Fiche de mathématiques

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Nombres Premiers

Fiche relue en 2019-2020

Définitions :

Un entier naturel n est premier si n > 1 et s'il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n.
Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers distincts.

Exemples :
105 = 3 × 5 × 7.
3 × 5 × 7 est la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 105.
99 = 9 × 11 = 3² × 11
600 = 8 × 3 × 25 = 2³ × 3 × 5²
2³ × 3 × 5² est la décomposition en produit de facteurs premiers de 600.
Les facteurs premiers sont 2, 3 et 5 affectés des exposants 3, 1 et 2.

exercice 1 - Comment reconnaître un nombre premier ?

1. Le nombre 97 est-il premier ?

2. Le nombre 259 est-il premier ?

exercice 2 - Comment décomposer un nombre entier en un produit de facteurs premiers ?

Décomposer 2 520 en produits de facteurs premiers.

exercice 3

Déterminer si les nombres suivants sont premiers :
13 ; 18 ; 23 ; 27 ; 43 ; 89 ; 101 ; 197 ; 319 ; 405.

exercice 4

Quel est le plus petit nombre non nul divisible par deux nombres premiers distincts ?

exercice 5

Répondre par vrai ou faux :

1. tous les nombres impairs sont premiers.

2. aucun nombre pair n'est premier.

3. la différence entre deux nombres premiers est toujours deux.

4. il y a une infinité de nombres premiers.

exercice 6

1. Déterminer le nombre de nombres premiers inférieurs à 100 se terminant par 2.

2. Déterminer le nombre de nombres premiers inférieurs à 100 se terminant par 3.

exercice 7

Décomposer en produit de facteurs premiers.
18 ; 24 ; 30 ; 42 ; 49 ; 196 ; 252 ; 455 ; 546 ; 840.

exercice 8

Simplifier les fractions suivantes en décomposant le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.
$\dfrac{48}{75}$ ; $\dfrac{180}{126}$ ; $\dfrac{585}{1275}$ ; $\dfrac{360}{252}$ ; $\dfrac{32670}{792}$ ; $\dfrac{17303}{1859}$ .

exercice 9

Ecrire sous la forme $a\sqrt{b}$ les nombres suivants en décomposant le radicande en produit de facteurs premiers.
$\sqrt{54}$ ; $\sqrt{74}$ ; $\sqrt{845}$ ; $\sqrt{1000}$ ; $\sqrt{1044}$ ; $\sqrt{6125}$ ; $\sqrt{20825}$ .

Voir la correction

exercice 1

Indication :

On effectue les divisions du nombre donné par les nombres premiers successifs, sans omission.
Si le reste est nul, le nombre n'est pas premier.
Si aucun des restes n'est nul, on continue jusqu'à ce que le quotient devienne égal ou inférieur au diviseur. Le nombre donné est alors premier.

1.On effectue la division du nombre 97 par :

2	97 n'est pas divisible par 2 car son dernier chiffre 7 n'est pas pair.
3	97 n'est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 9 + 7 = 16 n'est pas divisible par 3.
5	97 n'est pas divisible par 5 car son dernier chiffre 7 n'est ni 0, ni 5.
7	97 = 7 × 13 + 6. Le reste de la division de 97 par 7 n'est pas nul, donc 97 n'est pas divisible par 7.
11	97 = 11 × 8 + 9. Le reste de la division de 97 par 11 n'est pas nul, donc 97 n'est pas divisible par 11. Le quotient 8 est inférieur au diviseur 11.

On peut donc conclure : aucune des divisions de 97 par 2, 3, 5, 7 et 11 n'a un reste nul et le quotient de la dernière division est inférieur au diviseur premier. Le nombre 97 est donc premier.

Remarque : si 97 n'est pas divisible par 2, il ne le sera bien sûr pas non plus par ses multiples 4, 6, 8, etc.
De même, 97, non divisible par 3, ne sera donc pas divisible par 9.

Remarque : on peut s'arrêter à la division de 97 par 11. En effet, si, par exemple, 97 était divisible par 13, on aurait : 97 = 13 d où d serait un entier inférieur à 8. Donc d diviserait 97 et serait plus petit que 11, ce qui est impossible d'après ce qui précède.

