Fiche de mathématiques
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E3C-Sujet 0- Voie Technologique- Epreuve 1

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Partie I


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Partie II


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Partie I

5 points

exercice sur les automatismes (Sans calculatrice)

Tableau "énoncé-réponse" des questions de 1 à 10.
Les détails de calcul sont donnés à la suite du tableau.

         \begin{array}{|c|c|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 1)&\text{ Fraction irréductible égale à }\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}&{\red{\dfrac{23}{20}}}\\&&\\\hline&&\\ 2)&\text{ Fraction irréductible égale à }2-\dfrac{1}{7}&{\red{\dfrac{13}{7}}}\\&&\\\hline&&\\ 3)&\text{ Fraction irréductible égale à }\dfrac{12}{5}\times\dfrac{20}{9}&{\red{\dfrac{16}{3}}}\\&&\\\hline&&\\ 4)&\text{ Compléter }&\dfrac{2}{5}\times{\red{\dfrac{15}{2}}}=3\\&&\\\hline 5)&\text{ Compléter}&8x\times{\red{7x^2}}=56x^3\\\hline 6)&\text{Calculer }30\%\text{ de }70&{\red{21}}\\\hline&&\\ 7)&\text{ Si }T=\dfrac{2\pi}{\omega}\text{, alors }\omega=&{\red{\dfrac{2\pi}{T}}}\\&&\\\hline8)&\text{ Développer }-3x(1-2x)&{\red{-3x+6x^2}}\\\hline9)&\text{ Factoriser }(x+2)(x-3)-2(x+2)&{\red{(x+2)(x-5)}}\\\hline10)&f(x)=x^2-4x.\text{ Calculer }f(-2).&{\red{12}}\\\hline \end{array}

Détails des 10 premières réponses :

1)\ \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2\times4}{5\times4}+\dfrac{3\times5}{4\times5} =\dfrac{8}{20}+\dfrac{15}{20}=\boxed{{\red{\dfrac{23}{20}}}} \\\\2)\ 2-\dfrac{1}{7}=\dfrac{14}{7}-\dfrac{1}{7}=\boxed{\red{\dfrac{13}{7}}}} \\\\3)\ \dfrac{12}{5}\times\dfrac{20}{9} =\dfrac{3\times4}{5}\times\dfrac{4\times5}{3\times3}=\dfrac{3\times4\times4\times5}{5\times3\times3}=\dfrac{\cancel{\blue{3}} \times4\times4\times\cancel{\green{5}}}{\cancel{{\green{5}}}\times\cancel{\blue{3}}\times3}=\boxed{\red{\dfrac{16}{3}}}}

4)\


Tableau "énoncé-réponse" des questions 11 et 12.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 11)&\text{ Une réduction de 20}\%\text{ d'un article représente une} &\\&\text{diminution du prix de 7 euros.}&\\&\text{Quel était le prix de cet article avant réduction ?}&{\red{35\text{ euros}}}\\&&\\\hline&&\\ 12)&\text{ Compléter }&2,7\times10^{10}\\&&\text{ est égal à }{\red{27}}\text{ milliards.}\\&&\\\hline \end{array}

Détails des réponses 11 et 12 :

11) Soit x  le prix de l'article avant réduction.
L'énoncé se traduit alors par l'équation  \dfrac{\overset{.}{20}}{100}\times x = 7

Dès lors  \dfrac{20}{100}\times x = 7\Longleftrightarrow x = 7\times\dfrac{100}{20}\Longleftrightarrow x = 7\times5\Longleftrightarrow \boxed{x = 35}
Par conséquent, le prix de l'article avant réduction était 35 euros.

