Pour x pièces produites, le coût de fabrication C (x ), en milliers d'euros est donné par
Puisque C (x ) exprime un coût de fabrication en milliers d'euros, le coût de fabrication de 2 pièces produites est égal à 15 740 euros. La réponse correcte est donc la proposition d.
La courbe possède un maximum.
Nous en déduisons que a < 0.
L'axe des abscisses est tangente à en l'un de ses points.
Nous en déduisons que = 0. La réponse correcte est donc la proposition c.
Les angles et sont anti-complémentaires. La réponse correcte est donc la proposition d.
Une équation cartésienne du cercle de centre (a ; b ) et de rayon r est de la forme
Le cercle a comme diamètre le segment [AB ].
D'où la longueur du rayon est r = 5.
Le centre du cercle est le point M milieu du diamètre [AB ].
Ses coordonnées sont données par :
Par conséquent, les coordonnées du point M sont (-3 ; 1).
D'où une équation du cercle est , soit La réponse correcte est donc la proposition b.
Déterminons les équations réduites des droite D et D' .
Les deux droites ont le même coefficient directeur -1,5.
Ces droites sont donc parallèles.
De plus, elles sont distinctes puisque l'ordonnée à l'origine de D est 0,5 alors que l'ordonnée à l'origine de D' est -0,5.
Par conséquent, les droites D et D' sont strictement parallèles. La réponse correcte est donc la proposition c.
5 points
exercice 2
2. Le coût d'un mètre de forage augmente de 52 euros lors de chaque passage à un mètre supplémentaire.
D'où, pour tout entier naturel n non nul, nous obtenons : un +1 = un + 52.
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite arithmétique de raison r = 52 et dont le premier terme est u1 = 130.
Le terme général de la suite (un ) est .
Donc, pour tout entier naturel n non nul, , soit
4. Fonction complétée permettant de déterminer le nombre maximal de mètres que l'entreprise peut forer avec la subvention octroyée :
Tant que le coût du forage est inférieur à la subvention octroyée, le nouveau coût est le précédent augmenté du coût du mètre supplémentaire.
5. Nous devons déterminer le plus grand entier naturel n non nul vérifiant l'inéquation Sn 116 610.
Etudions le signe du polynôme du second degré n2 + 4n - 4485.
Dès lors, si n > 0, alors l'ensemble S des solutions de l'inéquation n2 + 4n - 4485 0 est S = ]0 ; 65].
Par conséquent, le plus grand entier naturel n non nul vérifiant l'inéquation Sn 116 610 est n = 65. La valeur de n obtenue par la fonction Python est donc 65.
5 points
exercice 3
1. a. Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont reprises dans le tableau suivant :
1. b. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :
1. c. Le jeu est gagné si le produit des numéros apparaissant sur les deux dés lancés est strictement inférieur à 10.
Nous devons donc déterminer P (X < 10).
Par conséquent, la probabilité de gagner est égale à
2. Les valeurs prises par la variable aléatoire Y sont reprises dans le tableau suivant :
La loi de probabilité de Y est donnée par le tableau suivant :
Dès lors,
Par conséquent, la probabilité de gagner est égale à
3. Dans les deux cas, la probabilité de gagner est égale à
Donc aucun des deux types de dés n'est préférentiel pour augmenter les chances de gagner au jeu.
5 points
exercice 4
Soit la fonction f définie sur par
1. Déterminons l'expression de f' (x ).
2. Etudions le signe de f' (x ) sur .
Pour tout réel x , ex > 0 2(ex + 4) > 0.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (ex -1).
Par conséquent,
f' (x ) < 0 sur l'intervalle ]- ; 0[ f' (x ) > 0 sur l'intervalle ]0 ; +[ f' (x ) = 0 si x = 0.
3. Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f sur .
4. Par le tableau de variations de la fonction f , nous observons que pour tout réel x , f (x ) 3.
Par conséquent, la fonction f est strictement positive sur .
5. Les abscisses des éventuels points communs entre la courbe et la droite sont les solutions de l'équation f (x ) = -8x - 4 si elles existent.
L'équation étant impossible, il n'existe donc pas de point commun entre la courbe et la droite
Publié par malou
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:\ }15\,740.}})
=0,01x^3-0,135x^2+0,6x+15.)
=0,01 \times2^3-0,135\times2^2+0,6\times2+15 \\\phantom{C(x)}=0,08-0,54+1,2+15 \\\phantom{C(x)}=15,74)
:\ }a<0\ \ \text{et}\ \ \Delta=0.}})
possède un maximum.
= 0.:\ }-\sin(x).}})
et )
sont anti-complémentaires.=-\sin(x).)
:\ }(x+3)^2+(y-1)^2=25}})
de centre 
(a ; b ) et de rayon r est de la forme ^2+(y-b)^2=r^2}}.)
