Fiche de mathématiques
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E3C-Spécimen 2-Spécialité Mathématiques-Epreuve 2

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Durée : 2 heures

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5 points

exercice 1

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d):\ }15\,740.}}
Pour x  pièces produites, le coût de fabrication C (x ), en milliers d'euros est donné par  C\overset{.}{(}x)=0,01x^3-0,135x^2+0,6x+15.

C(2)=0,01 \times2^3-0,135\times2^2+0,6\times2+15 \\\phantom{C(x)}=0,08-0,54+1,2+15 \\\phantom{C(x)}=15,74
Puisque C (x ) exprime un coût de fabrication en milliers d'euros, le coût de fabrication de 2 pièces produites est égal à 15 740 euros.
La réponse correcte est donc la proposition d.

{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c):\ }a<0\ \ \text{et}\ \ \Delta=0.}}
La courbe  \mathscr{C}_f  possède un maximum.
Nous en déduisons que a < 0.
L'axe des abscisses est tangente à  \mathscr{C}_f  en l'un de ses points.
Nous en déduisons que deltamaj = 0.
La réponse correcte est donc la proposition c.

{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d):\ }-\sin(x).}}
Les angles  x  et  (x+\dfrac{\pi}{2})  sont anti-complémentaires.
\text{D'où }\ \cos(x+\dfrac{\pi}{2})=-\sin(x).
La réponse correcte est donc la proposition d.

{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b):\ }(x+3)^2+(y-1)^2=25}}
Une équation cartésienne du cercle gammamaj de centre omegamaj(a  ; b ) et de rayon r  est de la forme  \overset{.}{\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}}.
Le cercle gammamaj a comme diamètre le segment [AB ].

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{(1-(-7))^2+(-2-4)^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{8^2+(-6)^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{64+36} \\\phantom{AB}=\sqrt{100} \\\phantom{AB}=10
D'où la longueur du rayon est r  = 5.
Le centre du cercle gammamaj est le point M  milieu du diamètre [AB ].
Ses coordonnées sont données par :  

\left\lbrace\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_M=\dfrac{-7+1}{2}\\\\y_M=\dfrac{4+(-2)}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_M=\dfrac{-6}{2}\\\\y_M=\dfrac{2}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_M=-3\\y_M=1\end{matrix}\right.}
Par conséquent, les coordonnées du point M  sont (-3 ; 1).

D'où une équation du cercle gammamaj est  (x-(-3))^2+(y-1)^2=5^2 , soit  \boxed{(x+3)^2+(y-1)^2=25}
La réponse correcte est donc la proposition b.

{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c):\ }\text{strictement parallèles.}}}
Déterminons les équations réduites des droite D  et D' .

D:3x+2y-1=0\Longleftrightarrow2y=-3x+1\Longleftrightarrow y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}\\\\\Longrightarrow \boxed{D:y=-1,5x+0,5} \\\\D':6x+4y+2=0\Longleftrightarrow4y=-6x-2\Longleftrightarrow y=-\dfrac{6}{4}x-\dfrac{2}{4}\Longleftrightarrow y=-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2} \\\\\Longrightarrow \boxed{D':y=-1,5x-0,5}
Les deux droites ont le même coefficient directeur -1,5.
Ces droites sont donc parallèles.
De plus, elles sont distinctes puisque l'ordonnée à l'origine de D  est 0,5 alors que l'ordonnée à l'origine de D'  est -0,5.
Par conséquent, les droites D  et D'  sont strictement parallèles.
La réponse correcte est donc la proposition c.

5 points

exercice 2

{\red{1.\ }}\ u_1=130 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }u_2=u_1+52=130+52\Longrightarrow\boxed{u_2=182} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }u_3=u_2+52=182+52\Longrightarrow\boxed{u_3=234}

2.  Le coût d'un mètre de forage augmente de 52 euros lors de chaque passage à un mètre supplémentaire.
D'où, pour tout entier naturel n  non nul, nous obtenons :  u n +1 = u n + 52.
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite arithmétique de raison r  = 52 et dont le premier terme est u 1 = 130.
Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_1+(n-1)\times r .
Donc, pour tout entier naturel n  non nul,   u_n=130+(n-1)\times52 , soit  \boxed{u_n=130+52(n-1)}

