Fiche de mathématiques
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B A C C A L A U R É AT T E C H N O L O G I Q U E

SESSION 2020

MATHÉMATIQUES

Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA SANTÉ ET DU SOCIAL ST2S


DURÉE DE L'ÉPREUVE : 2 heures

COEFFICIENT : 3

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L'annexe est à rendre avec la copie

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points

exercice 1

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 1

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 7


6 points

exercice 2

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 4

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 5


8 points

exercice 3

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 6

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 2

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 3





Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020

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6 points

exercice 1

1. a)  Dans une région française, une étude statistique a montré que 79 % de cette population est vaccinée contre la rougeole.
Donc  \overset{.}{\boxed{P(V)=0,79}}

1. b)  Parmi les personnes vaccinées contre la rougeole, 0,1 % d'entre elles a contracté cette maladie.
Donc  \overset{.}{\boxed{P_V(R)=0,001}}

Parmi les personnes non vaccinées contre la rougeole, 10 % d'entre elles ont contracté cette maladie.
Donc  \overset{.}{\boxed{P_{\overline{V}}(R)=0,1}}

2.  Arbre pondéré de probabilités complété traduisant la situation.

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 11

3. a)  L'événement  \overline{V}\cap R  peut se traduite par : "La personne choisie n'est pas vaccinée contre la rougeole et a contracté cette maladie."

{\red{3.\ \text{b)}}}\ P(\overline{V}\cap R)=P(\overline{V})\times P_{\overline{V}}(R) \\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ P(\overline{V}\cap R)}=0,21\times0,1 \\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ P(\overline{V}\cap R)}=0,021 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(\overline{V}\cap R)=0,021}

4.  Nous devons déterminer  P(R).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(R)=P(V\cap R)+P(\overline{V}\cap R) \\\\\phantom{P(R)}=P(V)\times P_V(R)+0,021 \\\\\phantom{P(R_2)}=0,79\times0,001+0,021=0,00079+0,021=0,02179 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(R)=0,02179\approx0,0218}
D'où la probabilité que la personne choisie soit atteinte de la rougeole est environ égale à 0,0218 (valeur arrondie à 10-4).

5.  Nous devons déterminer  P_R(\overline{V}).

P_{R}(\overline{V})=\dfrac{P(\overline{V})\cap R}{P(R)}=\dfrac{0,021}{0,02179}\approx0,9638 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{R}(\overline{V})\approx0,9638}
Par conséquent, sachant que la personne est atteinte de la rougeole, la probabilité qu'elle ne soit pas vaccinée est environ égale à 0,9638 (valeur arrondie à 10-4).

6.  Nous avons montré dans la question 4 que la probabilité qu'une personne choisie soit atteinte de la rougeole est environ égale à 0,0218.
Estimons parmi 2 millions d'habitants, le nombre de personnes atteintes de la rougeole :
0,0218 multiplie 2 000 000 = 43 600.
L'affirmation du journal régional affirmant que plus de 40 000 habitants étaient atteints de la rougeole est donc correcte.

6 points

exercice 2

Partie A : évolution du nombre de trottinettes électriques vendues en France

Soit la fonction f  définie sur l'intervalle [0 ; 10] par f (x )=100 000 multiplie 2,29x .
On admet que la fonction f  a le même sens de variation sur l'intervalle [0 ; 10] que la fonction g  définie par g (x )=2,29x.

1.  La fonction exponentielle de base a  est strictement croissante lorsque la base a  est strictement supérieure à 1.
Puisque 2,29 > 1, la fonction exponentielle de base 2,29  est strictement croissante, soit la fonction g  est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 10].
Or nous avons admis que la fonction f  a le même sens de variation sur l'intervalle [0 ; 10] que la fonction g .
Par conséquent, la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 10]. 

2.  Pour tout entier naturel n  inférieur ou égal à 10, on admet que le nombre de trottinettes électriques vendues en France au cours de l'année 2014 + n  est la valeur de f (n ) arrondie à l'unité.

2. a)  Le nombre de trottinettes électriques vendues au cours de l'année 2015 est donné par f (1).

f(1)=100\,000\times2,29^1=100\,000\times2,29=229\,000

Donc au cours de l'année 2015, le nombre de trottinettes électriques vendues s'élève à 229 000.

