Fiche de mathématiques

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Trigonométrie

Fiche relue en 2016

exercice 1

Soit $x$ un réel tel que $\sin x = \dfrac{1}{3}$

1. Peut-on en déduire $\cos x$ ?

2. On sait de plus que $\dfrac{\pi}{2}\le x \le \pi$
Calculer $\cos x \text{ et tan}x$ .

exercice 2

1. Calculer $\cos \left(\dfrac{65\pi}{4}\right)$

2. Calculer $\sin \left(-\dfrac{39\pi}{4}\right)$

exercice 3

Sachant que $\cos \dfrac{\pi}{8}= \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$ , calculer le cosinus de -

/8 ; 3

/8 ; 5

/8 ; 9

/8 ; -325

/8.

exercice 4

ABCD est un parallélogramme articulé tel que la mesure $x$ en radians de $\widehat{ADC}$ varie entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$ .
La tige AD est fixe : AD = 3 et AB = 2.
1. Exprimer l'aire S du parallélogramme en fonction de $x$ .
2. Comment choisir $x$ pour avoir S = 4 ?

exercice 5

$\mathcal{C}$ est le cercle trigonométrique de centre 0, A est un point de $\mathcal{C}$ .
Un point matériel parcourt $\mathcal{C}$ d'un mouvement uniforme dans le sens direct.
L'origine des temps t est prise en A, c'est à dire que pour t = 0, le point mobile est en A.
Au temps t = 1 (seconde), le mobile est en un point M tel que : $\left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OM}\right) = \dfrac{\pi}{9}$
1. Au bout de combien de temps le mobile repassera-t-il en A, une première fois ? une deuxième fois ?
2. Sur un dessin, indiquer quelle sera la position du mobile au bout de 90 secondes ? de 3 minutes ?

3. On appelle B le point du cercle tel que : $\left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right) = -\dfrac{\pi}{2}$
Indiquer au bout de combien de temps le mobile passera en B pour la première fois. En quels autres instants t le mobile passera-t-il en B ?

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exercice 1

1) J'utilise la formule $\cos ^2x+\sin ^2x=1$

On sait que $\sin x=\dfrac{1}{3}$
On obtient : $\cos ^2 x+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2= 1$

$\cos ^2 x+\dfrac{1}{9}= 1$

$\cos ^2 x= 1-\dfrac{1}{9}$

$\cos ^2 x= \dfrac{8}{9}$

Et donc $\cos x= \sqrt{\dfrac{8}{9}} =\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ou $\cos x= -\sqrt{\dfrac{8}{9}} =-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
On ne peut donc pas en déduire la valeur de $\cos x$ .

2) On sait maintenant que $\dfrac{\pi }{2} \leq x\leq \pi$ . Donc, d'après le cercle trigonométrique $-1 \leq cos x \leq 0$ et donc $\cos x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

3) $\text{tan } x= \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{-2\sqrt{2}}{3}} = {\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{-2\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} =- \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

exercice 2

$\cos \left(\dfrac{65\pi }{4}\right) = \cos \left(\dfrac{64\pi }{4} +\dfrac{\pi }{4}\right) = \cos \left(16\pi + \dfrac{\pi }{4}\right) = \cos \left(8\times2\pi + \dfrac{\pi }{4}\right)= \cos \left(\dfrac{\pi }{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \left(\dfrac{-39\pi }{4}\right) = \sin \left(\dfrac{-40\pi }{4} +\dfrac{\pi }{4}\right) = \sin \left(-10\pi + \dfrac{\pi }{4}\right) = \sin \left(-5\times 2\pi + \dfrac{\pi }{4}\right)= \sin \left(\dfrac{\pi }{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

exercice 3

$\cos x = \cos \left(-x\right) \text{ donc } \cos \left(-\dfrac{\pi }{8}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt[]{2+\sqrt{2}}$

On calcule $\sin \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ :

$\cos ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) + \sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1$

$\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1 - \cos ^2\left(\dfrac{\pi }{8}\right)$

$\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\sqrt[]{2+\sqrt{2}}\right)^2$

$\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1 - \left(\dfrac{1}{4}({2+\sqrt{2}\right)}\right)$

$\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = \dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$

$\sin \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\cos \left(\dfrac{\pi }{2}-x \right) = \sin x \text{ donc } \cos \left(\dfrac{3\pi }{8}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi }{8}\right) = \sin \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\cos \left(\dfrac{\pi }{2}+x\right) = - \sin x \text{ donc } \cos \left(\dfrac{5\pi }{8}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{8}\right) = - \sin \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\cos \left(\pi+x\right) = -\cos \left(x\right) \text{ donc } \cos \left(\dfrac{9\pi }{8}\right) = \cos \left(\pi+\dfrac{\pi }{8}\right) = - \cos \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = - \dfrac{1}{2}\sqrt[]{2+\sqrt{2}}$

$\cos \left(\dfrac{-325\pi }{8}\right) = \cos \left(\dfrac{-324\pi }{8} -\dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(\dfrac{-81\pi }{2} -\dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(\dfrac{-80\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right)$

$= \cos \left(-40\pi - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(-2\pi\times 20 - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(- \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right)$

Or $\cos x = \cos \left(-x\right) \text{ donc } \cos \left(- \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(\dfrac{5\pi }{8}\right) = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

exercice 4

cinq exercices de trigonométrie - première : image 2

1) On sait que l'aire d'un parallélogramme se calcule selon la formule : $\text{Aire } = B\times h$
(h étant la hauteur du parallélogramme et B la longueur de l'un des côtés perpendiculaires à la hauteur h)
On trace donc la hauteur h en vert sur notre schéma (figure 2) et on place le point H, projeté orthogonal de C sur [AD]

cinq exercices de trigonométrie - première : image 3

On cherche la longueur CH. On utilise donc la trigonométrie dans le triangle DCH rectangle en H.

$\sin (\widehat{DCH}) = \sin x = \dfrac{CH}{DC} = \dfrac{CH}{2}$

Donc $CH= 2\times \sin x$

Et donc $\text{Aire }( ABCD)= CH\times AD= 3\times 2 \sin x = 6\sin x.$

2) On cherche donc à résoudre l'équation : $6\sin x=4$

soit : $\sin x= \dfrac{6}{4} = \dfrac{2}{3}$
En radian, on obtient : $x \simeq 0,73$
En degré, on obtient : $x \simeq 41,8°$

exercice 5

cinq exercices de trigonométrie - première : image 4

1. Pour que le mobile repasse en A, il faut qu'il fasse un tour de cercle, cad $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=2\pi$ . Sachant qu'il parcourt un angle de

/9 en 1s, il lui faudra 18s pour parcourir un angle de 2

et donc repasser en A.

Pour repasser une deuxième fois en A, il lui faudra 18s supplémentaire, donc 36s en tout.

2. Au bout de 90s, le mobile M sera tel que: $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{9}\times 90=10\pi=5\times 2\pi$ ; c'est à dire M sera en A.

A bout de 3min, c'est à dire 180s: $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{9}\times 180=10\times 2\pi$ , M sera de nouveau en A.

3. $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}\;[2\pi]$ . Pour parvenir en B, le mobile doit donc parcourir 13,5 fois l'angle /9; donc il mettra 13,5 secondes pour arriver une première fois. Puis ensuite, il faudra qu'il refasse un tour, cad 18s supplémentaires....

Publié par mickadu26 le 27-04-2016

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