Fiche de mathématiques

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E3C-Spécimen 3- Spécialité Mathématiques-Épreuve 2

Durée : 2 heures

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5 points

exercice 1

${\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b :\ }f'(x)=2x+1.}}$

$f'(x)=(x^2)'+x'+1' \\\phantom{f'(x)}=2x+1+0 \\\phantom{f'(x)}=2x+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=2x+1}$
La réponse correcte est donc la proposition b.

${\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c :\ }2^{11}-1.}}$

$\text{Soit }\ S=1+2+2^2+2^3+...+2^{10}$
S est la somme de 11 termes d'une suite géométrique de raison 2 dont le premier terme est 1.

$\text{Or }\ S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\text{Dès lors, }\ S=1\times\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=\dfrac{1-2^{11}}{-1}\Longrightarrow\boxed{S=2^{11}-1}$
La réponse correcte est donc la proposition c.

${\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b :\ }S=-2\ \ \text{et}\ \ P=-8.}}$

Soit $f:x\mapsto ax^{2}+bx+c$ une fonction trinôme possédant deux racines x ₁ et x ₂.
x ₁ et x ₂ sont alors les racines de l'équation ax ² + bx + c = 0.
Dans ce cas, nous savons que : $\left\lbrace\begin{matrix}{\red{S}}=x_1+x_2={\red{-\dfrac {b}{a}}}\\\\ {\red{P}}= x_1\times x_2={\red{\dfrac {c}{a}}}\ \ \ \end{matrix}\right.$
Dans cet exercice, l'équation est : x ² + 2x - 8 = 0.
Dès lors, $S=-\dfrac{2}{1}=-2\ \ \ \text{et}\ \ P=\dfrac{-8}{1}=-8$
La réponse correcte est donc la proposition b.

${\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b :\ }\pi+x.}}$

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Le point M', symétrique de M par rapport à O est associé au réel $\pi+x.$
La réponse correcte est donc la proposition b.

${\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ a :\ }\cos(x+2\pi)=\cos(x).}}$

La fonction cos est 2

-périodique.
Donc pour tout x réel, $\cos(x+2\pi)=\cos(x).$

Pour information, nous avons : $\left\lbrace\begin{matrix}\cos(-x)=\cos(x)\\\sin(-x)=-\sin(x)\\\cos^2(x)+\sin^2(x)=1.\end{matrix}\right.$
La réponse correcte est donc la proposition a.

5 points

exercice 2

Soit la fonction f définie sur

par $f(x)=(2x+1)\,\text{e}^x.$

1. Les ordonnées des éventuels points d'intersection de la courbe $\matrhscr{C}_f$ avec l'axe des abscisses sont égales à 0.
Leurs abscisses sont les éventuelles solutions de l'équation f (x ) = 0.

$f(x)=0\Longleftrightarrow(2x+1)\,\text{e}^x=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow2x+1=0\ \ \text{ou}\ \ \text{e}^x=0\ \ \ (\text{impossible car }\text{e}^x>0) \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow2x=-1 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$
Par conséquent, les coordonnées de l'unique point d'intersection de la courbe $\matrhscr{C}_f$ avec l'axe des abscisses sont $(-\dfrac{1}{2}\,;\,0).$

2. Déterminons l'expression de f' (x ).

$f'(x)=(2x+1)'\times\text{e}^x+(2x+1)\times(\text{e}^x)'\\\phantom{f'(x)}=2\times\text{e}^x+(2x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(2+2x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(2x+3)\times\text{e}^x \\\\\text{D'où }\ \ \boxed{f'(x)=(2x+3)\,\text{e}^x }$

3. Etudions le signe de f' (x ) sur

.
Pour tout réel x , e^x > 0.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (2x + 3).

$\begin{matrix}{\red{2x+3=0}}\Longleftrightarrow 2x=-3 \\\phantom{2x+3=0}\Longleftrightarrow {\red{x=-\dfrac{3}{2}}} \\\\ {\red{2x+3>0}}\Longleftrightarrow 2x>-3 \\\phantom{2x+3=0}\Longleftrightarrow {\red{x>-\dfrac{3}{2}}} \\\\ {\red{2x+3<0}}\Longleftrightarrow 2x<-3 \\\phantom{2x+3=0}\Longleftrightarrow {\red{x<-\dfrac{3}{2}}} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{3}{2}&&+\infty&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&2x+3&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}$

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f sur

.