{\red{3.\ }}\ S_1=u_1=130 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }S_2=S_1+u_2=130+182\Longrightarrow\boxed{S_2=312} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }S_3=S_2+u_3=312+234\Longrightarrow\boxed{S_3=546}

4.  Fonction complétée permettant de déterminer le nombre maximal de mètres que l'entreprise peut forer avec la subvention octroyée :

           {\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ {\blue{\text{nombre}}}\_{\blue{\text{metre}}}\text{(S)}: \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{C}\ {\red{=}}\ {\cyan{130}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{n}\ {\red{=}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }{\green{\text{while}}}\ \text{C}\ {\red{<}}\ \text{S}: \\\phantom{WWW}\text{C}\ {\red{=}}\ \text{C}\ {\red{+}}\ {\cyan{130}}\ {\red{+}}\ {\cyan{52}}\ {\red{*}}\ \text{n} \\\phantom{WWW}\text{n}\ {\red{=}}\ \text{n}\ {\red{+}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }{\green{\text{return}}}\ \text{n}

Tant que le coût du forage est inférieur à la subvention octroyée, le nouveau coût est le précédent augmenté du coût du mètre supplémentaire.

5.  Nous devons déterminer le plus grand entier naturel n  non nul vérifiant l'inéquation Sn infegal 116 610.
      S_n\le116\,610\Longleftrightarrow 26n^2+104n\le116\,610 \\\phantom{S_n\le116\,610}\Longleftrightarrow 26n^2+104n-116\,610\le0 \\\phantom{S_n\le116\,610}\Longleftrightarrow 26(n^2+4n-4\,485)\le0 \\\phantom{S_n\le116\,610}\Longleftrightarrow n^2+4n-4\,485\le0
Etudions le signe du polynôme du second degré n 2 + 4n  - 4485.

\Delta=4^2-4\times1\times(-4485)=16+17940=17\,956>0 \\\\\text{Racines du polynome : }x_1=\dfrac{-4-\sqrt{17\,956}}{2}=\dfrac{-4-134}{2}=-69 \\\\\phantom{\text{Racines du polynome : }}x_2=\dfrac{-4+\sqrt{17\,956}}{2}=\dfrac{-4+134}{2}=65 \\\\\underline{\text{Tableau de signes de }n^2+4n-4\,485\ \ \text{sur }\ \R}: \\\\\phantom{WW}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline n&-\infty&&-69&&65&&+\infty \\\hline n^2+4n-4\,485&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array} \\\\\text{Or }n>0 \\\\\text{D'où }\underline{\text{le tableau de signes de }n^2+4n-4\,485\ \ \text{sur }\ \R^*_+}: \\\\\phantom{WW}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline n&0&&65&&+\infty \\\hline n^2+4n-4485&&-&0&+&\\\hline \end{array}

Dès lors, si n  > 0, alors l'ensemble S  des solutions de l'inéquation n 2 + 4n  - 4485 infegal 0 est S = ]0 ; 65].
Par conséquent, le plus grand entier naturel n  non nul vérifiant l'inéquation Sn infegal 116 610 est n = 65.
La valeur de n  obtenue par la fonction Python est donc 65.

5 points

exercice 3

1. a.  Les valeurs prises par la variable aléatoire X  sont reprises dans le tableau suivant :

          
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1. b.  La loi de probabilité de X  est donnée par le tableau suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ x_i&1&2&3&4&5&6&8&9&10&12&15&16&18&20&24&25&30&36\\&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&P(X=x_i)&\dfrac{1}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{3}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{4}{36} &\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{4}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36} &\dfrac{2}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

1. c.  Le jeu est gagné si le produit des numéros apparaissant sur les deux dés lancés est strictement inférieur à 10.
Nous devons donc déterminer P (X  < 10).

P(X<10)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=8)+P(X=9) \\\\\phantom{P(X<10}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{4}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36} \\\\\phantom{P(X<10}=\dfrac{17}{36}
Par conséquent, la probabilité de gagner est égale à  \dfrac{17}{36}.