^2+(y_B-y_A)^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{(1-(-7))^2+(-2-4)^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{8^2+(-6)^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{64+36} \\\phantom{AB}=\sqrt{100} \\\phantom{AB}=10)
}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_M=\dfrac{-6}{2}\\\\y_M=\dfrac{2}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_M=-3\\y_M=1\end{matrix}\right.})
)^2+(y-1)^2=5^2)
, soit ^2+(y-1)^2=25})
:\ }\text{strictement parallèles.}}})
\times r)
.\times52)
, soit })
}: \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{C}\ {\red{=}}\ {\cyan{130}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{n}\ {\red{=}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }{\green{\text{while}}}\ \text{C}\ {\red{<}}\ \text{S}: \\\phantom{WWW}\text{C}\ {\red{=}}\ \text{C}\ {\red{+}}\ {\cyan{130}}\ {\red{+}}\ {\cyan{52}}\ {\red{*}}\ \text{n} \\\phantom{WWW}\text{n}\ {\red{=}}\ \text{n}\ {\red{+}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }{\green{\text{return}}}\ \text{n})
116 610.\le0 \\\phantom{S_n\le116\,610}\Longleftrightarrow n^2+4n-4\,485\le0)
=16+17940=17\,956>0 \\\\\text{Racines du polynome : }x_1=\dfrac{-4-\sqrt{17\,956}}{2}=\dfrac{-4-134}{2}=-69 \\\\\phantom{\text{Racines du polynome : }}x_2=\dfrac{-4+\sqrt{17\,956}}{2}=\dfrac{-4+134}{2}=65 \\\\\underline{\text{Tableau de signes de }n^2+4n-4\,485\ \ \text{sur }\ \R}: \\\\\phantom{WW}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline n&-\infty&&-69&&65&&+\infty \\\hline n^2+4n-4\,485&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array} \\\\\text{Or }n>0 \\\\\text{D'où }\underline{\text{le tableau de signes de }n^2+4n-4\,485\ \ \text{sur }\ \R^*_+}: \\\\\phantom{WW}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline n&0&&65&&+\infty \\\hline n^2+4n-4485&&-&0&+&\\\hline \end{array})
&\dfrac{1}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{3}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{4}{36} &\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{4}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36} &\dfrac{2}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array})
=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=8)+P(X=9) \\\\\phantom{P(X<10}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{4}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36} \\\\\phantom{P(X<10}=\dfrac{17}{36})
&\dfrac{1}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{3}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}&\dfrac{3}{36} &\dfrac{3}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{5}{36}&\dfrac{2}{36}&\dfrac{3}{36} &\dfrac{2}{36}&\dfrac{1}{36}&\dfrac{3}{36}&\dfrac{1}{36}\\&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array})
=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)+P(X=8)+P(X=9) \\\\\phantom{P(Y<10}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36} \\\\\phantom{P(Y<10}=\dfrac{17}{36} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y<10)=\dfrac{17}{36}})
par =\text{e}^{2x}+6\,\text{e}^x-8x-4.)
}}=(\text{e}^{2x})'+6\,(\text{e}^x)'-8(x)'-4' \\\phantom{f'(x)}=(2x)'\times\text{e}^{2x}+6\times\text{e}^{x}-8\times1-0 \\\phantom{f'(x)}={\red{2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8}} \\\\\text{Or }\ {\blue{2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)}}=2\left(\overset{}{(\text{e}^x)^2+4\text{e}^x-\text{e}^x-4}\right) \\\phantom{\text{Or }\ 2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)}=2(\text{e}^{2x}+3\text{e}^x-4) \\\phantom{\text{Or }\ 2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)}={\red{2\text{e}^{2x}+6\text{e}^x-8}} \\\\\text{D'où }\ \ \boxed{{\blue{f'(x)=2(\text{e}^x-1)(\text{e}^x+4)}}})
2(ex + 4) > 0.&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix} )
; 0[=\text{e}^{0}+6\,\text{e}^0-8\times0-4=1+6-4=3 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\\&&&3&&&\\\hline \end{array})
3.
sont les solutions de l'équation f (x ) = -8x - 4 si elles existent.=-8x-4\Longleftrightarrow\text{e}^{2x}+6\,\text{e}^x-8x-4=-8x-4 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\Longleftrightarrow\text{e}^{2x}+6\,\text{e}^x=0 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\Longleftrightarrow\text{e}^x(\text{e}^{x}+6)=0 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\Longleftrightarrow\text{e}^x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \text{e}^{x}+6=0 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\Longleftrightarrow\text{e}^x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \text{e}^{x}=-6 \\\phantom{f(x)=-8x-4}\ \ \ \ \ \ \ {\red{\text{Impossible car }\text{e}^{x}>0}})
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