Fiche de mathématiques
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Trigonométrie

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Fiche relue en 2016

exercice 1


Soit x un réel tel que \sin x = \dfrac{1}{3}

1. Peut-on en déduire \cos x ?

2. On sait de plus que \dfrac{\pi}{2}\le x \le \pi
Calculer \cos x \text{ et tan}x.

exercice 2


1. Calculer  \cos \left(\dfrac{65\pi}{4}\right)

2. Calculer \sin \left(-\dfrac{39\pi}{4}\right)

exercice 3

Sachant que \cos \dfrac{\pi}{8}= \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}, calculer le cosinus de -pi/8 ; 3pi/8 ; 5pi/8 ; 9pi/8 ; -325pi/8.

exercice 4


ABCD est un parallélogramme articulé tel que la mesure x en radians de \widehat{ADC} varie entre 0 et \dfrac{\pi}{2}.
La tige AD est fixe : AD = 3 et AB = 2.
1. Exprimer l'aire S du parallélogramme en fonction de x.
2. Comment choisir x pour avoir S = 4 ?

exercice 5


\mathcal{C} est le cercle trigonométrique de centre 0, A est un point de \mathcal{C}.
Un point matériel parcourt \mathcal{C} d'un mouvement uniforme dans le sens direct.
L'origine des temps t est prise en A, c'est à dire que pour t = 0, le point mobile est en A.
Au temps t = 1 (seconde), le mobile est en un point M tel que : \left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OM}\right) = \dfrac{\pi}{9}
1. Au bout de combien de temps le mobile repassera-t-il en A, une première fois ? une deuxième fois ?
2. Sur un dessin, indiquer quelle sera la position du mobile au bout de 90 secondes ? de 3 minutes ?

3. On appelle B le point du cercle tel que : \left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right) = -\dfrac{\pi}{2}
Indiquer au bout de combien de temps le mobile passera en B pour la première fois. En quels autres instants t le mobile passera-t-il en B ?



exercice 1


1) J'utilise la formule \cos ^2x+\sin ^2x=1

On sait que \sin x=\dfrac{1}{3}
On obtient : \cos ^2 x+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2= 1

\cos ^2 x+\dfrac{1}{9}= 1

\cos ^2 x= 1-\dfrac{1}{9}

\cos ^2 x= \dfrac{8}{9}

Et donc \cos x= \sqrt{\dfrac{8}{9}}  =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} ou \cos x= -\sqrt{\dfrac{8}{9}}  =-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
On ne peut donc pas en déduire la valeur de \cos x.

2) On sait maintenant que \dfrac{\pi }{2} \leq x\leq \pi. Donc, d'après le cercle trigonométrique -1 \leq cos x \leq 0 et donc \cos x = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

3) \text{tan } x= \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{-2\sqrt{2}}{3}} = {\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{-2\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} =- \dfrac{\sqrt{2}}{4}

exercice 2


\cos \left(\dfrac{65\pi }{4}\right) = \cos \left(\dfrac{64\pi }{4} +\dfrac{\pi }{4}\right) = \cos \left(16\pi + \dfrac{\pi }{4}\right) = \cos \left(8\times2\pi + \dfrac{\pi }{4}\right)= \cos \left(\dfrac{\pi }{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

\sin \left(\dfrac{-39\pi }{4}\right) = \sin \left(\dfrac{-40\pi }{4} +\dfrac{\pi }{4}\right) = \sin \left(-10\pi + \dfrac{\pi }{4}\right) = \sin \left(-5\times 2\pi + \dfrac{\pi }{4}\right)= \sin \left(\dfrac{\pi }{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

exercice 3


\cos x = \cos \left(-x\right)  \text{ donc } \cos \left(-\dfrac{\pi }{8}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = \dfrac{1}{2}\sqrt[]{2+\sqrt{2}}

On calcule  \sin \left(\dfrac{\pi}{8}\right):

\cos ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) + \sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1

\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1 - \cos ^2\left(\dfrac{\pi }{8}\right)

\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\sqrt[]{2+\sqrt{2}}\right)^2

\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1 - \left(\dfrac{1}{4}({2+\sqrt{2}\right)}\right)

\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}

\sin ^2 \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = \dfrac{2-\sqrt{2}}{4}

\sin \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

\cos \left(\dfrac{\pi }{2}-x \right) = \sin x  \text{ donc }  \cos \left(\dfrac{3\pi }{8}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi }{8}\right) = \sin \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

\cos \left(\dfrac{\pi }{2}+x\right) = - \sin x  \text{ donc }  \cos \left(\dfrac{5\pi }{8}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{8}\right) = - \sin \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

\cos \left(\pi+x\right) = -\cos \left(x\right)  \text{ donc }  \cos \left(\dfrac{9\pi }{8}\right) = \cos \left(\pi+\dfrac{\pi }{8}\right) = - \cos \left(\dfrac{\pi }{8}\right) = - \dfrac{1}{2}\sqrt[]{2+\sqrt{2}}

\cos \left(\dfrac{-325\pi }{8}\right) = \cos \left(\dfrac{-324\pi }{8} -\dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(\dfrac{-81\pi }{2} -\dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(\dfrac{-80\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right)

= \cos \left(-40\pi - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(-2\pi\times 20 - \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right) =  \cos \left(- \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right)

Or \cos x = \cos \left(-x\right)  \text{ donc }  \cos \left(- \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{8} \right) = \cos \left(\dfrac{5\pi }{8}\right) = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

exercice 4


cinq exercices de trigonométrie - première : image 2

1) On sait que l'aire d'un parallélogramme se calcule selon la formule : \text{Aire } = B\times h
(h étant la hauteur du parallélogramme et B la longueur de l'un des côtés perpendiculaires à la hauteur h)
On trace donc la hauteur h en vert sur notre schéma (figure 2) et on place le point H, projeté orthogonal de C sur [AD]
cinq exercices de trigonométrie - première : image 3

On cherche la longueur CH. On utilise donc la trigonométrie dans le triangle DCH rectangle en H.

\sin (\widehat{DCH}) = \sin x = \dfrac{CH}{DC} = \dfrac{CH}{2}

Donc CH= 2\times \sin x

Et donc \text{Aire }( ABCD)= CH\times AD= 3\times 2 \sin x = 6\sin x.

2) On cherche donc à résoudre l'équation : 6\sin x=4

soit : \sin x= \dfrac{6}{4} = \dfrac{2}{3}
En radian, on obtient : x \simeq 0,73
En degré, on obtient : x \simeq 41,8°

exercice 5


cinq exercices de trigonométrie - première : image 4
1. Pour que le mobile repasse en A, il faut qu'il fasse un tour de cercle, cad (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=2\pi. Sachant qu'il parcourt un angle de pi/9 en 1s, il lui faudra 18s pour parcourir un angle de 2pi et donc repasser en A.


Pour repasser une deuxième fois en A, il lui faudra 18s supplémentaire, donc 36s en tout.


2. Au bout de 90s, le mobile M sera tel que: (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{9}\times 90=10\pi=5\times 2\pi; c'est à dire M sera en A.


A bout de 3min, c'est à dire 180s: (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=\dfrac{\pi}{9}\times 180=10\times 2\pi, M sera de nouveau en A.


3. (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}\;[2\pi]. Pour parvenir en B, le mobile doit donc parcourir 13,5 fois l'angle pi/9; donc il mettra 13,5 secondes pour arriver une première fois. Puis ensuite, il faudra qu'il refasse un tour, cad 18s supplémentaires....


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