12) Nous savons que 1 milliard = 109.
Dès lors  2,7\times10^{10}=2,7\times10^1\times10^{9}=2,7\times10\times10^{9}=27\times10^{9}=\boxed{27\ \text{milliards}}

Tableau "énoncé-réponse" des questions 13 à 16.

\begin{array}{|c|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ \\\hline\underline{\ 13)\ }&\mathscr{C}_f\text{ est la courbe}\\\underline{\ 14)\ }&\text{représentative d'une fonction}\\\underline{\ 15)\ }&f\text{ définie sur }\R\\16)&\text{Compléter par lecture graphique}\\\hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|}\hline \ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\text{L'image de 0 par }f\text{ est }{\red{4}}.\\\hline\text{Un antécédent de 0 par }f\text{ est }{\red{-2}}.\\\hline\text{L'ensemble des solutions de }f(x)=3\text{ est }{\red{\begin{Bmatrix}-1;1  \end{Bmatrix}}}.\\\hline\text{L'ensemble des solutions de }f(x)>0\text{ est }{\red{]-2\,;\,2[}}.\\\hline \end{array}

                                                                    
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Détails des réponses 13 à 16 :

13) Le point de coordonnées (0 ; 4) appartient à la courbe Cf , ce qui peut être traduit par : f (0) = 4.
D'où l'image de 0 par f est 4.

14) Un antécédent de 0 par f est l'abscisse d'un point d'intersection entre la courbe Cf  et l'axe des abscisses.
Nous observons sur le graphique que la courbe Cf  coupe l'axe des abscisses en deux points dont les abscisses sont -2 et 2.
Par conséquent, un antécédent de 0 par f  est -2.
Un second antécédent de 0 par f  est 2.

15) Les solutions de l'équation f (x ) = 3 sont les abscisses des points d'intersection de Cf  avec la droite (horizontale) d'équation y  = 3.
Nous nous plaçons au point d'ordonnée 3 sur l'axe des ordonnées.
Nous traçons la droite "horizontale" passant par ce point.
Les abscisses des points d'intersection de cette droite et de la courbe Cf  sont les solutions de l'équation f (x ) = 3.
Ces abscisses sont -1 et 1.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation f (x ) = 3 est {-1 ; 1}.

16) Les solutions de l'inéquation f (x ) > 0 sont les abscisses des points de Cf  situés au-dessus de l'axe des abscisses.
D'où l'ensemble des solutions de l'inéquation f (x ) > 0 est l'intervalle ]-2 ; 2[.

Tableau "énoncé-réponse" des questions 17 à 20.

\begin{array}{|c|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ \\\hline17)&\text{La droite }\mathscr{D}\text{ est la représentation}\\\underline{\ \ \ \ \ \ }&\text{graphique d'une fonction affine }f\text{ définie }\\&\text{sur }\R.\\\\&\text{Compléter par lecture graphique.}\\18)&\\\\\hline19)&\text{L'équation réduite de la droite }\Delta\text{ est }y=2,5x-13.\\&\text{Compléter.}\\\hline\\20)&\text{Compléter.}\\\hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|}\hline \ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\text{L'équation réduite de }\mathscr{D}\text{ est }\\ {\red{y=-\frac{2}{3}x+2}}\\\hline\text{Le tableau de signes de }f\text{ est :}\\\\ {\red{\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&3&&+\infty \\\hline f(x)&&+&0&-&\\\hline \end{array}}}\\\\\hline\\ A(6\,;{\red{2}})\in\Delta\\\hline{\red{-\sqrt{3}}}\\\text{Voir graphique ci-dessous}\\\hline \end{array}

                                                                    
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Détails des réponses 17 à 20 :

17) L'équation réduite de la droite  \mathscr{D}  est de la forme : y  = ax  + b .
La droite comprend le point de coordonnées (0 ; 2).
D'où l'ordonnée à l'origine vaut 2, soit b  = 2.
Dès lors, l'équation réduite de la droite  \mathscr{D}  est de la forme : y  = ax  + 2.
La droite comprend le point de coordonnées (3 ; 0).
Les coordonnées de ce point vérifient donc l'équation de la droite.
Dans l'équation de  \mathscr{D} , remplaçons x  par 3 et y  par 0.

