Fiche de mathématiques
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Limites de fonctions

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exercice 1


Déterminer la limite lorsque x tend vers +\infty de :
   f_1(x) = x² + 3x + 5
   f_2(x) = 2x³ + 5x² + 4x + 1
   f_3(x) = x² - 5x + 4
   f_4(x) = 2x³ - 4x² + 7x +1




exercice 2

Etudier la limite en +\infty des fonctions f,g et h définies :
\text{ sur } \textbf{R} \text{ par }f(x) = 3x² + 5x - 7
\text{ sur } \textbf{R} \text{ par }g(x) = 7x² - 11x + 3
\text{ sur } \textbf{R} \setminus {\lbrace 1\rbrace } \text{ par }\text{h}(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}




exercice 3

On donne une droite (D) munie d'un repère (O,\vec{i}). Un point M se déplace sur cette droite et sa position, en fonction du temps t (en secondes), est définie par son abscisse x(t) (en mètre).
La fonction t \mapsto x(t) est la "loi horaire" du mouvement. On appelle "diagramme des espaces" la représentation graphique de cette fonction dans un plan muni d'un repère (\Omega, \vec{u}, \vec{v}).

1. Dessiner le diagramme des espaces lorsque t varie entre 0 et 3, sachant que x(t) = t² + t + 1.
(on représentera une seconde par 1 cm, et un mètre par 1 cm.)

2. Calculer la vitesse du point M entre les dates 1 et 3.

3. Soit h un nombre réel de l'intervalle ]0 ; 1[. Calculer la vitesse moyenne du point M entre les dates 2 et 2+h.

4. Quelle est la vitesse instantanée du point M à la date 2 ?
On rappelle que la vitesse instantanée du point M à la date t0 est la limite en zéro de la fonction h \mapsto \dfrac{x(t_0+h)-x(t_0)}{h}.




exercice 4

Calculs de limites en utilisant des fonctions de références

1. f : x \mapsto x^2 - 3x + 3
    a) Montrer que pour x \ge 3 , f(x) \ge x
En déduire la limite de f(x) quand x tend vers +\infty
    b) Démontrer que :
\displaystyle \lim_{x\longrightarrow-\infty} f(x) = +\infty

2. f : x \mapsto \dfrac{x^2}{x^2+1}
Montrer que pour tout réel x, |f(x) - 1| \le \dfrac{1}{x^2}
En déduire les limites de f(x) en +\infty et en -\infty




exercice 5

Calculs de limites en utilisant les théorèmes relatifs aux opérations sur les fonctions
Calculer les limites de f : x \mapsto 3x^2 + 2x - 5 en +\infty, en -\infty et en -1 .
Calculer les limites de f : x \mapsto \dfrac{2x - 1}{x-1} en +\infty, en -\infty, en 1 .
Calculer les limites de f : x \mapsto \sqrt{x^2 + x} - 3x en -\infty et en +\infty .
Calculer les limites de f : x \mapsto \sqrt{x^2 + 2x} - x en -\infty et en +\infty .





exercice 1.


Pour f_1:
On étudie la limite de chacun des termes
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} x^2}= +\infty\\ \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 3x }= +\infty\\ \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 5 }= 5
Puis en utilisant le tableau des opérations sur les limites (somme) on trouve que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}x^2+3x+5}= +\infty

Pour f_2:
En utilisant le même raisonnement on trouve que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}2x^3+5x^2+4x+1}= +\infty

Pour f_3:
Ici, si on utilise la même méthode on obtient une forme indéterminée car \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}x^2}= +\infty et \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}-5x}= -\infty Pour lever cette indétermination, on factorise par le terme de plus haut degré. On obtient donc :
\text{ pour } x\neq 0\;,\; f_3(x) = x^2 - 5x + 4 = x^2(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2})
On étudie ensuite la limite de chacun des facteurs:
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}x^2}= +\infty
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2}}=1 (car \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} \dfrac{1}{x}}= 0 et \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}\dfrac{1}{x^2}}= 0)
Puis en utilisant le tableau des opérations sur les limites (produit) on trouve que
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}\lim_{x\to +\infty}x^2 - 5x + 4} = +\infty

