Fiche de mathématiques
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Les transformations

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I. Généralités

Translations-Homothéties-Rotations : image 1


A. Vocabulaire et notations

On dit que la fonction f transforme M en M'.
Le point M' est l'unique image du point M par f et on note M' = f(M).
Le point M est l'unique antécédent du point M' par f.

Attention : à tout point du plan correspond une unique image et un unique antécédent.

B. Les étapes d'une démonstration (à suivre à la lettre)

Hypothèses (ce sont les données de l'énoncé)
1- Définir la transformation utilisée.
2- Justifier les images des points.
3- Utiliser les propriétés de la transformation.
Conclure

II. Translations

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A. Définition

La translation de vecteur \vec{u}, notée \text{T}_\vec{u}, est une transformation qui, à tout point M associe son unique image M' telle que :
\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}


Cas particulier : la translation de vecteur nul
Lorsque \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} on dit que M est invariant (c'est à dire confondu avec son image).
C'est l'identité (ou l'application identique) : M = M'.

B. Propriétés

1. Propriété caractéristique (ou propriété fondamentale)

Si \text{T}_\vec{u} transforme M et N respectivement en M' et N', alors :
\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{NN'}

Démonstration :
En effet, \text{T}_\vec{u} transforme ces points tels que : \overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u} et \overrightarrow{NN'} = \overrightarrow{u}.
Ainsi, de par l'égalité de ces vecteurs, MM'N'N est un parallélogramme d'où \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{M'N'}.

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2. Conséquences de la propriété caractéristique :

Si M' et N' sont les images respectives de M et N par une translation alors :
\left \| \overrightarrow{MN} \right \| = \left \| \overrightarrow{M'N'} \right \| (ou encore MN = M'N')
Ainsi la translation conserve les longueurs (ou les distances).

Démonstration :
D'après la propriété précédente : \text{T}_{\vec{u}}\left(\overrightarrow{MN}\right) = \overrightarrow{M'N'}.
D'où \left \| \overrightarrow{MN} \right \| = \left \| \overrightarrow{M'N'} \right \| et les distances sont conservées.
On dit aussi que tout point de la droite (MN) est transformé sur la droite (M'N') (ou éventuellement, [MN] est transformé en [M'N']).

On admettra que la translation conserve également les angles, les aires, les volumes et les formes (c'est à dire qu'une droite est transformée en une droite parallèle, un cercle est transformé en un cercle, un milieu (cas particulier du barycentre) en un milieu, etc.).

Démonstration pour le barycentre :
Soient \text{T}_\vec{u} la translation de vecteur \vec{u}, M et N des points du plan et M' et N' leurs images respectives par \text{T}_\vec{u}.
On définit par G le barycentre de (M ; \alpha) et (N ; \beta) avec \alpha + \beta \neq 0 et G' son image par \text{T}_\vec{u}.
On a d'une part : \alpha\overrightarrow{GM} + \beta \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}.
Et d'autre part : \overrightarrow{G'M'} = \overrightarrow{GM} et \overrightarrow{G'N'} = \overrightarrow{GN}.
D'où \alpha \overrightarrow{G'M'} + \beta \overrightarrow{G'N'} = \overrightarrow{0}.
Ainsi G' est le barycentre de (M' ; \alpha) et (N' ; \beta).
On montre donc que le barycentre G de M et N est bien transformé en le barycentre G' de M' et N' et en particulier lorsque \alpha=\betaG est l'isobarycentre de M et N (ou le milieu de [MN]).

III. Homothéties

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A. Définition

Soient \Omega un point fixe du plan et k un réel non nul.
L'homothétie de centre \Omega et de rapport k, notée H_{\Omega ; k}, est une transformation qui, à tout point M associe son unique image M' telle que :
\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M}


Cas particulier :
Lorsque k = 1, on dit que M est invariant. L'homothétie est alors l'application identique dans ce cas.
M = M' \Rightarrow H_{\Omega ; 1}(M) = H_{\Omega ; 1}(M')

B. Propriétés

1. Propriété caractéristique

Si H_{\Omega ; k} transforme M et N respectivement en M' et N', alors :
\overrightarrow{M'N'} = k\overrightarrow{MN}

Démonstration :
Par définition, H_{\Omega ; k} transforme M et N respectivement en M' et N' tels que :
\overrightarrow{\Omega M'} = k\overrightarrow{\Omega M} et \overrightarrow{\Omega N'} = k\overrightarrow{\Omega N}.
En utilisant la relation de Chasles nous avons que : \overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{M'\Omega} + \overrightarrow{\Omega N'}.
Par suite, en utilisant la 1ère égalité nous obtenons que :
\overrightarrow{M'N'} = -k\overrightarrow{\Omega M} + k\overrightarrow{\Omega N} = k(\overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega N}) d'où \overrightarrow{M'N'} = k\overrightarrow{MN} comme voulu.

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2. Conséquences de la propriété caractéristique

Soit H_{\Omega ; k} l'homothétie de centre \Omega et de rapport k.
Si M' est l'image de M par H_{\Omega ; k} alors \Omega, M et M' sont alignés.