0 = 3a+2\Longleftrightarrow3a=-2 \Longleftrightarrow\boxed{a=-\dfrac{2}{3}}
Par conséquent, l'équation réduite de la droite  \mathscr{D}  est :  \boxed{y=-\dfrac{2}{3}x + 2}

18) La droite comprend le point de coordonnées (3 ; 0).
Dès lors, f (3) = 0.
Nous pouvons déduire le tableau de signes de f  en observant le graphique.

                        \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-\infty&&3&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&& \text{Signe de }f(x)&&+&0&-&&&&&&&\\\hline \end{array}

19) Le point A(6 ; ...) appartient à la droite deltamaj.
Nous pouvons déterminer l'ordonnée de ce point en remplaçant x  par 6 dans l'équation de deltamaj.
y=2,5\times6-13\Longleftrightarrow \boxed{y = 2}
Par conséquent, nous obtenons : A (6 ; 2).

20) L'équation de la courbe est : y  = x 2.
La question posée revient à déterminer l'abscisse négative x  du point de la courbe dont l'ordonnée y  est 3.
Résolvons l'équation x 2 = 3.

x^2=3\Longleftrightarrow x=-\sqrt{3}\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=\sqrt{3}.
Or la valeur de x  doit être négative.
D'où :  \boxed{x=-\sqrt{3}.}
Le graphique à compléter dans l'exercice 20)
est donc le suivant :
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Partie II - Calculatrice autorisée (type collège)

5 points

exercice 1

Partie A : Etude d'une fonction


Soit f  la fonction définie sur R par  f(x)=0,005x(x+56)

1.  f(x)=0,005x(x+56)\Longleftrightarrow f(x)=0,005x^2+56\times0,005x\Longleftrightarrow \boxed{f(x)=0,005x^2+0,28x}
La fonction f  est une fonction du second degré.
Par conséquent, la courbe représentative de f  est une parabole.

2.  Allure de la courbe  \mathscr{C}_f.

  Les abscisses des points d'intersection de  \mathscr{C}_f  avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation f (x ) = 0.

f(x)=0\Longleftrightarrow0,005x(x+56)=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow0,005x = 0\ \ \ \text{ou}\ \ \ x+56=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow\boxed{x = 0\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=-56}
Dès lors, la courbe  \mathscr{C}_f  coupe l'axe des abscisses aux points A(-56 ; 0) et B(0 ; 0).

  L'axe de symétrie de la parabole  \mathscr{C}_f  passe par le milieu I du segment [AB] et est parallèle à l'axe des ordonnées.
Les coordonnées du point milieu I sont (-28 ; 0).
Par conséquent, l'équation de l'axe de symétrie est : x  = -28.

Allure de la courbe  \mathscr{C}_f.
              
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Partie B : Sur route humide


Le graphique ci-dessous représente la distance d'arrêt en mètres d'un véhicule sur route humide en fonction de la vitesse en km/h.

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1.  A l'aide du graphique ci-dessus, nous observons que la distance d'arrêt d'un véhicule roulant à une vitesse de 80 km/h est environ de 85 mètres et la distance d'arrêt d'un véhicule roulant à une vitesse de 90 km/h est environ de 105 mètres.

2.  A l'aide de ce graphique, nous observons que la vitesse correspondant à une distance d'arrêt de 60 mètres est environ de 65 km/h.

Partie C : Sur route sèche

Sur route sèche, la distance d'arrêt en mètres d'un véhicule roulant à x  km/h est modélisée par la fonction f  définie sur [0 ; 130] par  f(x)=0,005x(x+56).

1.   f(80)=0,005\times80\times(80+56)=0,4\times136 \Longrightarrow\boxed{f(80)=54,4}
Par conséquent, la distance d'arrêt d'un véhicule roulant à une vitesse de 80 km/h sur route sèche est de 54,4 mètres.