Pour f_4:
On obtient à nouveau une forme indéterminée. En utilisant la même méthode on trouve que
 \text{ pour } x\neq 0\;,\;f_4(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x +1=x^3(2-\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{1}{x})
On a alors \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 2x^3 - 4x^2 + 7x +1} = +\infty

exercice 2


Pour f :
On étudie la limite de chacun des termes.
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  3x^2}= +\infty
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  5x} = +\infty
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  -7} = -7
On en déduit la limite de f (somme des limites) :
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  f(x) }= +\infty

Pour  g :
On se retrouve ici face à une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination on factorise par le terme de plus haut degré. On trouve alors
\text{pour }x\neq 0\;,\; g(x)=x^2(7-\dfrac{11}{x} + \dfrac{3}{x^2})
On étudie ensuite la limite de chaque terme :
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  x^2}=+\infty
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 7-\frac{11}{x} + \frac{3}{x^2}} = 7 (car \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} \dfrac{11}{x}}= 0 \text{ et } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} \dfrac{3}{x^2}}=0)
Puis on trouve la limite de g comme produit des limites: \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  g(x)} = +\infty

Pour h :
On est ici encore face à une forme indéterminée. En effet:
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  2x+1}= +\infty
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  x-1 }= +\infty
Pour lever l'indétermination, on factorise par le terme de degré le plus haut au numérateur et au dénominateur.
On a alors : \text{ pour } x \neq 0 \;,\; h(x)= \dfrac{ x\times \left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{x\times \left(1-\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{ 2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}
On peut à présent étudier la limite du numérateur et du dénominateur indépendamment:
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}  2+\dfrac{1}{x}}=2
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}1-\dfrac{1}{x}}= 1
Et on trouve la limite de h comme quotient des limites: \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  +\infty}} h(x)= \frac{2}{1}=2



exercice 3

1.
cinq exercices sur les limites avec initiation aux dérivées - première : image 3


2. On sait que la vitesse est définie par la relation suivante : v=\dfrac{d}{t}, où d est la distance parcourue et t le temps qu'il a fallu pour parcourir d. Entre les temps 1 et 3, le point M s'est déplacé de: x(3)-x(1). On a donc

v= \dfrac{x(3)-x(1)}{3-1}=5 m/s.

3. On utilise ici la même relation pour v. La distance parcourue entre les temps 2 et 2+h est x(2+h)-x(2). En remplaçant d et t dans v on trouve:

v=\dfrac{x(2+h)-x(2)}{2+h-2} = \dfrac{(2+h)^2+2+h+1-(2^2+2+1)}{h} = \dfrac{4+4h+h^2+2+1-4-2-1}{h} = \dfrac{5h+h^2}{h} = 5+h

4. D'après l'indication, en remplaçant t0 par 2, on sait que la vitesse instantanée au point 2 est v=\frac{x(2+h)-x(2)}{h} avec h qui tends vers 0

Grâce à la question précédente, on a que v=5+h . Or \displaystyle{\lim_{\substack{h\to 0}} 5+h = 5
D'où la vitesse instantanée au point 2 est 5 m/s

exercice 4

1.a f(x)-x=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
Or pour x>3, on a x-1> 0 \text{ et } x-3 > 0
Donc pour tout x>3, f(x)-x>0 \text{ soit } f(x) > x
\displaystyle{\lim_{\substack{x \to +\infty}} x = +\infty . Or f(x)\ge x
D'après les théorèmes de comparaison on a donc que \displaystyle{\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x) = +\infty

1.b \displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}} x^2= +\infty \text{ et } \displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}} -3x+3=+\infty \text{ donc }\displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=+\infty

