Un exercice classique comportant des valeurs absolues
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Fiche relue en 2019-2020
exercice
Soit la fonction définie sur R par
a) Exprimer sans le symbole de la valeur absolue.
b) Résoudre dans R l'équation c) Tracer , la courbe représentative de dans un repère orthogonal,
et vérifier graphiquement les solutions de l'équation précédente.
Vous avez vu que la valeur absolue du réel x, notée |x| était la distance
entre x et 0. Vous en avez déduit la propriété suivante :
Pour tout réel,
Dans les exercices on utilise le plus souvent cette propriété sous cette forme :
où est une fonction de .
a) Exprimer sans le symbole de la valeur absolue
On doit auparavant étudier le signe de (x-3) et de (7-x).
équivaut à
équivaut à
On présente les résultats dans un tableau récapitulatif.
Conclusion :
est une fonction affine par morceaux.
b)
Résoudre dans R l?équation On résout l'équation séparément sur chaque intervalle.
est équivalent à
soit ce qui donne
ou encore
appartient à l'intervalle d'étude
soit
1 n'appartient pas à l'intervalle d'étude ; il n'est pas solution de l'équation
soit
ou encore
9 appartient à l'intervalle d'étude : donc
Conclusion : l'ensemble solution de l'équation est
Remarque :
On procèderait de la même façon pour résoudre une inéquation :
la résolution doit être faite séparément sur chaque intervalle d'étude.
c) Courbe
La courbe représentative de la fonction , affine par morceaux,
est constituée d'un segment (en rouge) et de 2 demi-droites (en bleu et vert).
Pour vérifier les solutions de l'équation :
on trace la droite d'équation , parallèle à l'axe des abscisses (en pointillés orange),
on repère tous les points d'intersection entre et cette droite : ici A et B.
Les solutions de l'équation sont les abscisses de ces points d'intersection : 7/3 et 9.
Publié par malou/carita
le
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 = |x - 3| + 2 |7 - x| )
)
sans le symbole de la valeur absolue.
 = 10)
, la courbe représentative de 
dans un repère orthogonal,
et vérifier graphiquement les solutions de l'équation précédente.
équivaut à 
![\text{}\quad \bullet \text{ sur } ]-\infty ;7] ~~ |7-x| = 7-x \;\quad \;\quad \quad \;\;\;\quad \text{} \;~~~\quad ~~~\text{ d'où } 2|7-x| = 2(7-x) = 14-2x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \text{}\quad \bullet \text{ sur } ]-\infty ;7] ~~ |7-x| = 7-x \;\quad \;\quad \quad \;\;\;\quad \text{} \;~~~\quad ~~~\text{ d'où } 2|7-x| = 2(7-x) = 14-2x)
 = -7+x = x-7\text{ d'où } 2|7-x| = 2(x-7) = 2x-14)
équivaut à 
![\text{}\quad \bullet \text{ sur }]-\infty ;3] ~~ |x-3| = -(x-3)=3-x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \text{}\quad \bullet \text{ sur }]-\infty ;3] ~~ |x-3| = -(x-3)=3-x )
 & & (7-x) & 0 & (x-7) & & \\\hline {} & & & & & & & & \\ \textcolor{red}{2|7-x|} & & (14-2x) & & (14-2x) & 0 & (2x-14) & & \\\hline {} & & & & & & & & \\ \textcolor{red}{|x-3|} & &(3-x) & 0 & (x-3) & & (x-3) & & \\\hline {} & & & & & & & & \\ \textcolor{red}{|x-3|+2|7-x|} & & (17-3x) & & (11-x) & & (3x-17) & & \\\hline \end{array})
 = \left\lbrace\begin{array}l 17-3x~~~ pour~~ x \leqslant 3 \\11 - x~~~ pour~~ 3 \leqslant x \leqslant 7 \\3x-17~~~ pour~~ 7 \leqslant x \end{array})
![\text{}\quad \bullet \text{ sur }]-\infty ;3]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \text{}\quad \bullet \text{ sur }]-\infty ;3] )
soit 
ce qui donne
ou encore
appartient à l'intervalle d'étude ![]-\infty ;3] \;\text{ : il est donc solution de l'équation }\quad \checkmark](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? ]-\infty ;3] \;\text{ : il est donc solution de l'équation }\quad \checkmark)
![\text{}\quad \bullet \text{ sur } [3 ; 7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \text{}\quad \bullet \text{ sur } [3 ; 7])
soit
soit
ou encore
=10 )
est 
=10 )
:
, parallèle à l'axe des abscisses (en pointillés orange),
et cette droite : ici A et B.
réel, 
}} \mid={\red{u(x)}} ~~~\text{ si }{\red{u(x)}} \ge 0 \\ \mid {\red{u(x)}} \mid=-{\red{u(x)}} \text{ si } {\red{u(x)}} \le 0\end{array})
)
est une fonction de