{27}{2}}

3. b)  Etudions le signe de la dérivée sur l'intervalle [0 , 2].
Nous savons que  f'(x)=-\dfrac{9}{2}x^2+18x-\dfrac{27}{2}\Longleftrightarrow f'(x)=\dfrac{9}{2}(-x^2+4x-3) .
Nous en déduisons que le signe de f' (x ) est le signe du trinôme  -x^2+4x-3.
Déterminons les racines de ce trinôme.

\text{Discriminant : }\Delta=4^2-4\times(-1)\times(-3)=16-12=4>0\\\\ \text{Racines : }x_1=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\times(-1)}=\dfrac{-4-2}{-2}=3 \\\\\phantom{\text{Racines : }}x_2=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\times(-1)}=\dfrac{-4+2}{-2}=1.
Le trinôme  -x^2+4x-3  admet deux racines (1 et 3) et est du signe du coefficient de x 2 (négatif) pour toutes les valeurs réelles de x  sauf entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de ce trinôme  -x^2+4x-3  sur R.

\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&1&&3&&+\infty \\\hline -x^2+4x-3&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}
Nous en déduisons le tableau de signes de  -x^2+4x-3  sur l'intervalle [0 : 2] et par suite le signe de la dérivée f'(x) sur [0 ; 2].

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&1&&2&&&&&&\\\hline &&&&&&-x^2+4x-3&-&-&0&+&+\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&-&-&0&+&+\\&&&&&\\\hline \end{array}

D'où le tableau de variation de f  sur l'intervalle [0 ; 2].

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&1&&2&&&&&&\\\hline &&&&&&f'(x)&-&-&0&+&+\\&&&&&\\\hline&0&&&&-3\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-6&&\\\hline \end{array}


4.  Tracé de la courbe  \mathscr{C}f  de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 2].

4. a)  Tableau de valeurs (arrondies à 10-2).

\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&&&&&&&&\ x&&0&&&0,5&&&1&&&1,5&&&2&\\&&&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&f(x)&&0&&&-4,69&&&-6&&&-5,06&&&-3&\\&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}


4. b)  Tracé de la courbe  \mathscr{C}f  ci-dessus en bleu (voir question 2).

6 points

exercice 2

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AE = 6 cm, AD = 12 cm
et AM = BN = BP = ES = ET = FR = x  cm (0 infegal x  infegal 6).
Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 17
Partie A :

1.  Exprimons l'aire du triangle BNM en fonction de x .

Dans le pavé droit ABCDEFGH, le quadrilatère ABCD est un rectangle.
Donc les droites (BA) et (BC) sont perpendiculaires et par suite, les droites (BM) et (BN) sont également perpendiculaires.
Il s'ensuit que le triangle BNM est rectangle en B.
L'aire du triangle BNM est donnée par :  \mathscr{A}_{BNM}=\dfrac{\text{Base}\times\text{hauteur}}{2}=\dfrac{BM\times BN}{2}.

Or  \left\lbrace\begin{matrix}BM=AB-AM\\BN=x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}BM=6-x\\BN=x\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
\text{D'où }\ \mathscr{A}_{BNM}=\dfrac{(6-x)x}{2}=\dfrac{6x-x^2}{2}=\dfrac{6x}{2}-\dfrac{x^2}{2}=3x-\dfrac{x^2}{2}\\\\\phantom{\text{D'où }\ }\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}_{BNM}=-\dfrac{x^2}{2}+3x}

2.  Exprimons le volume du tétraèdre MBNP en fonction de x .

Dans le pavé droit ABCDEFGH, nous savons que la droite (BF) est perpendiculaire au plan (ABC).
Dès lors, le droite (BP) est perpendiculaire au plan (MBN).
Par conséquent, nous pouvons considérer que le prisme MBNP possède le triangle BNM comme base et BP comme hauteur.
Le volume du tétraèdre MBNP est donné par :  \mathscr{V}_{MBNP}=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire de la base}\times\text{hauteur}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{BNM}\times BP.

Or  \left\lbrace\begin{matrix}\mathscr{A}_{BNM}=-\dfrac{x^2}{2}+3x\\BP=x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
\text{D'où }\ \mathscr{V}_{MBNP}=\dfrac{1}{3}\times \left(-\dfrac{x^2}{2}+3x\right)\times x=\dfrac{1}{3}\times \left(-\dfrac{x^3}{2}+3x^2\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ }\Longrightarrow\boxed{\mathscr{V}_{MBNP}=-\dfrac{x^3}{6}+x^2}

3.  Par un calcul analogue nous obtenons :

\mathscr{V}_{REST}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{RES}\times ET=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{ER\times ES}{2}\times ET \\\\\phantom{WWw}=\dfrac{1}{6}\times ER\times ES\times ET=\dfrac{1}{6}\times (6-x)\times x\times x \\\\\phantom{WWw}=\dfrac{1}{6}\times (6-x)x^2=\dfrac{1}{6}\times (6x^2-x^3) \\\\\phantom{WWw}=x^2-\dfrac{x^3}{6} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{V}_{REST}=-\dfrac{x^3}{6}+x^2}
Nous en déduisons que :  \mathscr{V}_{MBNP}+\mathscr{V}_{REST}=(-\dfrac{x^3}{6}+x^2)+(-\dfrac{x^3}{6}+x^2)=2\left(-\dfrac{x^3}{6}+x^2\right)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2
Par conséquent, la somme des volumes des tétraèdres MBNP et REST s'exprime en fonction de x  par :  \boxed{-\dfrac{x^3}{3}+2x^2}