2
f(x)-1=\dfrac{1}{x^2+1}=\dfrac{-1}{x^2+1} . On obtient donc :

|f(x)-1|=\dfrac{1}{x^2+1}\le \dfrac{1}{x^2}

Or \displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}}\dfrac{1}{x^2}=\displaystyle{\lim_{\substack{x \to +\infty}}\dfrac{1}{x^2}=0

Donc \displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=\displaystyle{\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=1

exercice 5


Pour f:x \rightarrow 3x^2+2x-5
Pour la limite en -1 : \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -1}} 3x^2= 3 \quad   \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -1}} 2x= -2 \quad  \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -1}} -5= -5
D'où, d'après les opérations sur les limites, \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -1}} f(x)= 3-2-5=-4

Pour la limite en +\infty. On sait que : \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 3x^2= +\infty \quad \displaystyle{\lim_{\substack{x\to+\infty} }2x= +\infty \quad \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} -5= -5
D'où, d'après les opérations sur les limites, \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} f(x)= +\infty

Pour la limite en -\infty on obtient une forme indéterminée. On factorise par le terme de plus haut degré. On obtient alors que :
pour x\neq 0 \quad , \;f(x)=x^2(3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^2})
On peut à présent déterminer cette limite. On sait que :
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} 3=3 \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} \frac{2}{x}= 0 \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} \frac{5}{x^2}= 0 \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} x^2=+\infty
On en déduit, d'après les opérations sur les limites, que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} f(x)=+\infty


Pour f:x \rightarrow \frac{2x-1}{x-1}:
Pour la limite en +\infty. On obtient une forme indéterminée. On factorise donc par le terme de plus haut degré tant au numérateur qu'au dénominateur.
On trouve alors que pour x\neq 0 \quad , \; f(x)=\dfrac{x(2-\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}= \dfrac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}
On peut alors étudier la limite du dénominateur et du numérateur indépendamment. On trouve alors que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  +\infty}} 2-\frac{1}{x}=2 et que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 1-\frac{1}{x}=1
D'où, d'après les opérations sur les limites, \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  +\infty}} \frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{2}{1}=2

Pour la limite en -\infty, on retrouve encore une indétermination. On sait que :
\displaystyle{\lim_{\substack{x\to  -\infty}} 2-\frac{1}{x}=2 \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  -\infty}} 1-\frac{1}{x}=1
D'où d'après les opérations sur les limites, \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  -\infty}} \frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x} }= \frac{2}{1}=2

Pour la limite en 1 :
On sait que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  1} }2x-1=1 et que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  1}} x-1=0
D'où, d'après les opérations sur les limites, \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  1^+}} f(x)=+\infty (limite à droite)
et \displaystyle{\lim_{\substack{x\to  1^-}} f(x)=-\infty (limite à gauche)
Conclusion : f n'admet pas de limite en 1.


Pour f:x \rightarrow \sqrt{x^2+x}-3x
Pour la limite en -\infty, on peut montrer facilement que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}x^2+x=_+\infty et que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty }} -3x=+\infty
Donc : \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty }}f(x)=+\infty

Pour la limite en +\infty, on obtient une forme indéterminée. On cherche une autre écriture possible de la fonction, valide en +\infty.
f(x)=\sqrt{x^2+x}-3x=\dfrac{(\sqrt{x^2+x}-3x)(\sqrt{x^2+x}+3x)}{\sqrt{x^2+x}+3x}

donc : f(x)=\dfrac{-8x^2+x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\dfrac{x(-8x+1)}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)}=\dfrac{-8x+1}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}
Ecrit sous cette forme, on trouve : \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty }}f(x)=-\infty


Pour f:x \rightarrow \sqrt{x^2+x}-x :
Pour la limite en -\infty, on trouve immédiatement que \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty }}f(x)=+\infty

Pour la limite en +\infty, on obtient une forme indéterminée. On cherche une autre écriture possible de la fonction, valide en +\infty.

f(x)=\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}

donc : f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}
Ecrit sous cette forme, on trouve : \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty }}f(x)=\dfrac{1}{2}

Merci à
cinq exercices sur les limites avec initiation aux dérivées - première : image 4
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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