2. b)  Nous devons résoudre dans [0 ; 10] l'inéquation f (n ) > 1 000 000.

f(n)>1\,000\,000\Longleftrightarrow100\,000\times2,29^n>1\,000\,000 \\\phantom{f(n)>1\,000\,000}\Longleftrightarrow2,29^n>10 \\\phantom{f(n)>1\,000\,000}\Longleftrightarrow\ln(2,29^n)>\ln(10) \\\phantom{f(n)>1\,000\,000}\Longleftrightarrow n\times\ln(2,29)>\ln(10) \\\\\phantom{f(n)>1\,000\,000}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(10)}{\ln(2,29)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{N. B. : }\ \dfrac{\ln(10)}{\ln(2,29)}\approx2,779)
Le plus petit entier vérifiant l'inéquation est n = 3.
Par conséquent, le nombre de trottinettes électriques vendues en France dépasse 1 000 000 au cours de l'année 2017.

Partie B : évolution du prix des trottinettes électriques en fonction du temps

On s'intéresse maintenant au prix moyen des trottinettes électriques sur ces dernières années.
Les prix sont donnés dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&&&&&&&&\ \text{Année}&&2015&&&2016&&&2017&&&2018&&&2019&\\&&&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&\text{Rang de l'année : }x_i&&1&&&2&&&3&&&4&&&5&\\&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&\text{Prix moyen en euro : }y_i&&870&&&767&&&618&&&477&&&399&\\&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

1. a)  Déterminons les coordonnées (xG  ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{870+767+618+477+399}{5}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x_G=3\\\\y_G=626,2\end{matrix}\right.
D'où les coordonnées du point G  sont (3 ; 626,2).

1. b)  Plaçons le point G sur le graphique ci-dessous.

2.  On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite D d'équation y  = -123,2x + 995,8.
On admet que cet ajustement reste valable jusqu'en 2022.

2. a)   Montrons que le point G appartient à la droite D en remplaçant x  par 3 dans l'équation de D et en montrant que dans ce cas, y = 626,2.

\left\lbrace\begin{matrix}y=-123,2x+995,8\\x=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ y=-123,2\times3+995,8=-369,6+995,8\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\ \ \  \boxed{y=626,2}

Nous avons donc bien montré que le point G appartient à la droite D.

2. b)  L'ordonnée à l'origine de la droite D est égale à 995,8.
D'où la droite D passe par le point de coordonnées (0 ; 995,8).
La droite D passe également par le point G.
Nous pouvons ainsi tracer la droite D passant par ces deux points.

Bac ST2S Nouvelle Calédonie novembre 2020 : image 13

3.  L'année 2020 correspond au rang 6.
Dans l'équation de D, remplaçons x  par 6 et calculons la valeur de y .

y=-123,2\times6+995,8=-739,2+995,8\\\\\Longrightarrow\ \ \  \boxed{y=256,6}
Par conséquent, en 2020, le prix moyen d'une trottinette électrique s'élève à 257 euros.

4.  Résolvons l'inéquation : -123,2x  + 995,8 < 130.

-123,2x +995,8<130\Longleftrightarrow-123,2x <130-995,8 \\\phantom{-123,2x +995,8<130}\Longleftrightarrow-123,2x <-865,8 \\\\\phantom{-123,2x +995,8<130}\Longleftrightarrow x >\dfrac{-865,8}{-123,2}\ \ \ \ \ \ \ \  (\text{N.B.:}\dfrac{-865,8}{-123,2}\approx7,03)

Par conséquent, selon le modèle proposé, le prix moyen d'une trottinette électrique sera inférieur à 130 euros au cours de l'année 2022.

8 points

exercice 3

Partie A : premier modèle

En 1985, la population de la France métropolitaine était de 55 284 000 habitants. Des études statistiques permettent de supposer que cette population a continué d'augmenter tous les ans de 0,51 % jusqu'en 2020.

1.  Une augmentation de 0,51 % correspond à un coefficient multiplicateur de  1+\dfrac{0,51}{100}=1,0051.
Le nombre d'habitants en 1986 s'obtient en multipliant par 1,0051 le nombre d'habitants en 1985.
1,0051 multiplie 55 284 000 = 55 565 948,4.
Donc, en 1986, il y a environ 55 565 950 habitants en France métropolitaine.

2.  On modélise le nombre d'habitants de cette population par une suite (un ) de 1er terme u 0  = 55 284 000.
u 0  représente la population de la France métropolitaine en 1985 et un  représente le population de la France métropolitaine en 1985 + n .

2. a)  Nous savons qu'une augmentation de 0,51 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,0051.

Donc  \boxed{u_{n+1}=1,0051\times u_n}

Par conséquent, (un ) est une suite géométrique de raison 1,0051 dont le premier terme est u 0  = 55 284 000.

2. b)  Si  (u_n)  est une suite géométrique de raison q  dont le premier terme est  u_0 , alors  \boxed{u_n=u_0\times q^n}

D'où  \boxed{u_n=55\ 284\ 000\times 1,0051^n}

2. c)  Le rang correspondant à 2020 est n = 35 car 2020 = 1985 + 35.

u_{35}=55\,284\,000\times 1,0051^{35}\approx66\,057\,786.
Par conséquent, le nombre d'habitants de la France métropolitaine en 2020 peut être estimé à 66 058 000 (arrondi au millier près).

Partie B : deuxième modèle

On décide de modéliser la population de la France métropolitaine de 1985 à 2025 par la fonction f  définie sur l'intervalle [0 ; 40] par :  f(x)=-0,0003x^3+0,0117x^2+0,1728x+55,2  où x  est le nombre d'années à partir de 1985 et f (x ) la population de la France métropolitaine en million d'habitants.

1.  Déterminons l'expression algébrique de la dérivée f' (x ).

f'(x)=(-0,0003x^3)'+(0,0117x^2)'+(0,1728x)'+55,2' \\\phantom{f'(x)}=-0,0003\times (x^3)'+0,0117\times(x^2)'+0,1728\times x'+0 \\\phantom{f'(x)}=-0,0003\times 3x^2+0,0117\times2x+0,1728\times 1 \\\phantom{f'(x)}=-0,0009x^2+0,0234x+0,1728 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[0\,; 40],\ f'(x)=-0,0009x^2+0,0234x+0,1728}

2.  Pour tout x  de l'intervalle [0 ; 40],

0,0009(32-x)(x+6)=0,0009(32x+32\times6-x^2-6x) \\\phantom{0,0009(32-x)(x+6)}=0,0009(32x+192-x^2-6x) \\\phantom{0,0009(32-x)(x+6)}=0,0009(-x^2+26x+192) \\\phantom{0,0009(32-x)(x+6)}=-0,0009x^2+0,0009\times26x+0,0009\times192 \\\phantom{0,0009(32-x)(x+6)}=-0,0009x^2+0,0234x+0,1728 \\\phantom{0,0009(32-x)(x+6)}=f'(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[0\,; 40],\ f'(x)=0,0009(32-x)(x+6)}

3. a)  Tableau de signes de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 40].

\begin{matrix}32-x<0\Longleftrightarrow x>32\\\\32-x=0\Longleftrightarrow x=32\\\\32-x>0\Longleftrightarrow x<32\\\\x>0\Longrightarrow x+6>0\end{matrix} \ \ \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&32&&40\\&&&&&\\\hline 32-x&&+&0&-&\\\hline x+6&&+&+&+&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}

3. b)  Tableau de variation de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 40].

\text{Calculs préliminaires :}\ f(0)=-0,0003\times0^3+0,0117\times0^2+0,1728\times0+55,2=55,2 \\\phantom{\text{Calculs préliminaires }\ }f(32)=-0,0003\times32^3+0,0117\times32^2+0,1728\times32+55,2=62,88 \\\phantom{\text{Calculs préliminaires }\ }f(40)=-0,0003\times40^3+0,0117\times40^2+0,1728\times40+55,2=61,632  \\\\\ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&32&&40 \\\hline&&&&&&f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&62,88&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\ &55,2&&&&61,632 \\ \hline \end{array}

4.  Nous déduisons du tableau de variation de la fonction f  que le maximum de f  existe pour x  = 32.
Or 1985 + 32 = 2017.
Par conséquent, la population maximale de la France métropolitaine est de 62 880 000 habitants, ce maximum étant atteint en 2017.

Partie C

En 2019, la population de la France métropolitaine était d'environ 65 millions.
2019 correspond au rang 34 car 1985 + 34 = 2019.

  En utilisant le premier modèle, nous obtenons :  u_{34}=55\,284\,000\times 1,0051^{34}\approx65\,722\,600.
  En utilisant le deuxième modèle, nous obtenons :  
      \overset{.}{f(34)=-0,0003\times34^3+0,0117\times34^2+0,1728\times34+55,2=62,8092} , soit environ 62, 8 millions.
Le premier modèle semble le plus adapté car le résultat obtenu par le premier modèle est plus proche de 65 millions que le résultat obtenu par le second modèle.
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