$\underline{\text{Calcul préliminaire }}\\\\f(-\dfrac{3}{2})=\left(2\times(-\dfrac{3}{2})+1\right)\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}=\left(-3+1\right)\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}=-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}} \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{3}{2}&&+\infty&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\\&&&-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}\approx-0,45&&&\\\hline \end{array}$
Par conséquent, la fonction f est décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-\dfrac{3}{2}]$
croissante sur l'intervalle $[-\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty[.$

4. a. L'équation réduite de la tangente T à la courbe $\matrhscr{C}_f$ au point d'abscisse 0 est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ , soit de la forme $y=f'(0)x+f(0).$

$\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=(2x+1)\,\text{e}^x\\f'(x)=(2x+3)\,\text{e}^x\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=(2\times0+1)\,\text{e}^0\\f'(0)=(2\times0+3)\,\text{e}^0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=\text{e}^0\ \ \ \\f'(0)=3\,\text{e}^0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=1\\f'(0)=3\end{matrix}\right.$
Par conséquent, l'équation réduite de la tangente T à la courbe $\matrhscr{C}_f$ au point d'abscisse 0 est $\boxed{y=3x+1}$

4. b. Graphiquement, nous observons que la courbe $\matrhscr{C}_f$ est située au-dessus de la tangente T .
D'où, pour tout réel x, $(2x+1)\,\text{e}^x\ge3x+1.$

5 points

exercice 3

Partie A

1. Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :

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2. Nous devons déterminer $P(L\cap B)$

$P(L\cap B)=P(L)\times P_L(B) \\\\\phantom{P(V\cap G)}=0,4\times0,08 \\\\\phantom{P(V\cap G)}=0,032 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(L\cap B)=0,032}$
Par conséquent, la probabilité que l'étudiant choisi soit en cycle "licence" et membre du BDS est égale à 0,032.

3. Nous devons déterminer $P(B).$
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(B)= P(L\cap B)+P(\overline{L}\cap B) \\\\\phantom{P(B)}=0,032+P(\overline{L})\times P_{\overline{L}}(B) \\\\\phantom{P(B)}=0,032+0,6\times0,1 \\\\\phantom{P(B)}=0,032+0,06 \\\\\phantom{P(B)}=0,092\\\\\Longrightarrow\boxed{P(B)=0,092}$

Partie B

1. Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont 20 et 60.

2. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&&\\ x_i&20&60\\&&\\\hline&&\\ P(X=x_i)&0,092&0,908\\&&\\\hline \end{array}$

Calcul de l'espérance E (X ) de la variable aléatoire X :

$E(X)=20\times P(X=20)+60\times P(X=60) \\\phantom{E(X)}=20\times 0,092+60\times 0,908 \\\phantom{E(X)}=56,32 \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=56,32}$

5 points

exercice 4

1 Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.

$\boxed{d_1=20} \\\\\begin{matrix}d_2=1,05 \times d_1 \\\phantom{d_2}=1,05 \times 20 \\=21\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\phantom{WWW}\Longrightarrow\phantom{WWW}\boxed{d_2=21} \\\\\begin{matrix}d_3=1,05 \times d_2 \\\phantom{d_3}=1,05 \times 21 \\=22,05\ \ \end{matrix}\phantom{WWW}\Longrightarrow\phantom{WWW}\boxed{d_3=22,05}$

2. Pour tout entier naturel n non nul, la distance à courir d_n +1 en kilomètre, lors de son (n +1)^ième entraînement est égale à la distance à courir d_n lors de son n ^ième entraînement augmentée de 5 % de d_n.
Or une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.
Par conséquent, pour tout entier naturel n non nul, $\overset{.}{\boxed{d_{n+1}=1,05\times d_n}}$

3. La suite (d_n ) est une suite géométrique de raison q = 1,05 et de premier terme d ₁ = 20.
Le terme général de la suite (d_n ) est $d_n=d_1\times q^{n-1}$ .
Donc, pour tout entier naturel n supegal

1, $\overset{.}{\boxed{d_n=20\times1,05^{n-1}}}$

4. Le rang correspondant au 10^ième entraînement est n = 10.

$d_{10}=20\times1,05^{10-1} \\\phantom{d_{10}}=20\times1,05^{9} \\\phantom{d_{10}}\approx31,027 \\\\\Longrightarrow\boxed{d_{10}\approx31,027}$
Par conséquent, lors de son 10^ième entraînement, Bob va courir une distance d'environ 31,027 km (valeur arrondie au mètre près).

5. Fonction complétée permettant de déterminer le nombre minimal d'entraînements permettant à Bob d'être prêt pour le marathon :

$\\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{n}\ {\red{=}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{d}\ {\red{=}}\ {\cyan{20}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }{\green{\text{while}}}\ \text{d}\ {\red{<}}\ 43: \\\phantom{WWW}\text{n}\ {\red{=}}\ \text{n}\ {\red{+}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{WWW}\text{d}\ {\red{=}}\ {\cyan{1,05}}\ {\red{*}}\ \text{d}$

Publié par malou le 10-08-2020

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