Fiche de mathématiques
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E3C-Spécimen 4- Spécialité Mathématiques-Épreuve 2

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Durée : 2 heures

Calculatrice autorisée

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5 points

exercice 1

Soit la fonction f  définie sur R par  f(x)=(x+1)\,\text{e}^x.

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b :\ }f'(x)=(x+2)\ \text{e}^x.}}

f'(x)=(x+1)'\times\text{e}^x+(x+1)\times(\text{e}^x)'\\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^x+(x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(1+x+1)\times\text{e}^x\\\phantom{f'(x)}=(x+2)\times\text{e}^x \\\\\text{D'où }\ \ \boxed{f'(x)=(x+2)\,\text{e}^x }
La réponse correcte est donc la proposition b.

{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c :\ }\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}}.}}

Pour tout réel m , nous savons que  \boxed{\text{e}^{-m}=\dfrac{1}{\text{e}^m}}\Longleftrightarrow\text{e}^{-m}\times\text{e}^m=1\Longleftrightarrow\boxed{\text{e}^{m}=\dfrac{1}{\text{e}^{-m}}}
\text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}=\text{e}^a\times\dfrac{1}{\text{e}^{-b}} \\\\\phantom{\text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}}=\dfrac{1}{\text{e}^{-a}}\times\text{e}^b \\\\\phantom{\text{D'où }\ \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}}=\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^{-b}}=\dfrac{\text{e}^b}{\text{e}^{-a}}}
La réponse correcte est donc la proposition c.

{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ a :\ }u_0=6\ \ \text{et}\ \ R=-\dfrac{1}{2}.}}
Le terme général d'une suite arithmétique (un ) de premier terme u 0 et de raison R  est donné par :  u_n=u_0+n\times R.
Dès lors,

\left\lbrace\begin{matrix}u_3=\dfrac{9}{2}\\\\u_6=3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_0+3R=\dfrac{9}{2}\\\\u_0+6R=3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_0=\dfrac{9}{2}-3R\\\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{9}{2}-3R=3-6R\\\\u_0=3-6R\end{matrix}\right. \\\\\\\phantom{WW...WW}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}6R-3R=3-\dfrac{9}{2}\\\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}3R=-\dfrac{3}{2}\\\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\\\u_0=3-6R\end{matrix}\right.

                            \\\\\phantom{WW...WW}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\\\u_0=3-6\times(-\dfrac{1}{2})\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\\\u_0=3+3\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}R=-\dfrac{1}{2}\\\\u_0=6\end{matrix}\right.}
La réponse correcte est donc la proposition a.

{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c :\ }1275.}} 
La fonction range(51) génère une liste de 51 valeurs allant de 0 à 50.
Après exécution du programme, la valeur contenue dans la variable s  représente la somme S  des 51 premiers termes d'une suite arithmétique de raison r  = 1 et dont le premier terme est 0.  
S=0+1+2+3+...+50 \\\Longrightarrow S= nombre\ de\ termes\ \times \dfrac{1er\ terme\ +\ dernier\ terme}{2} \\\\\phantom{\Longrightarrow S}=51\times \dfrac{0+50}{2} \\\\\phantom{\Longrightarrow S}=51\times 25=\boxed{1275}
La réponse correcte est donc la proposition c.

{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b :\ }2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}.}} 
\text{Soit }\ S=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}
S représente la somme de 16 termes d'une suite géométrique de raison  \dfrac{1}{2}  et de premier terme 1.
\text{Dès lors }\ S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\phantom{\text{Dès lors }\ S}=1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{1}\times\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}\right)=2\times\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}\right) \\\\\phantom{\text{Dès lors }\ S}=2\times1-2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{16}\right)=\boxed{2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}\right)}
La réponse correcte est donc la proposition b.

5 points

exercice 2

Partie A : Lecture graphique

La courbe ci-dessous représente la puissance (en Watt) en fonction du temps (en dixième de seconde) développé par ce rameur débutant.

         
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1.  Graphiquement, nous observons que la puissance maximale atteinte par ce rameur est d'environ 160 W.

