Fiche de mathématiques

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Limites de fonctions

exercice 1

Déterminer la limite lorsque $x$ tend vers + $\infty$ de :
    $f_1(x) = x² + 3x + 5$
    $f_2(x) = 2x³ + 5x² + 4x + 1$
    $f_3(x) = x² - 5x + 4$
    $f_4(x) = 2x³ - 4x² + 7x +1$

exercice 2

Etudier la limite en + $\infty$ des fonctions f,g et h définies :
$\text{ sur } \textbf{R} \text{ par }f(x) = 3x² + 5x - 7$
$\text{ sur } \textbf{R} \text{ par }g(x) = 7x² - 11x + 3$
$\text{ sur } \textbf{R} \setminus {\lbrace 1\rbrace } \text{ par }\text{h}(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$

exercice 3

On donne une droite (D) munie d'un repère (O, $\vec{i}$ ). Un point M se déplace sur cette droite et sa position, en fonction du temps t (en secondes), est définie par son abscisse x(t) (en mètre).
La fonction t $\mapsto$ x(t) est la "loi horaire" du mouvement. On appelle "diagramme des espaces" la représentation graphique de cette fonction dans un plan muni d'un repère ( $\Omega$ , $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).

1. Dessiner le diagramme des espaces lorsque t varie entre 0 et 3, sachant que x(t) = t² + t + 1.
(on représentera une seconde par 1 cm, et un mètre par 1 cm.)

2. Calculer la vitesse du point M entre les dates 1 et 3.

3. Soit h un nombre réel de l'intervalle ]0 ; 1[. Calculer la vitesse moyenne du point M entre les dates 2 et 2+h.

4. Quelle est la vitesse instantanée du point M à la date 2 ?
On rappelle que la vitesse instantanée du point M à la date t₀ est la limite en zéro de la fonction $h \mapsto \dfrac{x(t_0+h)-x(t_0)}{h}$ .

exercice 4

Calculs de limites en utilisant des fonctions de références

1. $f : x \mapsto x^2 - 3x + 3$
a) Montrer que pour $x \ge 3$ , $f(x) \ge x$
En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers + $\infty$
b) Démontrer que :
$\displaystyle \lim_{x\longrightarrow-\infty} f(x) = +\infty$

2. $f : x \mapsto \dfrac{x^2}{x^2+1}$
Montrer que pour tout réel $x$ , $|f(x) - 1| \le \dfrac{1}{x^2}$
En déduire les limites de $f(x)$ en + $\infty$ et en - $\infty$

exercice 5

Calculs de limites en utilisant les théorèmes relatifs aux opérations sur les fonctions
Calculer les limites de $f : x \mapsto 3x^2 + 2x - 5$ en + $\infty$ , en - $\infty$ et en -1 .
Calculer les limites de $f : x \mapsto \dfrac{2x - 1}{x-1}$ en + $\infty$ , en - $\infty$ , en 1 .
Calculer les limites de $f : x \mapsto \sqrt{x^2 + x} - 3x$ en - $\infty$ et en + $\infty$ .
Calculer les limites de $f : x \mapsto \sqrt{x^2 + 2x} - x$ en - $\infty$ et en + $\infty$ .

Voir la correction

exercice 1.

Pour $f_1$ :
On étudie la limite de chacun des termes
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} x^2}= +\infty\\ \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 3x }= +\infty\\ \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 5 }= 5$
Puis en utilisant le tableau des opérations sur les limites (somme) on trouve que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}x^2+3x+5}= +\infty$

Pour $f_2$ :
En utilisant le même raisonnement on trouve que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}2x^3+5x^2+4x+1}= +\infty$

Pour $f_3$ :
Ici, si on utilise la même méthode on obtient une forme indéterminée car $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}x^2}= +\infty$ et $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}-5x}= -\infty$ Pour lever cette indétermination, on factorise par le terme de plus haut degré. On obtient donc :
$\text{ pour } x\neq 0\;,\; f_3(x) = x^2 - 5x + 4 = x^2(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2})$
On étudie ensuite la limite de chacun des facteurs:
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}x^2}= +\infty$
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2}}=1$ (car $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} \dfrac{1}{x}}= 0$ et $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}\dfrac{1}{x^2}}= 0$ )
Puis en utilisant le tableau des opérations sur les limites (produit) on trouve que
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}\lim_{x\to +\infty}x^2 - 5x + 4} = +\infty$

Pour $f_4$ :
On obtient à nouveau une forme indéterminée. En utilisant la même méthode on trouve que
$\text{ pour } x\neq 0\;,\;f_4(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x +1=x^3(2-\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{x^2}+\dfrac{1}{x})$
On a alors $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 2x^3 - 4x^2 + 7x +1} = +\infty$

exercice 2

Pour $f$ :
On étudie la limite de chacun des termes.
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 3x^2}= +\infty$
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 5x} = +\infty$
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} -7} = -7$
On en déduit la limite de f (somme des limites) :
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} f(x) }= +\infty$

Pour $g$ :
On se retrouve ici face à une forme indéterminée. Pour lever l'indétermination on factorise par le terme de plus haut degré. On trouve alors
$\text{pour }x\neq 0\;,\; g(x)=x^2(7-\dfrac{11}{x} + \dfrac{3}{x^2})$
On étudie ensuite la limite de chaque terme :
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} x^2}=+\infty$
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 7-\frac{11}{x} + \frac{3}{x^2}} = 7$ (car $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} \dfrac{11}{x}}= 0 \text{ et } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} \dfrac{3}{x^2}}=0$ )
Puis on trouve la limite de $g$ comme produit des limites: $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} g(x)} = +\infty$