2.  Les valeurs prises par la variable aléatoire Y  sont reprises dans le tableau suivant :

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La loi de probabilité de Y  est donnée par le tableau suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&&&&&&&&&&&\\ y_i&1&2&3&4&5&6&8&9&10&12&15&16&18&20&24&32\\&&&&&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&P(Y=y_i)&\dfrac{1}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{3}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}&\dfrac{3}{36} &\dfrac{3}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{5}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{3}{36} &\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}&\dfrac{3}{36}&\dfrac{1}{36}\\&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}
Dès lors,

P(Y<10)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)+P(X=8)+P(X=9) \\\\\phantom{P(Y<10}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36} \\\\\phantom{P(Y<10}=\dfrac{17}{36} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y<10)=\dfrac{17}{36}}
Par conséquent, la probabilité de gagner est égale à  \dfrac{17}{36}.

3.  Dans les deux cas, la probabilité de gagner est égale à  \dfrac{17}{36}.
Donc aucun des deux types de dés n'est préférentiel pour augmenter les chances de gagner au jeu.

5 points

exercice 4

Soit la fonction f  définie sur R par  f(x)=\text{e}^{2x}+6\,\text{e}^x-8x-4.

1.  Déterminons l'expression de f' (x ).

{\blue{f'(x)}}=(\text{e}^{2x})'+6\,(\text{e}^x)'-8(x)'-4' \\\phantom{f'(x)}=(2x)'\times\text{e}^{2x}+6\times\text{e}^{x}-8\times1-0 \\\phantom{f'(x)}={\red{2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8}} \\\\\text{Or }\ {\blue{2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)}}=2\left(\overset{}{(\text{e}^x)^2+4\text{e}^x-\text{e}^x-4}\right) \\\phantom{\text{Or }\ 2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)}=2(\text{e}^{2x}+3\text{e}^x-4) \\\phantom{\text{Or }\ 2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)}={\red{2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8}} \\\\\text{D'où }\ \ \boxed{{\blue{f'(x)=2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)}}}

2.  Etudions le signe de f' (x ) sur R.
Pour tout réel x , ex  > 0 implique 2(ex  + 4) > 0.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (ex  -1).

          \begin{matrix}{\red{\text{e}^x-1=0}}\Longleftrightarrow \text{e}^x=1 \\\phantom{\text{e}^x-1=0}\Longleftrightarrow {\red{x=0}} \\\\ {\red{\text{e}^x-1>0}}\Longleftrightarrow \text{e}^x>1 \\\phantom{\text{e}^x-1=0}\Longleftrightarrow {\red{x>0}} \\\\ {\red{\text{e}^x-1<0}}\Longleftrightarrow \text{e}^x<1 \\\phantom{\text{e}^x-1=0}\Longleftrightarrow {\red{x<0}}\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&\text{e}^x-1&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

Par conséquent,

  f' (x ) < 0 sur l'intervalle ]-infini ; 0[
  f' (x ) > 0 sur l'intervalle ]0 ; +infini[
  f' (x ) = 0 si x  = 0.


3.  Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur R.

\underline{\text{Calcul préliminaire }}\\\\f(0)=\text{e}^{0}+6\,\text{e}^0-8\times0-4=1+6-4=3 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\\&&&3&&&\\\hline \end{array}

4.  Par le tableau de variations de la fonction f , nous observons que pour tout réel x , f (x ) supegal 3.
Par conséquent, la fonction f  est strictement positive sur R.

5.  Les abscisses des éventuels points communs entre la courbe  \mathscr{C}_f  et la droite  \mathscr{D}  sont les solutions de l'équation f (x ) = -8x  - 4 si elles existent.

f(x)=-8x-4\Longleftrightarrow\text{e}^{2x}+6\,\text{e}^x-8x-4=-8x-4 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\Longleftrightarrow\text{e}^{2x}+6\,\text{e}^x=0 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\Longleftrightarrow\text{e}^x(\text{e}^{x}+6)=0 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\Longleftrightarrow\text{e}^x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \text{e}^{x}+6=0 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\Longleftrightarrow\text{e}^x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \text{e}^{x}=-6 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\ \ \ \ \ \ \ {\red{\text{Impossible car }\text{e}^{x}>0}}

L'équation étant impossible, il n'existe donc pas de point commun entre la courbe  \mathscr{C}_f  et la droite  \mathscr{D}. 
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