Fiche de mathématiques
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Le cercle trigonométrique

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Fiche relue en 2016.

Ce fichier peut être abordé dès la classe de 1re , et pourra être une ressource intéressante pour les classes ultérieures en fonction des nouvelles notions abordées.

Toutes les formules concernant la tangente et la cotangente sous entendent que celles-ci sont définies.

Il est intéressant de savoir retrouver certains résultats sur le cercle trigonométrique. Un exemple en est donné ci-après pour la formule \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x

Le cosinus de x est représenté en rouge sur l'axe des abscisses.
Le sinus de x est représenté en bleu (axe des ordonnées, valeur positive ici), le cosinus de \dfrac{\pi}{2}+x est représenté en pointillés bleus (axe des abscisses, valeur négative dans le cas de cet exemple).

Se servir du cercle trigonométrique et formules de trigonométrie : image 13

Résultats à savoir retrouver sur le cercle trigonométrique :

Soit x un réel.

1.-1\leqslant \sin x \leqslant 1\text{ et }-1 \leqslant \cos x\leqslant 1
2. \cos^2 x +\sin^2 x = 1
3. \cos (-x)=\cos x\text{ et }\sin(-x)=-\sin x
4. \cos(\pi-x)=-\cos x\text{ et }\sin(\pi-x)=\sin x
5. \cos(\pi+x)=-\cos x\text{ et }\sin(\pi+x)=-\sin x
6. \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x
7. \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\text{ et }\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x



Se servir du cercle trigonométrique et formules de trigonométrie : image 5
On peut également sur un cercle trigonométrique faire apparaître les valeurs de \tan x et de \text{cotan} x=\dfrac{1}{\tan x}, et ainsi retrouver certaines formules.

Se servir du cercle trigonométrique et formules de trigonométrie : image 11
Résultats qu'il est possible de retrouver sur le cercle trigonométrique

\tan(x+2\pi)=\tan x
\tan (x+\pi)=\tan x
\tan (-x)=-\tan x
\tan (\pi-x)=-\tan x

Résultats qu'il est possible de retrouver sur le cercle trigonométrique

\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\text{cotan}\, x
\tan \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\text{cotan}\, x
\text{cotan} \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\tan x
\text{cotan} \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\tan x


Remarque :
1+\tan ^2 a = \dfrac {1}{\cos ^2 a}
1+ \text{cotan}^2 a = \dfrac{1}{\sin ^2 a}

Autres formules

Les formules d'addition.

Soit a et b deux réels.

1.  \cos(a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b
2.  \sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b
3.  \cos(a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b
4.  \sin(a-b)=\sin a \cos b - \cos a \sin b
5.\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}
6.\tan (a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}


Les formules de duplication.
1.  \sin(2a)=2\cos a \sin a
2.  \cos(2a)=\cos^2 a-\sin^2 a = 2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a
3.\text{tan}(2a)=\dfrac{2\text{tan}\,a}{1-\text{tan}^2a }



Extensions :
1. \cos(3a)=4\cos^3a-3\cos a
2. \sin(3a)=3\sin a-4\sin^3a
3.\tan(3a)=\dfrac{3\tan a-\tan ^3 a}{1-3\tan ^2 a}

Au delà, on utilise la formule de Moivre.
Les formules de linéarisation.
1.\cos ^2 a=\dfrac{1+\cos (2a)}{2}
2.\sin ^2 a=\dfrac{1-\cos (2a) }{2}
3.\tan ^2 a=\dfrac{1-\cos (2a)}{1+ \cos (2a)}

4.\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]
5.\cos a\sin b=\dfrac{1}{2}\left[\sin (a+b)-\sin (a-b)\right]
6.\sin a\sin b=\dfrac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]


On peut en déduire :
1.\cos p+\cos q=2\cos \dfrac{p+q}{2}\cos \dfrac{p-q}{2}
2.\cos p-\cos q=-2\sin \dfrac{p+q}{2}\sin \dfrac{p-q}{2}
3.\sin p+\sin q=2\sin \dfrac{p+q}{2}\cos \dfrac{p-q}{2}
4.\sin p-sin q=2\cos \dfrac{p+q}{2}\sin \dfrac{p-q}{2}


Les formules en fonction de t=\tan \dfrac{a}{2}
1. \cos a = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}
2. \sin a = \dfrac{2t}{1+t^2}
3. \tan a = \dfrac{2t}{1-t^2}


Le cercle trigonométrique et la résolution d'équations


équation cosinus dans R


Se servir du cercle trigonométrique et formules de trigonométrie : image 1
\cos U = \cos V \text{ équivaut à dire } U=V+k2\pi \text{ ou } U=-V+k\,'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k\,' \text{ dans } \boldmath{Z}


Remarque importante : pour ce type d'équations, comme pour les suivantes, il ne faut pas oublier l'ensemble dans lequel les solutions sont demandées, et ne choisir à cet effet que les valeurs de k et de k' qui permettront aux solutions d'appartenir à l'ensemble imposé par l'énoncé.

équation sinus dans R


Se servir du cercle trigonométrique et formules de trigonométrie : image 7
\sin U = \sin V \text{ équivaut à dire } U=V+k2\pi \text{ ou } U=\pi -V+k\,'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k\,' \text{ dans } \boldmath{Z}

équation tangente dans R


Se servir du cercle trigonométrique et formules de trigonométrie : image 4
\tan U = \tan V \text{ équivaut à dire } U=V+k\pi  \text{ avec } k  \text{ dans } \boldmath{Z}

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