Fiche de mathématiques
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Un exercice classique comportant des valeurs absolues

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Consigne


Soit la fonction définie sur R par f(x) = |x - 3| + 2 |7 - x|

a) Exprimer f(x) sans le symbole de la valeur absolue.
b) Résoudre dans R l'équation f(x) = 10
c) Tracer C_f, la courbe représentative de f dans un repère orthogonal, et vérifier graphiquement les solutions de l'équation précédente.




Rappels

Pour tout x réel, \left\lbrace \begin{array} ~\mid x \mid=x ~~~\text{ si } x \ge 0 \\ \mid x \mid=-x \text{ si } x \le 0\end{array}

Dans les exercices on utilise le plus souvent cette définition sous cette forme :

\left\lbrace \begin{array} ~\mid {\red{u(x)}} \mid={\red{u(x)}} ~~~\text{ si }{\red{u(x)}} \ge 0 \\ \mid {\red{u(x)}} \mid=-{\red{u(x)}} \text{ si } {\red{u(x)}} \le 0\end{array}
u(x) est une fonction de x.


a) Exprimer f(x) = |x - 3| + 2 |7 - x| sans le symbole de la valeur absolue

On doit auparavant étudier le signe de (x-3) et de (7-x).

7-x  \ge 0 équivaut à 7 \ge x

 \text{}\quad \bullet \text{ sur } ]-\infty ;7]   ~~   |7-x| = 7-x  \;\quad \;\quad \quad \;\;\;\quad \text{} \;~~~\quad ~~~\text{ d'où } 2|7-x| = 2(7-x) = 14-2x

 \text{}\quad \bullet \text{ sur } [7 ;+\infty[  ~~   |7-x| = -(7-x) = -7+x = x-7\text{ d'où } 2|7-x| = 2(x-7) = 2x-14

x-3  \ge 0 équivaut à x \ge 3

 \text{}\quad \bullet \text{ sur }]-\infty ;3]   ~~   |x-3| = -(x-3)=3-x

 \text{}\quad \bullet \text{ sur } [3 ;+\infty[  ~~   |x-3| = x-3

On présente les résultats dans un tableau récapitulatif.

\begin{array} {|c|cccccccc|}  \hline x & -\infty & & \textcolor{blue}3 & & \textcolor{blue}7 & & +\infty &  \\\hline {} & & & & & & & & \\  {|7-x|} & & (7-x) & & (7-x) & 0 & (x-7) & &  \\\hline {} & & & & & & & & \\  \textcolor{red}{2|7-x|} & & (14-2x) & & (14-2x) & 0 & (2x-14) & &  \\\hline {} & & & & & & & &  \\ \textcolor{red}{|x-3|} & &(3-x) & 0 & (x-3) & & (x-3) & &  \\\hline {} & & & & & & & & \\  \textcolor{red}{|x-3|+2|7-x|} & & (17-3x) & & (11-x) & & (3x-17) & &  \\\hline \end{array}


Conclusion :

f(x) = \left\lbrace\begin{array}l 17-3x~~~ pour~~ x \leqslant 3  \\11 - x~~~ pour~~ 3 \leqslant x \leqslant  7 \\3x-17~~~ pour~~ 7 \leqslant x \end{array}

f est une fonction affine par morceaux.

b) Résoudre dans R l?équation f(x) = 10
On résout l'équation séparément sur chaque intervalle.

 \text{}\quad \bullet \text{ sur }]-\infty ;3]
f(x) = 10 est équivalent à 17-3x =10 soit -3x= 10-17 ce qui donne x = \frac{-7}{-3} ou encore x = \frac{7}{3}

\frac{7}{3} appartient à l'intervalle d'étude  ]-\infty ;3] \;\text{ : il est donc solution de l'équation }\quad \checkmark

 \text{}\quad \bullet \text{ sur } [3 ; 7]
11-x = 10 soit x = 1

1 n'appartient pas à l'intervalle d'étude ; il n'est pas solution de l'équation

 \text{}\quad \bullet \text{ sur } [7 ; +\infty[
3x-17 = 10 soit x = \frac{27}{3} ou encore x=9

9 appartient à l'intervalle d'étude : donc 9 \text{ est solution de l'équation } \quad \checkmark

Conclusion : l'ensemble solution de l'équation f(x)=10 est S = \lbrace 7/3 ;9\rbrace

Remarque : On procèderait de la même façon pour résoudre une inéquation : la résolution doit être faite séparément sur chaque intervalle d'étude.

c) Courbe
La courbe représentative de la fonction f, affine par morceaux, est constituée d'un segment (en rouge) et de 2 demi-droites (en bleu et vert).
Un exercice classique comportant des valeurs absolues : image 3

Pour vérifier les solutions de l'équation f(x)=10  :
on trace la droite d'équation y= 10, parallèle à l'axe des abscisses (en pointillés orange),
on repère tous les points d'intersection entre C_f et cette droite : ici A et B.
Les solutions de l'équation sont les abscisses de ces points d'intersection : 7/3 et 9.

Merci à Carita pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche
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