Fiche de mathématiques
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E3C- Sujet Mathématiques Spécialité-Epreuve 2

Durée : 2 heures

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5 points

exercice 1 : QCM

{\red{\text{Question 1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c)\ :\ }\text{e}^{3x}.}}
Nous savons que pour tous réels a  et b ,  \left({\text{e}^a}\right)^b=\text{e}^{a\times b}.
\text{Dès lors, }\left({\text{e}^x}\right)^3=\text{e}^{x\times 3}\Longrightarrow\boxed{\left({\text{e}^x}\right)^3=\text{e}^{3x}}

{\red{\text{Question 2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ b)\ :\ }-\cos x.}}
Sur le graphique ci-dessous, nous observons que  \boxed{\cos(x+\pi)=-\cos x}
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{\red{\text{Question 3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d)\ :\ }\text{une suite arithmétique de raison 3,3.}}}
Les niveaux de la mer, en mm, année par année après 2003 suivent la relation U n +1 = Un  + 3,3.
Par conséquent, la suite (Un ) est une suite arithmétique de raison 3,3.

{\red{\text{Question 4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ a)\ :\ }\Delta>0\text{ et la courbe représentative du polynôme}}}}
                                                                         {\blue{\text{du second degré coupe l'axe des abscisses en deux points distincts}.}}}

Nous savons que si le discriminant deltamaj est strictement positif, alors la courbe représentative du polynôme du second degré coupe l'axe des abscisses en deux points distincts.
Les propositions b) et c) sont donc incorrectes et la proposition a) est correcte.
La proposition d) est également incorrecte car si le discriminant deltamaj est strictement négatif, alors la courbe représentative du polynôme du second degré ne coupe pas l'axe des abscisses.
Par conséquent, la seule proposition correcte est la proposition a).

{\red{\text{Question 5. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c)\ :\ }\text{Le vecteur de coordonnées (2 ; -1) est normal à la droite }D.}}
La proposition a) est incorrecte car les coordonnées du point A  ne vérifient pas l'équation de la droite D .
En effet : 2xA  - yA  + 3 = 2 multiplie 2 - 1 + 3 = 6 different 0.
La proposition b) est incorrecte car si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax  + by  + c  = 0, alors cette droite est dirigée par le vecteur de coordonnées (-b  ; a ) ou un de ses multiples non nuls.
Une équation cartésienne de la droite D  est : 2x  - y  + 3 = 0.
Donc cette droite est dirigée par le vecteur de coordonnées (1 ; 2) ou un de ses multiples non nuls.
Puisque le vecteur de coordonnées (1 ; 2) n'est pas colinéaire au vecteur de coordonnées (-1 ; 2), la proposition b) est fausse.
La proposition c) est correcte car si une droite admet une équation cartésienne de la forme ax  + by  + c  = 0, alors le vecteur  \overrightarrow{n}  de coordonnées (a  ; b ) est un vecteur normal à cette droite.
Une équation cartésienne de la droite D  est : 2x  - y  + 3 = 0.
Donc le vecteur  \overrightarrow{n}  de coordonnées (2 ; -1) est un vecteur normal à cette droite.
La proposition d) est incorrecte car le point (0 ; 3) appartient à l'axe des ordonnées et non pas à l'axe des abscisses.

5 points

exercice 2

On modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe Cf  représentative de la fonction f  définie sur l'intervalle [-1 ; 2] par  f(x)=(-x+2)\,\text{e}^x.

1. a.  Déterminons l'expression de f' (x ) sur l'intervalle [-1 ; 2].

f'(x)=(-x+2)'\times\text{e}^x+(-x+2)\times(\text{e}^x)' \\\phantom{f'(x)}=(-1)\times\text{e}^x+(-x+2)\times\text{e}^x \\\phantom{f'(x)}=(-1-x+2)\times\text{e}^x \\\phantom{f'(x)}=(-x+1)\times\text{e}^x \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-x+1)\,\text{e}^x}

1. b.  Tableau de signes de la dérivée f' (x ) sur l'intervalle [-1 ; 2].

\text{Pour tout }x\in[-1\,;2],\ \ \ {\blue{\text{e}^{x}>0}}.

Donc le signe de f' (x ) sera le signe de (-x  + 1).

