Fiche de mathématiques
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Réflexions et mesures d'angles de vecteurs

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Complétons à l'aide des angles orientés de vecteurs, la relation déjà rencontrée entre les angles au centre et les angles inscrits interceptant le même arc dans un cercle.

exercice 1

Soit (AB) une droite, C un point n'appartenant pas à (AB), C' le symétrique de C par rapport à (AB).
Comparons les mesures des angles (\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}) et (\overrightarrow{\text{C'A}},\overrightarrow{\text{C'B}}).

1. Exprimer (\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}) à l'aide des angles (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}) et (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}).

2. Comparer (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}) et (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC'}}) d'une part et (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}) et (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC'}}) d'autre part.

3.Comparer alors (\overrightarrow{\text{C'A}},\overrightarrow{\text{C'B}}) et (\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}}).
TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 1





exercice 2

Soit ABC un triangle isocèle, AB = AC.

1. Comparer (\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{BA}}) et (\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}}).

2. Démontrer à l'aide de l'égalité : (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}) + (\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}}) + (\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AB}}) = \pi
les égalités : (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{AC}}) = (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}) + (\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}})     et     (\overrightarrow{\text{BA}} ,\overrightarrow{\text{AC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}}).
[Sur la figure, (\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})]
TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 2





exercice 3

Soit A,B,C trois points d'un cercle (\Gamma) de centre O et D le point diamétralement opposé à A sur (\Gamma).

1. Démontrer que (\overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OD}}) = 2 (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AO}}).

2. Démontrer que (\overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}}) = 2 (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}}).
Cette dernière relation généralise une propriété utilisée au collège : l'angle au centre est double de l'angle inscrit interceptant le même arc de cercle.
TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 3




exercice 1

1. Dans le triangle ABC, la somme des angles est égale à \pi radians :
(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) + (\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = \pi
Donc :
(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = \pi - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA})

\fbox{(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = \pi - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) + (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})}

2. La droite (AB) est la médiatrice du segment [CC'] donc les triangles ACC' et BCC' sont isocèles respectivement en A et en B.
On en déduit que :
\fbox{(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) = - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC'})} et \fbox{(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}) = - (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC'})}

3. En substituant les résultats obtenus à la question 2 dans l'expression obtenue à la question 1, on obtient :
(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = \pi - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) + (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})
(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = \pi + (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC'}) - (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC'})

Or, on a : (\overrightarrow{-u};\overrightarrow{-v}) = (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}) donc : (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC'}) = (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{C'B})

(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = \pi + (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC'}) - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{C'B})

Or, on a : (\overrightarrow{-v};\overrightarrow{u}) = \pi - (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}) donc : (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC'}) = \pi - (\overrightarrow{C'A};\overrightarrow{AB})

(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = \pi + \pi (\overrightarrow{C'A};\overrightarrow{AB}) - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{C'B})
(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = 2\pi - \left[ (\overrightarrow{C'A};\overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{C'B})\right]

En supprimant le 2\pi (un tour complet), et en utilisant la relation de Chasles, on obtient finalement :

\fbox{ (\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) = - (\overrightarrow{C'A};\overrightarrow{C'B}) }

Remarque : Les méthodes ci-dessus restent valables quel que soit la position du point C par rapport aux points A et B.
TP relativement difficile sur les angles orientés - première : image 4





exercice 2

1. Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux donc :

(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}) = (\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}) donc \fbox{(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}) = -(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA})} \;\;\; (1)

2. Dans le triangle ABC, la somme des angles étant égale à \pi radians, on a :

(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}) = \pi

Donc :
(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}) = \pi - (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}) - (\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA})

Or, on a : (\overrightarrow{-v};\overrightarrow{u}) = \pi - (\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}) donc :

(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}) = \pi - (\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB})\\ (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}) = \pi - \left[ \pi - (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}) - (\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}) \right]\\ \fbox{(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}) = (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA})} \;\;\; (2)

D'après l'égalité (1) démontrée à la question précédente, on a :

(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}) = -(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}) = (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})

Et donc, en utilisant cette égalité dans la relation (2), on obtient bien :

\fbox{(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}) = 2 (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})}

Remarque :
Les vecteurs \overrightarrow{BA} et \overrightarrow{AD} ayant même direction et même sens, on a (\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}) = (\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC}) d'où le résultat proposé à la fin de l'exercice.




exercice 3

1. MÉTHODE 1
On a : (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OD}) = \pi

En décomposant avec la relation de Chasles, on obtient :

(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}) = \pi

Donc : (\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}) = \pi - (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})

Le triangle ABO étant isocèle en O, on a : (\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}) = \pi - 2 (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO})

En utilisant ce résultat avec la relation précédente, on obtient finalement :

(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}) = \pi - \left[ \pi - 2 (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO}) \right] \\ \fbox{(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}) = 2 (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO}) }


MÉTHODE 2

Le triangle ABD est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [AD] donc ABD rectangle en B, on en tire :

(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BA}) = \dfrac{\pi}{2}

En décomposant avec la relation de Chasles, on obtient :

(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BO}) + (\overrightarrow{BO};\overrightarrow{BA})= \dfrac{\pi}{2}\\ (\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BO}) = \dfrac{\pi}{2} - (\overrightarrow{BO};\overrightarrow{BA})

Or le triangle ABC est isocèle en O, donc (\overrightarrow{BO};\overrightarrow{BA}) = (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO}), ce qui donne :

(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BO}) = \dfrac{\pi}{2} - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO})

Le triangle BDO est isocèle en O, donc :

(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}) = \pi - 2(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BO})\\ (\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}) = \pi - 2 \left[ \dfrac{\pi}{2} - (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO}) \right] \\ \fbox{(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}) = 2(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO})}

2. On démontre de la même manière : (\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OC}) = 2(\overrightarrow{AO};\overrightarrow{AC}).

Donc :

(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}) = (\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OD}) + (\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OC})\\ (\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}) = 2 (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO}) + 2(\overrightarrow{AO};\overrightarrow{AC})\\ (\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}) = 2 \left[ (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO}) + (\overrightarrow{AO};\overrightarrow{AC}) \right]\\ \fbox{(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}) = 2(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}
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