4.  On considère la fonction V définie sur [0 ; 6] par :  V(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2.
L'énoncé nous donne le tableau de signes sur [0 ; 6] de la dérivée V' .
Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction V  sur [0 ; 6].

\begin{matrix}\underline{\text{Calculs préliminaires}}\\\\V(0)=-\dfrac{0^3}{3}+2\times0^2=0\\\\V(4)=-\dfrac{4^3}{3}+2\times4^2=\dfrac{32}{3}\approx11\\\\V(6)=-\dfrac{6^3}{3}+2\times6^2=0\end{matrix}\ \ \ \  \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&4&&6&&&&&&\\\hline &&&&&&V'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&\dfrac{32}{3}\approx11&&\\V(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\\hline \end{array}\end{matrix}

Par conséquent, la somme des volumes des tétraèdres MBNP et REST est maximale pour x  = 4 cm, la valeur de cette somme est environ égale à 11 cm3.

Partie B :

1.  Construction de l'image abcdefgh du pavé droit ABCDEFGH.
Les points de fuite sont notés omega1 et omega2 (voir figure en fin d'exercice).

2. a)  Le milieu d'un segment situé dans un plan frontal est conservé.
Le point P est le milieu du segment [BF] inclus dans un plan frontal.
Donc le point image p est le milieu du segment [bf].

2. b) Placement des points p et t, milieux respectifs des segments [bf] et [ae] (voir figure en fin d'exercice).

3. a)  Le point image m n'est pas le milieu du segment [ab] car le segment [AB] n'est pas dans un plan frontal.

3. b)  Construction des points m et r.
Par le point d'intersection x des diagonales [af] et [be], traçons une droite parallèle à la droite (bf) qui coupe les droites (ab) et (ef) respectivement en m et r.

4.  Construction du point s.
Par le point n, traçons une droite parallèle à la droite (bf) coupant la droite (fg) en y.
La droite (yomega1) coupe (eh) en s.

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 14


5 points

exercice 3

Partie A : Construction d'un trapèze

On considère un triangle équilatéral ABC tel que AB = 4 cm.

1.  Construisons le point D, distinct du point B tel que le triangle ACD soit équilatéral.
Avec une ouverture de compas de 4 cm, pointe en A, puis en C, traçons deux arcs de cercle se coupant en un point D.
Le triangle ACD est équilatéral car AC = AD = CD = 4 cm.

Construisons le point E, distinct du point A tel que le triangle BCE soit équilatéral.
Avec une ouverture de compas de 4 cm, pointe en B, puis en C, traçons deux arcs de cercle se coupant en un point E.
Le triangle BCE est équilatéral car BC = BE = CE = 4 cm.

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 15

2.  Les mesures des angles des triangles équilatéraux ABC, ACD et BCE sont chacune égale à 60°.
Par conséquent, les mesures des angles du trapèze ABED sont :  
\overset{.}{\boxed{\widehat{ABE}=120^{\circ}\ \ ;\ \ \widehat{BED}=60^{\circ}\ \ ;\ \ \widehat{EDA}=60^{\circ}\ \ ;\ \ \widehat{DAB}=120^{\circ}}}

3.  Nous devons déterminer la valeur exacte de AE.
Le quadrilatère ABEC est un losange car AB = BE = CE = AC = 4 cm.
Les diagonales [AE] et [BC] de ce losange se coupent perpendiculairement en leur milieu M.
Donc AM = ME, soit AE = 2 multiplie AM.
En outre, le triangle AMB est rectangle en M avec AB = 4 cm et MB = 2 cm.
Par Pythagore dans ce triangle rectangle AMB, nous obtenons :

AB^2=AM^2+MB^2\Longleftrightarrow 4^2=AM^2+2^2 \\\phantom{AB^2=AM^2+MB^2}\Longleftrightarrow 16=AM^2+4 \\\phantom{AB^2=AM^2+MB^2}\Longleftrightarrow AM^2=16-4 \\\phantom{AB^2=AM^2+MB^2}\Longleftrightarrow AM^2=12 \\\phantom{AB^2=AM^2+MB^2}\Longleftrightarrow AM=\sqrt{12}=\sqrt{4\times3} \\\phantom{AB^2=AM^2+MB^2}\Longleftrightarrow AM=2\sqrt{3}
D'où,  AE = 2\times AM= 2\times 2\sqrt{3}\Longrightarrow\boxed{AE=4\sqrt{3}}
Par conséquent, AE mesure exactement  4\sqrt{3}\,\text{cm}.

Partie B : Construction d'un motif

On considère le motif ci-dessous construit à partir du trapèze isocèle ABED.
Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 16
T2 est l'image de T1 par une symétrie orthogonale d'axe (AB).
 T3 est l'image de T1 par une rotation de centre A et d'angle 120°.
 T4 est l'image de T1 par une translation de vecteur  \overrightarrow{DF}.

Partie C : Construction du pavage

1.  Le motif de la partie B est hachuré en rouge au centre du pavage. Ce motif est le polygone MNPQRSTUVW.
Il est noté P1.

Bac Mathématiques STD2A Nouvelle Calédonie : image 20
2.  Les polygones P2, P3, P4 et P5 sont les images respectives de P1 par les translations de vecteurs  \overrightarrow{MG},\ \overrightarrow{ML},\ \overrightarrow{MH}  et  \overrightarrow{MV} .
L'hexagone grisé H6 est l'image de l'hexagone MNPUVW par une symétrie orthogonale d'axe (MW).
L'hexagone grisé H7 est l'image de l'hexagone PQRSTU par une symétrie orthogonale d'axe (RS).
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