2.  Graphiquement, nous observons que la puissance développé reste au-dessus de 100 W durant 2 dixièmes de seconde.

Partie B : Modélisation par une fonction

Nous supposons que la courbe ci-dessus est la courbe représentative de la fonction f  définie sur
l'intervalle [0,2 ; 4] par :  f(x)=(-8x+32)\text{e}^x.
Nous admettons que pour tout réel x  de l'intervalle [0,2 ; 4],  f'(x)=(-8x+24)\text{e}^x.

1.  Etudions le signe de f' (x ) sur [0,2 ; 4].
Pour tout réel x , ex  > 0.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (-8x  + 24).

          \begin{matrix}{\red{-8x+24=0}}\Longleftrightarrow 8x=24 \\\phantom{-8x+24=}\Longleftrightarrow {\red{x=3}} \\\\ {\red{-8x+24>0}}\Longleftrightarrow 8x<24 \\\phantom{-8x+24=}\Longleftrightarrow {\red{x<3}} \\\\ {\red{-8x+24<0}}\Longleftrightarrow 8x>24 \\\phantom{-8x+24<}\Longleftrightarrow {\red{x>3}} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&0,2&&3&&4&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&-8x+24&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&&f'(x)&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur [0,2 ; 4].

\underline{\text{Calcul préliminaire }}\\\\f(0,2)=(-8\times0,2+32)\,\text{e}^{0,2}=30,4\,\text{e}^{0,2}\approx37,13.\\f(3)=(-8\times3+32)\,\text{e}^{3}=8\,\text{e}^{3}\approx160,68. \\f(4)=(-8\times4+32)\,\text{e}^{0,2}=0\times\,\text{e}^{0,2}=0.\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&0,2&&3&&4&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&&f'(x)&&+&0&-&&\\&&&&&&\\\hline&&&{\red{8\,\text{e}^{3}\approx160,68}}&&&&f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\\&30,4\,\text{e}^{0,2}\approx37,13&&&&0&\\\hline \end{array}
Par conséquent, la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle [0,2 ; 3]
                                                                           strictement décroissante sur l'intervalle [3 ; 4]

2.  En nous aidant du tableau de variations de la fonction f , nous déduisons que la valeur exacte du maximum de f  est  8\,\text{e}^{3}.

Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,05 = 1,05.
La meilleure performance actuelle du sportif est  8\,\text{e}^{3}\ \text{W}.
Si le nombre naturel n  représente le nombre de mois d'entraînement, nous devons déterminer la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation  1,05^n\times8\,\text{e}^{3}>200

\text{Or }\ 1,05^n\times8\,\text{e}^{3}>200\Longleftrightarrow1,05^n>\dfrac{200}{8\,\text{e}^{3}}\Longleftrightarrow1,05^n>\dfrac{200}{8}\times\dfrac{1}{\text{e}^{3}} \\\\\phantom{\text{Or }\ 1,05^n\times8\,\text{e}^{3}>200}\Longleftrightarrow1,05^n>25\,\text{e}^{-3}  \\\phantom{\text{Or }\ 1,05^n\times8\,\text{e}^{3}>200}\Longleftrightarrow1,05^n-25\,\text{e}^{-3}>0

Nous devons donc déterminer la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation  1,05^n-25\,\text{e}^{-3}>0.
Ci-dessous un tableau reprenant les premières valeurs de n , de  1,05^n-25\,\text{e}^{-3} ainsi qu'un test vérifiant si  1,05^n-25\,\text{e}^{-3}>0.

\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline n&&1&&&2&&&3&&&4&&\cellcolor{green}&\cellcolor{green}5&\cellcolor{green}  \\\hline 1,05^n-25\,\text{e}^{-3}&&-0,195&&&-0,142&&&-0,087&&&-0,029&&\cellcolor{red}&\cellcolor{red}{0,032}&\cellcolor{red}  \\\hline 1,05^n-25\,\text{e}^{-3}>0&&\text{Faux}&&&\text{Faux}&&&\text{Faux}&&&\text{Faux}&&\cellcolor{red}&\cellcolor{red}{\text{Vrai}}&\cellcolor{red}\\\hline \end{array}

D'où la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation est n  = 5.
Par conséquent, 5 mois d'entraînement seront nécessaires pour que le sportif dépasse les 200 W.