Remarque : pour la division par 2, 3, 5 ou 11, on utilise de préférence les critères de divisibilité.

2.On effectue la division du nombre 259 par :

2	259 n'est pas divisible par 2 car son dernier chiffre n'est pas pair.
3	259 n'est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 2 + 5 + 9 = 16 n'est pas divisible par 3.
5	259 n'est pas divisible par 5 car son dernier chiffre 9 n'est ni 0, ni 5.
7	259 = 7 × 37. Le reste de la division de 259 par 7 est nul. 259 est divisible par 7.

Le nombre 259 n'est donc pas un nombre premier.

exercice 2

Indication :

On divise le nombre donné par les nombres premiers successifs en écrivant à chaque fois le quotient obtenu sous le dividende.

On divise 2 520 par le plus petit nombre possible c'est-à-dire 2.
2 520 ÷ 2 = 1 260.
Le diviseur 2 se note à droite du trait, le quotient 1 260 sous 2 520.

Le plus petit diviseur premier de 1 260 est 2.
1 260 ÷ 2 = 630.
2 se note à droite, le quotient 630 se place sous 1 260.

630 étant pair, son plus petit diviseur premier est 2.
630 ÷ 2 = 315.

3 est le plus petit diviseur premier de 315.
315 ÷ 3 = 105.

3 est le plus petit diviseur premier de 105.
105 ÷ 3 = 35.

5 est le plus petit diviseur premier de 35.
35 ÷ 5 = 7.

7 est premier, donc divisible par 7.
7 ÷ 7 = 1.

Finalement,
2 520 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7
2 520 = 2³ × 3² × 5 × 7.
2³ ×3² × 5 × 7 est la décomposition en produit de facteurs premiers de 2 520.

Remarque : on choisit les nombres premiers de préférence dans l'ordre croissant pour ne pas en oublier.

Remarque : un nombre est divisible par 2 s'il se termine par un chiffre pair.

Remarque : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. La somme des chiffres de 315 est : 3 + 1 + 5 = 9. 9 est divisible par 3 donc 315 l'est aussi.

Remarque : un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou par 5.

exercice 3

13 est un nombre premier car les seuls diviseurs de 13 sont 1 et 13 ;
18 étant divisible par 2 et par 3, alors ce n'est pas un nombre premier ;
23 n'est pas divisible par 2, 3, 5. D'autre part dans la division de 23 par 5, le quotient 4 est inférieur au diviseur 5 donc 23 est un nombre premier ;
27 étant divisible par 3, alors ce n'est pas un nombre premier ;
43 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 7 × 6 + 1, le quotient 6 est inférieur au diviseur 7, donc 43 est un nombre premier ;
89 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. 89 = 11 × 8 + 1, le quotient de la division euclidienne de 89 par 11 est 8 ; il est inférieur au diviseur 11 donc 89 est un nombre premier ;
101 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. Le quotient de la division de 101 par 11 est 9. 9 étant inférieur à 11, le nombre 101 est un nombre premier ;
197 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Le quotient de 197 par 17 est 11 ; 11 < 17, donc 197 est un nombre premier.
319 = 11 × 29, donc 319 est divisible par 11 et n'est pas un nombre premier.
405 se termine par 5 donc est divisible par 5 et n'est pas un nombre premier.

exercice 4

Soient p et q deux nombres premiers distincts. Cela signifie que les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p et les seuls diviseurs positifs de q sont 1 et q.
Par conséquent, le plus petit nombre non nul divisible par deux nombres premiers distincts est leur produit pq.

exercice 5

1. FAUX, tous les nombres impairs ne sont pas premiers. Par exemple : 9 est un nombre impair divisible par 3.

2. FAUX, 2 est pair et c'est un nombre premier.

3. FAUX, entre 7 et 11, il n'y a pas de nombre premier et 11 - 7 = 4 qui est différent de 2.

4. VRAI.

exercice 6

1. 2 est le seul nombre premier inférieur à 100 se terminant par 2 car les autres nombres se terminant par 2 seront des nombres pairs, ils seront donc au moins divisibles par 2.