2.  Tableau de valeurs de la fonction f  (les valeurs sont arrondies à l'unité).

              \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&30&50&70&80&90&110&130 \\\hline f(x)&0&13&27&44&54&66&91&121\\\hline \end{array}

3.  Courbe représentative Cf  de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 130] (courbe de couleur bleue).

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Partie D

1.  Sur le graphique de couleur rouge ci-dessus, nous remarquons que la différence des ordonnées des points d'abscisses 80 et 90 est égale à 105 - 85 = 20.
Cela signifie que baisser la vitesse sur les routes de 90 km/h à 80 km/h permet de gagner 20 mètres au moment du freinage.
Par conséquent, l'affirmation est vérifiée sur route humide.

2.  Sur le graphique de couleur bleue ci-dessus, nous remarquons que la différence des ordonnées des points d'abscisses 80 et 90 est égale à 66 - 54 = 12.
Cela signifie que baisser la vitesse sur les routes de 90 km/h à 80 km/h permet de gagner 12 mètres au moment du freinage.
Par conséquent, l'affirmation n'est pas vérifiée sur route sèche.

5 points

exercice 2

Partie A

1.  Sur les 2000 clients sondés, 1040 ont souscrit un forfait M et 1350 ont acheté un téléphone de modèle B.
30% des sondés ayant acheté un téléphone de modèle B ont souscrit un forfait M (implique 0,3 multiplie 1350 = 405).
Ces données sont reprises dans le tableau partiel ci-dessous.

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&\text{Nombre de sondés ayant}&\text{Nombre de sondés ayant}& \\&\text{souscrit le forfait M}&\text{souscrit le forfait S}&\text{Total} \\\hline \text{Nombre de sondés ayant}&&&\\\text{acheté le téléphone de}&&&\\\text{modèle A}&&&\\\hline \text{Nombre de sondés ayant}&&&\\\text{acheté le téléphone de}&405&&1350\\\text{modèle B}&&&\\\hline \text{Total}&1040&&2000\\\hline \end{array}

Nous compléterons le tableau par les calculs suivants :
2000 - 1040 = 960.
2000 - 1350 = 650.
1040 - 405 = 635.
650 - 635 = 15.
1350 - 405 = 945.

D'où le tableau complété :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&\text{Nombre de sondés ayant}&\text{Nombre de sondés ayant}& \\&\text{souscrit le forfait M}&\text{souscrit le forfait S}&\text{Total} \\\hline \text{Nombre de sondés ayant}&&&\\\text{acheté le téléphone de}&635&15&650\\\text{modèle A}&&&\\\hline \text{Nombre de sondés ayant}&&&\\\text{acheté le téléphone de}&405&945&1350\\\text{modèle B}&&&\\\hline \text{Total}&1040&960&2000\\\hline \end{array}

2.  960 clients sondés parmi les 2000 ont souscrit le forfait S.
La fréquence des sondés ayant souscrit un forfait S est égale à  \dfrac{960}{2000}=0,48.

3. (a)  635 clients sondés parmi les 2000 ont acheté un téléphone de modèle A et ont souscrit un forfait M.
La fréquence des sondés qui ont acheté un téléphone de modèle A et ont souscrit un forfait M est égale à  \dfrac{\overset{.}{635}}{2000}=0,3175.

3. (b)  La formule la plus économique est l'achat d'un téléphone de modèle A avec un forfait M.
Nous avons vu dans la question 3.(a) que la fréquence des sondés qui ont acheté un téléphone de modèle A et ont souscrit un forfait M est égale à 0,3175.
Or  0,3175<\dfrac{\overset{.}{1}}{3}.
Par conséquent, l'affirmation du directeur est vraie.

4.  Parmi les 960 clients sondés ayant répondu avoir souscrit un forfait S, 945 d'entre eux ont acheté un téléphone de modèle B.
D'où la probabilité qu'un client parmi les sondés qui ont répondu avoir souscrit un forfait M ait acheté un téléphone de modèle B est égale à  \dfrac{945}{960}\approx0,984.
Cette probabilité est donc très élevée.