5 points

exercice 3

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
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2.  Nous devons calculer  P(C\cap T).

P(C\cap T)=P(C)\times P_C(T) \\\phantom{P(C\cap T)}=0,24\times0,25 \\\phantom{P(C\cap T)}=0,06 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C\cap T)=0,06}
D'où la probabilité qu'un client pris au hasard achète un canapé et une table de salon est égale à 0,06.

3.  Nous devons déterminer P(T).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(T)= P(C\cap T)+P(\overline{C}\cap T) \\\phantom{P(T)}=0,06+P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(T)\ \\\phantom{P(T)}=0,06+0,76\times0,1 \\\phantom{P(T)}=0,06+0,076 \\\phantom{P(T)}=0,136\\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,136}

4. a.  Les diverses valeurs prises par la variable aléatoire X  sont : 0, 300, 1000 et 1300.

  X = 0 lorsque le client n'achète rien.  
\text{Donc }\ P(X=0)=P(\overline{C}\cap\overline{T})=P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(\overline{T}) \\\phantom{\text{Donc }\ P(X=0)}=0,76\times0,9 \\\phantom{\text{Donc }\ P(X=0)}=0,684 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=0)=0,684}

  X = 300 lorsque le client n'achète pas de canapé mais achète une table de salon.  
\text{Donc }\ P(X=300)=P(\overline{C}\cap T)=P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(T) \\\phantom{\text{Donc }\ P(X=300)}=0,76\times0,1 \\\phantom{\text{Donc }\ P(X=300)}=0,076 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=300)=0,076}

  X = 1000 lorsque le client achète un canapé mais n'achète pas de table de salon.  
\text{Donc }\ P(X=1000)=P(C\cap \overline{T})=P(C)\times P_{C}(\overline{T}) \\\phantom{\text{Donc }\ P(X=1000)}=0,24\times0,75 \\\phantom{\text{Donc }\ P(X=1000)}=0,18 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=1000)=0,18}

  X = 1300 lorsque le client achète un canapé et une table de salon.  
\text{Donc }\ P(X=1300)=P(C\cap T)=0,06\ \ \ \ (\text{voir question 2.}) \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=1300)=0,06}

Nous obtenons ainsi le tableau donnant la loi de probabilité de X .

           \begin{array}{|>{\columncolor{green}}c|c|c|c|c|}\hline &&&&&x_i&0&300&1000&1300\\&&&&\\\hline&&&&&P(X=x_i)&\ \ 0,684\ \ &\ 0,076\ \ &\ \ 0,18\ \ &\ \ 0,06\ \ &&&&&\\\hline \end{array}

4. b.  Calcul de l'espérance E (X ).  
E(X)=0\times P(X=0)+300\times P(X=300)+1000\times P(X=1000)+1300\times P(X=1300) \\\phantom{E(X)}=0\times0,684+300\times0,076+1000\times0,18+1300\times0,06 \\\phantom{E(X)}=280,8\\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=280,8}
Par conséquent, dans ce magasin, un client achète en moyenne pour 280,8 euros.

5 points

exercice 4

1.  Soient la droite D d'équation x  + 3y  - 5 = 0 et le point A de coordonnées (2 ; 1).
Montrons que les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite D.
Dans l'équation de D, remplaçons x  par 2 et y  par 1.
2 + 3 multiplie 1 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0.
Puisque les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite D, nous avons montré que ce point A appartient à la droite D.

Représentation de la droite D.
  La droite D passe par le point A de coordonnées (2 ; 1).
  Déterminons les coordonnées du point C, point d'intersection de la droite D avec l'axe des abscisses en remplaçant y  par 0 dans l'équation de D et en déterminant x .  
x+3\times0-5=0\Longleftrightarrow x-5=0 \\\phantom{x+3\times0-5=0}\Longleftrightarrow\boxed{ x=5}
Les coordonnées du point C sont donc (5 ; 0).
Traçons la droite D passant par les points A et C.