\phantom{WWWWWWW}{\red{-x+1=0}}\Longleftrightarrow {\red{x=1}} \\\\\left\begin{matrix}{\red{-x+1>0}}\Longleftrightarrow -x>-1\\\phantom{wwwwww}\Longleftrightarrow {\red{x<1}}\end{matrix}\right. \ \ \left\begin{matrix}|\\|\\|\end{matrix}\right. \ \ \left\begin{matrix}{\red{-x+1<0}}\Longleftrightarrow -x<-1\\\phantom{wwwwww}\Longleftrightarrow {\red{x>1}}\end{matrix}\right.

          \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-1&&1&&2\\&&&&&\\\hline \text{Signe de }(-x+1)&&+&0&-&\\\hline&&&&&&\text{Signe de }f'(x)&&+&0&-&&&&&&&\\\hline \end{array}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle [-1 ; 2].

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\f(-1)=(1+2)\,\text{e}^{-1}=3\,\text{e}^{-1}\\\\f(1)=(-1+2)\,\text{e}^{1}=\text{e}\\\\f(2)=(-2+2)\,\text{e}^{-2}=0 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-1&&1&&2\\&&&&&\\\hline&&&&&&\text{Signe de }f'(x)&&+&0&-&&&&&&&\\\hline&&&\text{e}&&\\\text{Variations de }f&&\nearrow&&\searrow&\\&3\,\text{e}^{-1}&&&&0\\\hline \end{array}

2.  La largeur  \ell  de la plaque est la valeur du maximum de la fonction f  et sa valeur exacte est e unités.
Or nous observons sur le graphique que la longueur L  de la plaque rectangulaire est de 90 cm et représente 3 unités.
D'où, 1 unité représente 30 cm.
Par conséquent, la largeur exacte de la plaque est  \boxed{\ell=30\text{e}\ \text{cm}}

5 points

exercice 3

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
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2.  Nous devons calculer  P(R\cap T).

P(R\cap T)=P(R)\times P_R(T) \\\phantom{P(R\cap T)}=0,6\times0,7 \\\phantom{P(R\cap T)}=0,42 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(R\cap T)=0,42}
D'où la probabilité qu'un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat "Tous risques" est égale à 0,42.

3. Nous devons déterminer P(T).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(T)= P(R\cap T)+P(\overline{R}\cap T) \\\phantom{P(T)}=0,42+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(T)\ \\\phantom{P(T)}=0,42+0,4\times0,5 \\\phantom{P(T)}=0,42+0,2 \\\phantom{P(T)}=0,62\\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,62}

4.  Puisque les montants des deux types de contrat sont 400 euros et 500 euros, les deux seules valeurs que peut prendre la variable aléatoire X  sont 400 et 500.

\text{Dès lors, }\ P(X = 500) = P(T) = 0,62 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ }P(X = 400) = 1 - P(T)  \\\phantom{\phantom{\text{Dès lors, }\ }P(X = 400) }= 1 - 0,62   \\\phantom{\phantom{\text{Dès lors, }\ }P(X = 400) }= 0,38 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=500)=0,62\ \ \ \text{et}\ \ \ P(X=400)=0,38} \\\\E(X)=400\times P(X=400)+500\times P(X=500) \\\phantom{E(X)}=400\times0,38+500\times0,62 \\\phantom{E(X)}=462 \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=462}

5 points

exercice 4

1.  Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 20 % est égal à 1 - 0,2 = 0,8.
Par conséquent,  I_1=0,8\times I_0=0,8\times 400=320\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{I_1=320}

2. a.  Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 20 % est égal à 1 - 0,2 = 0,8.
D'où, pour tout entier naturel n ,  \overset{.}{\boxed{I_{n+1}=0,8\times I_n}}

2. b.  La suite (In ) est une suite géométrique de raison q  = 0,8 et de premier terme I 0 = 400.

2.  c.  Le terme général de la suite (In ) est  I_n=I_0\times q^{n} .
Donc, pour tout entier naturel n ,   \overset{.}{\boxed{I_n=400\times0,8^{n}}}

3. a.  Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 70 % est égal à 1 - 0,7 = 0,3.
Par conséquent,  J=0,3\times I_0=0,3\times 400=120\ \ \Longrightarrow\ \ \overset{.}{\boxed{J=120}}

3. b.  Nous devons déterminer le nombre minimal n  de plaques à superposer afin que l'intensité lumineuse In  du rayon soit inférieure ou égale à 120 cd.
En utilisant le tableau, nous observons que I 5 = 131,07 > 120 et que I 6 = 104,85 < 120.
D'où le plus petit entier naturel n  tel que In  infegal 120 est 6.
Par conséquent, il faudra superposer 6 plaques pour obtenir une intensité lumineuse inférieure ou égale à 120 cd.
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