2. Il y a 7 nombres premiers inférieurs à 100 se terminant par 3 : 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83.
   23 n'est pas divisible par 2, 3, 5. D'autre part dans la division de 23 par 5, le quotient 4 est inférieur au diviseur 5 donc 23 est un nombre premier ;
   43 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 7 × 6 + 1, le quotient 6 est inférieur au diviseur 7, donc 43 est un nombre premier ;
   53 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 53 = 11 × 4 + 9, le quotient 4 est inférieur au diviseur 11 donc 53 est un nombre premier ;
   73 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 73 = 11 × 6 + 7, le quotient 6 est inférieur au diviseur 11 donc 73 est un nombre premier.
   83 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 83 = 11 × 7 + 6, le quotient 7 est inférieur au diviseur 11 donc 83 est un nombre premier.
   33 est divisible par 11 ; 63 est divisible par 3 ; 93 est divisible par 3.

exercice 7

18 = 2 × 9 = 2 × 3²
24 = 8 × 3 = 2³ × 3
30 = 2 × 15 = 2 × 3 ×5
42 = 2 × 21 = 2 × 3 × 7
49 = 7 × 7 = 7²
196 = 2 × 2 × 7 × 7 = 2² × 7²
252 = 2² × 3² × 7
455 = 5 × 7 × 13
546 = 2 × 3 × 7 × 13
840 = 2³ × 3 × 5 × 7

exercice 8

Pour $\dfrac{48}{75}$ :
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3    et    75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5², donc :
$\dfrac{48}{75} = \dfrac{2^4 \times 3}{3 \times 5^2} = \dfrac{2^4}{5^2} = \dfrac{16}{25}$

Pour $\dfrac{180}{126}$ :
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2² × 3² × 5    et    126 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 3² × 7, donc :
$\dfrac{180}{126} = \dfrac{10}{7}$

Pour $\dfrac{585}{1275}$ :
585 = 3 × 3 × 5 × 13 = 3² × 5 × 13    et    1275 = 3 × 5 × 5 × 17 = 3 × 5² × 17, donc :
$\dfrac{585}{1275} = \dfrac{39}{85}$

Pour $\dfrac{360}{252}$ :
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5 et 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2² × 3² × 7, donc :
$\dfrac{360}{252} = \dfrac{10}{7}$

Pour $\dfrac{32670}{792}$ :
32670 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 11 × 11 = 2 × 3³ × 5 × 11²    et    792 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 11 = 2³ × 3² × 11, donc :
$\dfrac{32670}{792} = \dfrac{2 \times 3^3 \times 5 \times 11^2}{2^3 \times 3^2 \times 11} = \dfrac{3 \times 5 \times 11}{2^2} = \dfrac{165}{4}$

Pour $\dfrac{17303}{1859}$ :
17303 = 11 × 11 × 11 × 13 = 11³ × 13    et    1859 = 11 × 13 × 13 = 11 × 13², donc :
$\dfrac{17303}{1859} = \dfrac{11^3 \times 13}{11 \times 13^2} = \dfrac{11^2}{13} = \dfrac{121}{13}$

exercice 9

Pour $\sqrt{54}$	54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 3³, donc : $\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$
Pour $\sqrt{74}$	74 = 2 × 37, donc l'écriture de $\sqrt{74}$ ne peut pas être améliorée
Pour $\sqrt{845}$	845 = 5 × 13 × 13 = 5 × 13² , donc : $\sqrt{845} = 13\sqrt{5}$
Pour $\sqrt{1000}$	1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2³ × 5³, donc : $\sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$
Pour $\sqrt{1044}$	1044 = 2 × 2 × 3 × 3 × 29 = 2² × 3² × 29 , donc : $\sqrt{1044} = 6\sqrt{29}$
Pour $\sqrt{6125}$	6125 = 5 × 5 × 5 × 7 × 7 = 5³ × 7² , donc : $\sqrt{6125} = 35\sqrt{5}$
Pour $\sqrt{20825}$	20825 = 5 × 5 × 7 × 7 × 17 = 5² × 7² × 17, donc : $\sqrt{20825} = 35\sqrt{17}$

Publié par T_P/malou relue en 2019 le 14-01-2020

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