           
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2.  Nous savons que si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax  + by  + c  = 0, alors le vecteur  \overrightarrow{n}  de coordonnées (a  ; b ) est un vecteur normal à cette droite.
Une équation cartésienne de la droite D est : x  + 3y  - 5 = 0.
Donc le vecteur  \overrightarrow{n}  de coordonnées (1 ; 3) est un vecteur normal à cette droite et par suite,  \overrightarrow{n}(1\,;\,3)  est un vecteur directeur de la droite D' perpendiculaire à D.
Or si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax  + by  + c  = 0, alors cette droite est dirigée par le vecteur de coordonnées (-b  ; a ).
Dès lors, une équation cartésienne de la droite D' est de la forme 3x  - y  +  c  = 0.
De plus, le point B (4 ; 2) appartient à cette droite D'.
Ses coordonnées vérifient donc l'équation de d .
D'où 3 multiplie 4 - 2 + c  = 0 equivaut 12 - 2 + c  = 0 equivaut c  = -10.
Par conséquent, une équation cartésienne de la droite D' est 3x  - y  - 10 = 0.

3.  Le point H, projeté orthogonal du point B sur la droite D est le point d'intersection des droites D et D'.
Les coordonnées de ce point H se déterminent en résolvant le système composé par les équations des droites D et D'.

\left\lbrace\begin{matrix}x+3y-5=0\\3x-y-10=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x+3y-5=0\\y=3x-10\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x+3(3x-10)-5=0\\y=3x-10\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWw}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x+9x-30-5=0\\y=3x-10\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}10x=35\\y=3x-10\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWw}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac{35}{10}=3,5\\y=3x-10\ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}x=3,5\\y=3\times3,5-10\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWw}\Longleftrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=3,5\\y=0,5\end{matrix}\right.}
Par conséquent, les coordonnées du point H sont (3,5 ; 0,5).

           
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4. a.   Une équation cartésienne du cercle  \mathscr{C}  de centre omegamaj(a  ; b ) et de rayon r  est de la forme
\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}

Le centre du cercle de diamètre [AB] est le point omegamaj, milieu du segment [AB].
Ses coordonnées sont données par :  

\left\lbrace\begin{matrix}x_{\Omega}=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\\\y_{\Omega}=\dfrac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_{\Omega}=\dfrac{2+4}{2}\\\\y_{\Omega}=\dfrac{1+2}{2}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_{\Omega}=3\\y_{\Omega}=1,5\end{matrix}\right.}
Par conséquent, les coordonnées du centre omegamaj sont (3 ; 1,5).

Le rayon du cercle est  \dfrac{AB}{2} .
\text{Or }\ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\\phantom{\text{Or }\ AB}=\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2} \\\phantom{\text{Or }\ AB}=\sqrt{2^2+1^2} \\\phantom{\text{Or }\ AB}=\sqrt{4+1} \\\phantom{\text{Or }\ AB}=\sqrt{5} \\\\\Longrightarrow\boxed{AB=\sqrt{5}}
Dès lors, le rayon du cercle est  \dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.
D'où une équation du cercle  \mathscr{C}  est  (x-3)^2+(y-1,5)^2=\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 , soit  (x-3)^2+(y-1,5)^2=\dfrac{5}{4} ,
soit  \boxed{(x-3)^2+(y-1,5)^2=1,25}

4. b.  Déterminons si les coordonnées du point H vérifient l'équation du cercle  \mathscr{C} .
Dans l'équation de  \mathscr{C} , remplaçons x  par 3,5 et y  par 0,5.  
(3,5-3)^2+(0,5-1,5)^2=0,5^2+(-1)^2 \\\phantom{(3,5-3)^2+(0,5-1,5)^2}=0,25+1 \\\phantom{(3,5-3)^2+(0,5-1,5)^2}=\boxed{1,25}
Puisque les coordonnées du point H vérifient l'équation du cercle  \mathscr{C} , nous avons montré que ce point H appartient au cercle  \mathscr{C} .

           
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