Fiche de mathématiques
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5 exercices sur les angles orientés

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exercice 1



Soit le carré ABCD de centre O.
Exercices de Trigonométrie - 1ère S : image 1


Donner une mesure des angles suivants en radians :

1. (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})

2. (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})

3. (\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{CB})

4. (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC})

5. (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD})



exercice 2


On considère un cercle \mathscr{C} de centre A et B un point de ce cercle.

1. Construire les points C, D, E et F du cercle \mathscr{C} tels que :

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\pi}{3}

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\frac{3\pi}{4}

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=\frac{7\pi}{6}

(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})=-\frac{3\pi}{4}

2. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}), (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AF}), (\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}), (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AC}), (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE})



exercice 3


On considère un quadrilatère ABCD.

1. Démontrer que : (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD}).

2. En déduire la somme : (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}).



exercice 4


ABCD est un carré. ABJ et CBK sont des triangles équilatéraux tels que J est à l'intérieur du carré et K est à l'extérieur.
Exercices de Trigonométrie - 1ère S : image 2


1. Déterminer la mesure principale de l'angle (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DJ}).

2. Déterminer la mesure principale de l'angle (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DK}).

3. Démontrer que les points D, J et K sont alignés.



exercice 5


1. On considère un triangle ABC rectangle en A de sens direct tel que (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=\frac{\pi}{3} à
2pi près.
On construit à l'extérieur de ce triangle, les triangles équilatéraux AEB et ACD.

2. Déterminer les mesures principales des angles suivants :
(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}), (\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}), (\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}), (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC}) \text{ et } (\overrightarrow{EB},\overrightarrow{AC})
Exercices de Trigonométrie - 1ère S : image 3







exercice 1


1. (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=-\frac{\pi}{2} (on tourne dans le sens inverse du sens trigonométrique)

2. (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\frac{\pi}{4} (il s'agit de l'angle que fait une diagonale avec un côté)

3. (\overrightarrow{BO},\overrightarrow{CB})=(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BC})+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}

4. (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC})=0 (car les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens)

5. (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}) \text{ (d'après la relation de Chasles) } \\ =(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})+\pi \\ =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\pi \\ =\frac{3\pi}{2}(=-\frac{\pi}{2} \text{ à 2 }\pi \text{ près })



exercice 2


1. On obtient la figure suivante :
Exercices de Trigonométrie - 1ère S : image 4


3. (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6} \\ (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AF})=(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF}) \\ =-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})=-\frac{3\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}=-\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \text{ à 2 }\pi \text{ près }.

(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB})=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})= -\frac{7\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} \text{ à 2 }\pi \text{ près } \\ (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \\ =\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{12}=-\frac{11\pi}{12} \text{ à 2 }\pi \text{ près } \\ (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE})=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}) =\frac{3\pi}{4}+\frac{7\pi}{6}=\frac{23\pi}{12}=-\frac{\pi}{12} \text{ à 2 }\pi \text{ près }.



exercice 3


Exercices de Trigonométrie - 1ère S : image 5

1. (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD})

2. (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}) \\ =(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}) \\ =(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CD}) \\ =(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CD}) \\ =0



exercice 4


1. Le triangle ABJ est équilatéral. Donc AB = AJ et (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AJ})=\frac{\pi}{3}.

ABCD est un carré. Par conséquent AB = AD et (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\frac{\pi}{2}

On en déduit donc que ADJ est un triangle isocèle

et (\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AJ})=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}

La somme des angles d'un triangle est égale à pi et, dans un triangle isocèle, les angles de la base ont la même mesure.

Par conséquent, dans le triangle ADJ, (\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DJ})=\frac{\pi-\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{5\pi}{12}

D'après la relation de Chasles (\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DJ})+(\overrightarrow{DJ},\overrightarrow{DC})

Donc \frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{12}-(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DJ})

Ainsi (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DJ})=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{12}

2. Le triangle BCK est équilatéral. Donc CK = CB et (\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CK})=\frac{\pi}{3}

D'après la relation de Chasles :
(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CK})=(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CK})=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}

Puisque ABCD est un carré, CD = CB et le triangle CDK est isocèle en C.

On a alors (\overrightarrow{DK},\overrightarrow{DC})=\frac{\pi-\frac{5\pi}{6}}{2}=\frac{\pi}{12}

Donc (\overrightarrow{DK},\overrightarrow{DC})=-\frac{\pi}{12}

3. D'après la relation de Chasles :
(\overrightarrow{DJ},\overrightarrow{DK}) = (\overrightarrow{DJ},\overrightarrow{DC}) + (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DK}) =\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{12}=0
Les points D, J et K sont donc alignés.



exercice 5


La somme des angles d'un triangle vaut pi.

Donc, dans le triangle ABC rectangle en A on a : (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}) = \pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}

Ainsi (\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}) = -\frac{\pi}{6}

Le triangle ACD est équilatéral. Par conséquent (\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}) = \frac{\pi}{3}

(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) \\ = \frac{\pi}{3}+\pi-\frac{\pi}{3} \\ = \pi

(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC}) = (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DC}) \\ =(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})+\pi+(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})+\pi \\ =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\pi+\frac{\pi}{3}+\pi \\ = \frac{19\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \text{ à 2 }\pi \text{ près }

(\overrightarrow{EB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{EB},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \\ =(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BA}) + \frac{\pi}{2} \\ = -\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2} \\ =\frac{\pi}{6}
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