Démonstration :
Nous avons que H_{\Omega ; k}(M) = M', d'où, par définition, \overrightarrow{\Omega M} = k\overrightarrow{\Omega M'}.
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{\Omega M} et \overrightarrow{\Omega M'} sont colinéaires et les points \Omega, M et M' sont donc alignés.

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|, les aires par k^2 et les volumes par |k|^3.

Démonstration :
De par la propriété fondamentale, \overrightarrow{M'N'} = k\overrightarrow{MN}, d'où \left \| \overrightarrow{M'N'} \right \| = \left \| k\overrightarrow{MN} \right \| = |k|\left \| \overrightarrow{MN} \right \|, c'est à dire que M'N' = |k|MN, ce qui montre que les longueurs sont bien multipliées par |k|.
Un raisonnement analogue nous permet de déduire que les aires sont multipliées par k^2 et les volumes par |k|^3.

On notera également que l'homothétie conserve les angles, les barycentres et les formes (une droite est transformée en une droite parallèle, un cercle en un cercle etc.).

Démonstration pour le barycentre :
Soit H_{\Omega ; k} l'homothétie de centre \Omega et de rapport k, M et N des points du plan et M' et N' leurs images respectives par H_{\Omega ; k}.
On définit par G le barycentre de (M ; \alpha) et (N ; \beta) avec \alpha + \beta \neq 0 et G' son image par H_{\Omega ; k}.
On a d'une part : \alpha\overrightarrow{GM} + \beta\overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}.
Et d'autre part : \overrightarrow{G'M'} = k\overrightarrow{GM} et \overrightarrow{G'N'} = k\overrightarrow{GN}
D'où \alpha \overrightarrow{G'M'} + \beta \overrightarrow{G'N'} = \alpha k\overrightarrow{GM} + \beta k\overrightarrow{GN} = k(\alpha \overrightarrow{GM} + \beta \overrightarrow{GN}) = \overrightarrow{0}.
Ainsi G' est le barycentre de (M' ; \alpha) et (N' ; \beta).

IV. Rotations

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A. Définition

Soient \Omega un point fixe et \alpha un réel.
La rotation de centre \Omega et d'angle \alpha, notée \text{R}_{\Omega ; \alpha}, est la tranformation qui, à tout point M associe son unique image M' telle que :
\Omega M' = \Omega M et \left(\overrightarrow{\Omega M} , \overrightarrow{\Omega M'}\right) = \alpha \, [2\pi]


Cas particuliers :
La rotation de centre \Omega et d'angle 0 \, [2\pi] :
Lorsque \alpha = 0 \, [2\pi] on dit que M est invariant. La rotation est alors l'application identique dans ce cas.
La rotation de centre \Omega et d'angle \pi \, [2\pi] :
Lorsque \alpha = \pi \, [2\pi], la rotation est la symétrie centrale de centre \Omega.

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B. Propriétés

1. Propriété caractéristique (admise)

Si R_{\Omega ; \alpha} transforme M et N respectivement en M' et N', alors :
M'N' = MN et \left(\overrightarrow{MN} , \overrightarrow{M'N'}\right) = \alpha \, [2\pi]

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2. Conséquences de la propriété caractéristique

Conservation de l'alignement :
Soient R_{\Omega ; \alpha} la rotation de centre \Omega et d'angle \alpha et A, B et C trois points alignés.
Si A', B' et C' sont les images respectives de A, B et C par R_{\Omega ; \alpha} alors ils sont alignés.
On dit qu'une rotation conserve l'alignement.

Démonstration :
La propriété est trivialement vraie si deux ou trois des points A, B et C sont confondus.
On suppose maintenant que A, B et C sont distincts.
D'abord, on peut commencer par noter que puisque A, B et C sont alignés, on a \left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right) = 0 \, [2\pi] ou \left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right) = \pi \, [2\pi].
De plus, en utilisant la propriété caractéristique on peut établir d'une part que \left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{A'B'}\right) = \alpha \, [2\pi] et d'autre part que \left(\overrightarrow{AC} , \overrightarrow{A'C'}\right) = \alpha \, [2\pi].
Par suite, en utilisant la relation de Chasles, on obtient que \left(\overrightarrow{A'B'} , \overrightarrow{A'C'}\right) = \left(\overrightarrow{A'B'} , \overrightarrow{AB}\right) + \left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right) + \left(\overrightarrow{AC} , \overrightarrow{A'C'}\right), c'est à dire que \left(\overrightarrow{A'B'} , \overrightarrow{A'C'}\right) = -\alpha + \left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right) + \alpha = \left(\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\right) \, [2\pi].
Donc, en fait, \left(\overrightarrow{A'B'} , \overrightarrow{A'C'}\right) = 0 \, [2\pi] ou \left(\overrightarrow{A'B'} , \overrightarrow{A'C'}\right) = \pi \, [2\pi], ce qui démontrent bien, finalement, que A', B' et C' sont alignés.

On admettra que la rotation conserve les angles, les barycentres et les formes (une droite est transformée en une droite, un cercle en un cercle etc.).

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