Partie B

1. Proportion en pourcentage des clients interrogés n'ayant pas répondu à la première question : 100 - (67 + 15) = 18.
Donc 18 % des clients interrogés n'ont pas répondu à la première question.

2.  24 % des 15% des clients interrogés ne sont pas satisfaits des conditions d'achat en raison d'un mauvais accueil.
0,15 multiplie 0,24 = 0,036.
Par conséquent, 3,6 % des clients interrogés ne sont pas satisfaits des conditions d'achat en raison d'un mauvais accueil.

5 points

exercice 3

1.  Une augmentation de 8 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,08 = 1,08.

u(4)=1,08\times u(3) \\\phantom{u(4)}=1,08\times 189 \\\phantom{u(4)}=204 \\\\\Longrightarrow\boxed{u(4)=204}

2.  La formule à saisir dans la cellule C2 est \boxed{{\red{=1.08*B2}}}

3.  Chaque terme de la suite u (n ) à partir du deuxième s'obtient en multipliant le précédent par 1,08.
Nous obtenons ainsi la relation  \boxed{u(n+1)=1,08\times u(n)\ \ \ \ \ \ (n\in\N)}
Par conséquent, la suite u (n ) est une suite géométrique de raison q  = 1,08 et dont le premier terme est u (0) = 150.

4.  Script complété :

def nombre_interesses (n) :
         u = 150
         for i  in range (n) :
                  u = 1.08 * u
         return u

5. (a)  Les points situés sur le graphique représentant le nombre v (n ) de personnes intéressées par ses photos n  semaines après sa création semblent être alignés (pour les 4 premières semaines).
Nous pouvons supposer qu'il en sera de même quel que soit le nombre naturel n .
Nous pouvons dès lors conjecturer que la suite v  est une suite arithmétique.

5. (b)  Nous admettons que la suite v  est arithmétique.
Notons r  la raison de cette suite.
Nous savons par le tableau que v (0) = 190 et v (1) = 198.

v(1)=v(0)+r\Longrightarrow r=v(1)-v(0) \\\phantom{v(1)=v(0)+r\Longrightarrow r}=198-190 \\\phantom{v(1)=v(0)+r\Longrightarrow r}=8 \\\\\Longrightarrow\boxed{r=8} \\\\\text{Par conséquent, }\boxed{{\red{v(n+1)=v(n)+8}}} \\\\\text{D'où } \ v(2)=v(1)+8=198+8\Longrightarrow\boxed{v(2)=206} \\\phantom{\text{D'où } \ }v(3)=v(2)+8=206+8\Longrightarrow\boxed{v(3)=214} \\\phantom{\text{D'où } \ }v(4)=v(3)+8=214+8\Longrightarrow\boxed{v(4)=222}

Nous obtenons le tableau ainsi complété :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Rang }n\text{ de la semaine}&0&1&2&3&4 \\\hline \text{Nombre }v(n)\text{ de personnes intéressées}&190&198&206&214&222\\\hline \end{array}

6.  Etablissons un tableau donnant les premiers termes du nombre de personnes intéressées par les photos de Lise et d'Ali.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Rang }n\text{ de la semaine}&0&1&2&3&4&5&6&7 \\\hline \text{Nombre }u(n)\text{ de personnes intéressées}&150&162&175&189&204&220&238&257\\\text{par les photos de Lise}&&&&&&&&\\\hline \text{Nombre }v(n)\text{ de personnes intéressées}&190&198&206&214&222&230&238&246\\\text{par les photos d'Ali}&&&&&&&&\\\hline {\red{u(n)>v(n)}}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&{\red{\text{Vrai}}}\\\hline \end{array}

Nous remarquons que u (7) est supérieur à v (7).
Par conséquent, à partir de la 7ème semaine, il y a davantage de personnes intéressées par les photos de Lise que par celles d'Ali.
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