Fiche de mathématiques
> >

Nombres, Ensemble, Nombres premiers

Partager :

I. Nombre

1. Qu'est-ce ?

Un nombre est composé d'un signe : + ou - et d'une distance à zéro, appelé valeur absolue.

Exemple :
La valeur absolue de +3 est |+3| = 3.
La valeur absolue de -3 est |-3| = 3.

Remarque :
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue.


2. Écriture scientifique

Rappel sur les puissances :
Notation : pour tout réel a et tout entier naturel n \geq 2, on a : a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{\text{ n facteurs }}.
Par convention, nous avons : a^1 = a \hspace{25pt} a^0 = 1 \hspace{25pt} a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}
Propriété :
Pour tous réels a et b, et tous entiers relatifs n et m :
a^n \times a^m = a^{n + m} et par suite : \dfrac{a^n}{a^m} = a^n \times a^{-m} (pour tout a \neq 0).
(a^n)^m = a^{n \times m}
(a \times b)^n = a^n \times b^n et par suite : \left(\dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} (pour tout b \neq 0).


La notation scientifique d'un nombre est de la forme : a \times 10^n avec 1 \leq a < 10 et n un entier relatif.
Exemples :
23 591 = 2,359 1 × 104
0,0548 = 5,48 × 10-2


II. Ensemble

Définition :
Un entier naturel est un nombre entier et positif.
Tous les entiers naturels forment un ensemble noté \mathbb{N} = \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; ... \rbrace.


Exemple :
26 \in \mathbb{N} se lit "26 appartient à \mathbb{N}". Mais -3 \not \in \mathbb{N}.
Définition :
Un entier relatif est un nombre entier pouvant être positif ou négatif.
Tous les entiers relatifs forment l'ensemble noté \mathbb{Z} = \lbrace . . . ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; . . . \rbrace


Remarques :
Z comme Zahl en allemand qui signifie nombre.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs, on dit que "\mathbb{N} est inclus dans \mathbb{Z}", noté : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}. Mais 3,2 \not \in \mathbb{Z}
Définition :
Un nombre décimal est un quotient d'un nombre entier par une puissance de 10.


Exemple :
3,2 = \displaystyle \frac{32}{10^1} est un nombre décimal. Mais \displaystyle \frac{2}{3} n'est pas un nombre décimal.

L'ensemble des nombres décimaux se note \mathbb{D}.
On a : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D}.
Remarque :
Un nombre décimal est un nombre dont la partie décimal est finie, c'est-à-dire qui n'a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule.
Définition :
Un nombre rationnel est un quotient de deux nombres entiers : \displaystyle \frac{p}{q} tel que p \in \mathbb{Z} \text{ et } q \in \mathbb{N}


Exemple :
\displaystyle \frac{2}{3} est un nombre rationnel.

L'ensemble des nombres rationnel se note \mathbb{Q}.
On a : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}.

Attention : \sqrt{2} \not \in \mathbb{Q} \, ; \, \pi \not \in \mathbb{Q}. Ils sont irrationnels.
L'ensemble des nombres rationnels et irrationnels forment l'ensemble des nombres réels \mathbb{R}.
On a : \boxed{\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}}
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 1



III. Arithmétique : Nombres premiers

Définition :
On dit que \left \lbrace \begin{array}{l} \text{b divise a} \\ \text{b est un diviseur de a} \\ \text{a est divisible par b} \\ \end{array} \right., si le quotient exact de a par b est un nombre entier.



Exemples :
2 divise 48. 3 ne divise pas 10.

Critère de divisibilité :
Un nombre entier est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est pair : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Remarque :
Un nombre entier est toujours divisible par 1 et lui-même.
Définition :
Un nombre est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.



Exemples :
2 ; 3 ; 5 sont premiers. 24 n'est pas premier, car 24 = 2 × 12.

Attention : 1 n'est pas un nombre premier.

Décomposition d'un nombre entier en facteurs premiers :
Théorème :
Tout entier naturel strictement supérieur à 1 se décompose en produit de facteurs de nombres premiers.



Exemple :
24 = 2 × 2 × 2 × 3
Applications : \displaystyle \frac{24}{180} = \frac{2^3 \times 3}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \frac{2}{15} ou \displaystyle \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{180}} = \sqrt{\frac{24}{180}} = \sqrt{\frac{2}{15}}.


IV. Comparer deux nombres

Comparer deux nombres équivaut à étudier le signe de la différence :
a < b \, \Longleftrightarrow \, a - b < 0\\ a > b \, \Longleftrightarrow \, a - b > 0 \\ a = b \, \Longleftrightarrow \, a - b = 0
La valeur absolue de la différence entre deux nombres est appelée la distance entre ces deux nombres.
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 2

Rappel : a est l'abscisse du point A.
AB = |a - b| = |b - a|
Exemple :
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 3

AB = |3,5 - 2| = |2 - 3,5| = 1,5
Nous pouvons résoudre |x - 2| = 5 \Longrightarrow \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x - 2 & 5 \\ x - 2 & -5\\ \end{array} \right. \, \Longrightarrow \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x & 7 \\ x & -3\\ \end{array} \right.
Ainsi \mathcsr{S} = \lbrace -3 ; 7 \rbrace.

En plaçant un point C entre A et B, son abscisse c sera compris entre a et b : a \leq c \leq b.
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 4

Sous forme d'ensemble, cela s'écrit : c \in [a \, ; \, b].
Définition :
On appelle intervalle un ensemble de nombres déterminés par une inégalité ou un encadrement.



Ensemble des réels x tels que Représentation graphique Notation
a \textcolor{red}{\leq} x \textcolor{green}{\leq} b
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 5
x \in \textcolor{red}{[} a ; b \textcolor{green}{]}
a \textcolor{red}{<} x \textcolor{green}{\leq} b
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 6
x \in \textcolor{red}{]} a ; b \textcolor{green}{]}
a \textcolor{red}{\leq} x \textcolor{green}{<} b
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 7
x \in \textcolor{red}{[} a ; b \textcolor{green}{[}
a \textcolor{red}{<} x \textcolor{green}{<} b
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 8
x \in \textcolor{red}{]} a ; b \textcolor{green}{[}
a \textcolor{red}{\leq} x
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 9
x \in \textcolor{red}{[} a ; +\infty[
a \textcolor{red}{<} x
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 10
x \in \textcolor{red}{]}a ; +\infty[
x \textcolor{green}{\leq} b
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 11
x \in ]-\infty ; b \textcolor{green}{]}
x \textcolor{green}{<} b
cours sur les nombres, les ensembles et les nombres premiers - seconde : image 12
x \in ]-\infty ; b \textcolor{green}{[}


Exemple : Résoudre 5 - 6x \leq - \displaystyle \frac{3}{5} + 2x
\displaystyle \frac{28}{5} \leq 8x
Ainsi, \displaystyle \frac{7}{10} \leq x
D'où : \mathscr{S} = \left[ \displaystyle \frac{7}{10} \, ; \, +\infty \right[.
Définition :
Soient deux intervalles I et J de \mathbb{R}.
Les réels qui sont à la fois dans I et dans J appartiennent à l'intersection de I et de J : si x \in \text{I} et x \in \text{J}, alors x \in \text{I} \cap \text{J} (le symbole \cap se lit "inter").
Les réels qui sont soit dans I, soit dans J appartiennent à la réunion de I et de J : si x \in \text{I} ou x \in \text{J}, alors x \in \text{I} \cup \text{J} (le symbole \cup se lit "union").

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
muriel Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1285 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !