Fiche de mathématiques
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E3C-Spécimen 3- Spécialité Mathématiques-Épreuve 2

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Durée : 2 heures


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5 points

exercice 1

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b :\ }f'(x)=2x+1.}}

f'(x)=(x^2)'+x'+1' \\\phantom{f'(x)}=2x+1+0 \\\phantom{f'(x)}=2x+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=2x+1}
La réponse correcte est donc la proposition b.

{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c :\ }2^{11}-1.}}

\text{Soit }\ S=1+2+2^2+2^3+...+2^{10}
S  est la somme de 11 termes d'une suite géométrique de raison 2 dont le premier terme est 1.

\text{Or }\ S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\text{Dès lors, }\ S=1\times\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=\dfrac{1-2^{11}}{-1}\Longrightarrow\boxed{S=2^{11}-1}
La réponse correcte est donc la proposition c.

{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b :\ }S=-2\ \ \text{et}\ \ P=-8.}}

Soit   f:x\mapsto ax^{2}+bx+c  une fonction trinôme possédant deux racines x 1 et x 2.
x 1 et x 2 sont alors les racines de l'équation ax 2 + bx  + c  = 0.
Dans ce cas, nous savons que :  \left\lbrace\begin{matrix}{\red{S}}=x_1+x_2={\red{-\dfrac {b}{a}}}\\\\ {\red{P}}= x_1\times x_2={\red{\dfrac {c}{a}}}\ \ \ \end{matrix}\right.
Dans cet exercice, l'équation est : x 2 + 2x  - 8 = 0.
Dès lors,  S=-\dfrac{2}{1}=-2\ \ \ \text{et}\ \ P=\dfrac{-8}{1}=-8
La réponse correcte est donc la proposition b.

{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b :\ }\pi+x.}}

           
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Le point M', symétrique de M par rapport à O est associé au réel  \pi+x.
La réponse correcte est donc la proposition b.

{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ a :\ }\cos(x+2\pi)=\cos(x).}}

La fonction cos est 2pi-périodique.
Donc pour tout x  réel,  \cos(x+2\pi)=\cos(x).

Pour information, nous avons :  \left\lbrace\begin{matrix}\cos(-x)=\cos(x)\\\sin(-x)=-\sin(x)\\\cos^2(x)+\sin^2(x)=1.\end{matrix}\right.
La réponse correcte est donc la proposition a.

5 points

exercice 2

Soit la fonction f  définie sur R par  f(x)=(2x+1)\,\text{e}^x.

1.  Les ordonnées des éventuels points d'intersection de la courbe  \matrhscr{C}_f  avec l'axe des abscisses sont égales à 0.
Leurs abscisses sont les éventuelles solutions de l'équation f (x ) = 0.

f(x)=0\Longleftrightarrow(2x+1)\,\text{e}^x=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow2x+1=0\ \ \text{ou}\ \ \text{e}^x=0\ \ \ (\text{impossible car }\text{e}^x>0) \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow2x=-1 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}
Par conséquent, les coordonnées de l'unique point d'intersection de la courbe  \matrhscr{C}_f  avec l'axe des abscisses sont  (-\dfrac{1}{2}\,;\,0).

2.  Déterminons l'expression de f' (x ).

f'(x)=(2x+1)'\times\text{e}^x+(2x+1)\times(\text{e}^x)'\\\phantom{f'(x)}=2\times\text{e}^x+(2x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(2+2x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(2x+3)\times\text{e}^x \\\\\text{D'où }\ \ \boxed{f'(x)=(2x+3)\,\text{e}^x }

3.  Etudions le signe de f' (x ) sur R.
Pour tout réel x , ex  > 0.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (2x  + 3).

          \begin{matrix}{\red{2x+3=0}}\Longleftrightarrow 2x=-3 \\\phantom{2x+3=0}\Longleftrightarrow {\red{x=-\dfrac{3}{2}}} \\\\ {\red{2x+3>0}}\Longleftrightarrow 2x>-3 \\\phantom{2x+3=0}\Longleftrightarrow {\red{x>-\dfrac{3}{2}}} \\\\ {\red{2x+3<0}}\Longleftrightarrow 2x<-3 \\\phantom{2x+3=0}\Longleftrightarrow {\red{x<-\dfrac{3}{2}}} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{3}{2}&&+\infty&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&2x+3&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur R.

\underline{\text{Calcul préliminaire }}\\\\f(-\dfrac{3}{2})=\left(2\times(-\dfrac{3}{2})+1\right)\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}=\left(-3+1\right)\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}=-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}} \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&-\infty&&-\dfrac{3}{2}&&+\infty&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&f'(x)&&-&0&+&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\\&&&-2\,\text{e}^{-\frac{3}{2}}\approx-0,45&&&\\\hline \end{array}
Par conséquent, la fonction f  est décroissante sur l'intervalle  ]-\infty\,;\,-\dfrac{3}{2}]
                                                                           croissante sur l'intervalle  [-\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty[.

