Pour tout réel m , nous savons que La réponse correcte est donc la proposition c.
Le terme général d'une suite arithmétique (un ) de premier terme u0 et de raison R est donné par :
Dès lors,
La réponse correcte est donc la proposition a.
La fonction range(51) génère une liste de 51 valeurs allant de 0 à 50.
Après exécution du programme, la valeur contenue dans la variable s représente la somme S des 51 premiers termes d'une suite arithmétique de raison r = 1 et dont le premier terme est 0. La réponse correcte est donc la proposition c.
S représente la somme de 16 termes d'une suite géométrique de raison et de premier terme 1. La réponse correcte est donc la proposition b.
5 points
exercice 2
Partie A : Lecture graphique
La courbe ci-dessous représente la puissance (en Watt) en fonction du temps (en dixième de seconde) développé par ce rameur débutant.
1. Graphiquement, nous observons que la puissance maximale atteinte par ce rameur est d'environ 160 W.
2. Graphiquement, nous observons que la puissance développé reste au-dessus de 100 W durant 2 dixièmes de seconde.
Partie B : Modélisation par une fonction
Nous supposons que la courbe ci-dessus est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [0,2 ; 4] par :
Nous admettons que pour tout réel x de l'intervalle [0,2 ; 4],
1. Etudions le signe de f' (x ) sur [0,2 ; 4].
Pour tout réel x , ex > 0.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (-8x + 24).
Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f sur [0,2 ; 4].
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0,2 ; 3] strictement décroissante sur l'intervalle [3 ; 4]
2. En nous aidant du tableau de variations de la fonction f , nous déduisons que la valeur exacte du maximum de f est
Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,05 = 1,05.
La meilleure performance actuelle du sportif est
Si le nombre naturel n représente le nombre de mois d'entraînement, nous devons déterminer la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation
Nous devons donc déterminer la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation
Ci-dessous un tableau reprenant les premières valeurs de n , de ainsi qu'un test vérifiant si .
D'où la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation est n = 5.
Par conséquent, 5 mois d'entraînement seront nécessaires pour que le sportif dépasse les 200 W.
5 points
exercice 3
1. Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
2. Nous devons calculer
D'où la probabilité qu'un client pris au hasard achète un canapé et une table de salon est égale à 0,06.
3. Nous devons déterminer P(T).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
4. a. Les diverses valeurs prises par la variable aléatoire X sont : 0, 300, 1000 et 1300.
X = 0 lorsque le client n'achète rien.
X = 300 lorsque le client n'achète pas de canapé mais achète une table de salon.
X = 1000 lorsque le client achète un canapé mais n'achète pas de table de salon.
X = 1300 lorsque le client achète un canapé et une table de salon.
Nous obtenons ainsi le tableau donnant la loi de probabilité de X .
4. b. Calcul de l'espérance E (X ).
Par conséquent, dans ce magasin, un client achète en moyenne pour 280,8 euros.
5 points
exercice 4
1. Soient la droite D d'équation x + 3y - 5 = 0 et le point A de coordonnées (2 ; 1).
Montrons que les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite D.
Dans l'équation de D, remplaçons x par 2 et y par 1.
2 + 3 1 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0.
Puisque les coordonnées du point A vérifient l'équation de la droite D, nous avons montré que ce point A appartient à la droite D.
Représentation de la droite D.
La droite D passe par le point A de coordonnées (2 ; 1).
Déterminons les coordonnées du point C, point d'intersection de la droite D avec l'axe des abscisses en remplaçant y par 0 dans l'équation de D et en déterminant x .
Les coordonnées du point C sont donc (5 ; 0).
Traçons la droite D passant par les points A et C.
2. Nous savons que si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, alors le vecteur de coordonnées (a ; b ) est un vecteur normal à cette droite.
Une équation cartésienne de la droite D est : x + 3y - 5 = 0.
Donc le vecteur de coordonnées (1 ; 3) est un vecteur normal à cette droite et par suite, est un vecteur directeur de la droite D' perpendiculaire à D.
Or si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, alors cette droite est dirigée par le vecteur de coordonnées (-b ; a ).
Dès lors, une équation cartésienne de la droite D' est de la forme 3x - y + c = 0.
De plus, le point B (4 ; 2) appartient à cette droite D'.
Ses coordonnées vérifient donc l'équation de d .
D'où 3 4 - 2 + c = 0 12 - 2 + c = 0 c = -10.
Par conséquent, une équation cartésienne de la droite D' est 3x - y - 10 = 0.
3. Le point H, projeté orthogonal du point B sur la droite D est le point d'intersection des droites D et D'.
Les coordonnées de ce point H se déterminent en résolvant le système composé par les équations des droites D et D'.
Par conséquent, les coordonnées du point H sont (3,5 ; 0,5).
4. a. Une équation cartésienne du cercle de centre (a ; b ) et de rayon r est de la forme
Le centre du cercle de diamètre [AB] est le point , milieu du segment [AB].
Ses coordonnées sont données par :
Par conséquent, les coordonnées du centre sont (3 ; 1,5).
Le rayon du cercle est .
Dès lors, le rayon du cercle est
D'où une équation du cercle est , soit ,
soit
4. b. Déterminons si les coordonnées du point H vérifient l'équation du cercle .
Dans l'équation de , remplaçons x par 3,5 et y par 0,5.
Puisque les coordonnées du point H vérifient l'équation du cercle , nous avons montré que ce point H appartient au cercle .
Publié par malou
le
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