4. a.  L'équation réduite de la tangente T  à la courbe  \matrhscr{C}_f  au point d'abscisse 0 est de la forme  y=f'(0)(x-0)+f(0) , soit de la forme  y=f'(0)x+f(0).

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=(2x+1)\,\text{e}^x\\f'(x)=(2x+3)\,\text{e}^x\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=(2\times0+1)\,\text{e}^0\\f'(0)=(2\times0+3)\,\text{e}^0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=\text{e}^0\ \ \ \\f'(0)=3\,\text{e}^0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=1\\f'(0)=3\end{matrix}\right.
Par conséquent, l'équation réduite de la tangente T  à la courbe  \matrhscr{C}_f  au point d'abscisse 0 est  \boxed{y=3x+1}

4. b.  Graphiquement, nous observons que la courbe  \matrhscr{C}_f  est située au-dessus de la tangente T .
D'où, pour tout réel x,  (2x+1)\,\text{e}^x\ge3x+1.

5 points

exercice 3

Partie A

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
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2.  Nous devons déterminer  P(L\cap B)

P(L\cap B)=P(L)\times P_L(B) \\\\\phantom{P(V\cap G)}=0,4\times0,08 \\\\\phantom{P(V\cap G)}=0,032 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(L\cap B)=0,032}
Par conséquent, la probabilité que l'étudiant choisi soit en cycle "licence" et membre du BDS est égale à 0,032.

3.  Nous devons déterminer  P(B).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(B)= P(L\cap B)+P(\overline{L}\cap B) \\\\\phantom{P(B)}=0,032+P(\overline{L})\times P_{\overline{L}}(B) \\\\\phantom{P(B)}=0,032+0,6\times0,1 \\\\\phantom{P(B)}=0,032+0,06 \\\\\phantom{P(B)}=0,092\\\\\Longrightarrow\boxed{P(B)=0,092}

Partie B

1.  Les valeurs prises par la variable aléatoire X  sont 20 et 60.

2.  La loi de probabilité de X  est donnée par le tableau suivant :

                \begin{array}{|c|c|c|}\hline&&\\ x_i&20&60\\&&\\\hline&&\\ P(X=x_i)&0,092&0,908\\&&\\\hline \end{array}

Calcul de l'espérance E (X ) de la variable aléatoire X  :

E(X)=20\times P(X=20)+60\times P(X=60) \\\phantom{E(X)}=20\times 0,092+60\times 0,908 \\\phantom{E(X)}=56,32 \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=56,32}

5 points

exercice 4

1  Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.

\boxed{d_1=20} \\\\\begin{matrix}d_2=1,05 \times d_1 \\\phantom{d_2}=1,05 \times 20 \\=21\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\phantom{WWW}\Longrightarrow\phantom{WWW}\boxed{d_2=21} \\\\\begin{matrix}d_3=1,05 \times d_2 \\\phantom{d_3}=1,05 \times 21 \\=22,05\ \ \end{matrix}\phantom{WWW}\Longrightarrow\phantom{WWW}\boxed{d_3=22,05}

2.  Pour tout entier naturel n  non nul, la distance à courir dn +1 en kilomètre, lors de son (n +1)ième entraînement est égale à la distance à courir dn  lors de son n ième entraînement augmentée de 5 % de dn .
Or une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.
Par conséquent, pour tout entier naturel n  non nul,  \overset{.}{\boxed{d_{n+1}=1,05\times d_n}}

3.  La suite (dn ) est une suite géométrique de raison q  = 1,05 et de premier terme d 1 = 20.
Le terme général de la suite (dn ) est  d_n=d_1\times q^{n-1} .
Donc, pour tout entier naturel n supegal 1,   \overset{.}{\boxed{d_n=20\times1,05^{n-1}}}

4.  Le rang correspondant au 10ième entraînement est n  = 10.

d_{10}=20\times1,05^{10-1} \\\phantom{d_{10}}=20\times1,05^{9} \\\phantom{d_{10}}\approx31,027 \\\\\Longrightarrow\boxed{d_{10}\approx31,027}
Par conséquent, lors de son 10ième entraînement, Bob va courir une distance d'environ 31,027 km (valeur arrondie au mètre près).

5.  Fonction complétée permettant de déterminer le nombre minimal d'entraînements permettant à Bob d'être prêt pour le marathon :

           \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{n}\ {\red{=}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }\text{d}\ {\red{=}}\ {\cyan{20}} \\\phantom{{\green{\text{d}}}{\green{\text{e}}}{\green{\text{f}}}\ }{\green{\text{while}}}\ \text{d}\ {\red{<}}\ 43: \\\phantom{WWW}\text{n}\ {\red{=}}\ \text{n}\ {\red{+}}\ {\cyan{1}} \\\phantom{WWW}\text{d}\ {\red{=}}\ {\cyan{1,05}}\ {\red{*}}\  \text{d}
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