Pour $h$ :
On est ici encore face à une forme indéterminée. En effet:
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 2x+1}= +\infty$
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} x-1 }= +\infty$
Pour lever l'indétermination, on factorise par le terme de degré le plus haut au numérateur et au dénominateur.
On a alors : $\text{ pour } x \neq 0 \;,\; h(x)= \dfrac{ x\times \left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{x\times \left(1-\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{ 2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}$
On peut à présent étudier la limite du numérateur et du dénominateur indépendamment:
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 2+\dfrac{1}{x}}=2$
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}1-\dfrac{1}{x}}= 1$
Et on trouve la limite de $h$ comme quotient des limites: $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} h(x)= \frac{2}{1}=2$

exercice 3

cinq exercices sur les limites avec initiation aux dérivées - première : image 3

2. On sait que la vitesse est définie par la relation suivante : $v=\dfrac{d}{t}$ , où d est la distance parcourue et t le temps qu'il a fallu pour parcourir d. Entre les temps 1 et 3, le point M s'est déplacé de: $x(3)-x(1)$ . On a donc

$v= \dfrac{x(3)-x(1)}{3-1}=5$ m/s.

3. On utilise ici la même relation pour v. La distance parcourue entre les temps 2 et 2+h est $x(2+h)-x(2)$ . En remplaçant d et t dans v on trouve:

$v=\dfrac{x(2+h)-x(2)}{2+h-2} = \dfrac{(2+h)^2+2+h+1-(2^2+2+1)}{h} = \dfrac{4+4h+h^2+2+1-4-2-1}{h} = \dfrac{5h+h^2}{h} = 5+h$

4. D'après l'indication, en remplaçant t₀ par 2, on sait que la vitesse instantanée au point 2 est $v=\frac{x(2+h)-x(2)}{h}$ avec h qui tends vers 0

Grâce à la question précédente, on a que $v=5+h$ . Or $\displaystyle{\lim_{\substack{h\to 0}} 5+h = 5$
D'où la vitesse instantanée au point 2 est 5 m/s

exercice 4

1.a $f(x)-x=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
Or pour $x>3$ , on a $x-1> 0 \text{ et } x-3 > 0$
Donc pour tout $x>3$ , $f(x)-x>0 \text{ soit } f(x) > x$
$\displaystyle{\lim_{\substack{x \to +\infty}} x = +\infty$ . Or $f(x)\ge x$
D'après les théorèmes de comparaison on a donc que $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to +\infty}} f(x) = +\infty$

1.b $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}} x^2= +\infty \text{ et } \displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}} -3x+3=+\infty \text{ donc }\displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=+\infty$

2
$f(x)-1=\dfrac{1}{x^2+1}=\dfrac{-1}{x^2+1}$ . On obtient donc :

$|f(x)-1|=\dfrac{1}{x^2+1}\le \dfrac{1}{x^2}$

Or $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}}\dfrac{1}{x^2}=\displaystyle{\lim_{\substack{x \to +\infty}}\dfrac{1}{x^2}=0$

Donc $\displaystyle{\lim_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=\displaystyle{\lim_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=1$

exercice 5

Pour $f:x \rightarrow 3x^2+2x-5$
Pour la limite en -1 : $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -1}} 3x^2= 3 \quad \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -1}} 2x= -2 \quad \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -1}} -5= -5$
D'où, d'après les opérations sur les limites, $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -1}} f(x)= 3-2-5=-4$

Pour la limite en $+\infty$ . On sait que : $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 3x^2= +\infty \quad \displaystyle{\lim_{\substack{x\to+\infty} }2x= +\infty \quad \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} -5= -5$
D'où, d'après les opérations sur les limites, $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} f(x)= +\infty$

Pour la limite en $-\infty$ on obtient une forme indéterminée. On factorise par le terme de plus haut degré. On obtient alors que :
pour $x\neq 0 \quad , \;f(x)=x^2(3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^2})$
On peut à présent déterminer cette limite. On sait que :
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} 3=3 \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} \frac{2}{x}= 0 \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} \frac{5}{x^2}= 0 \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} x^2=+\infty$
On en déduit, d'après les opérations sur les limites, que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} f(x)=+\infty$

Pour $f:x \rightarrow \frac{2x-1}{x-1}$ :
Pour la limite en $+\infty$ . On obtient une forme indéterminée. On factorise donc par le terme de plus haut degré tant au numérateur qu'au dénominateur.
On trouve alors que pour $x\neq 0 \quad , \; f(x)=\dfrac{x(2-\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}= \dfrac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$
On peut alors étudier la limite du dénominateur et du numérateur indépendamment. On trouve alors que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 2-\frac{1}{x}=2$ et que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} 1-\frac{1}{x}=1$
D'où, d'après les opérations sur les limites, $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}} \frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{2}{1}=2$

Pour la limite en $-\infty$ , on retrouve encore une indétermination. On sait que :
$\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} 2-\frac{1}{x}=2$ $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} 1-\frac{1}{x}=1$
D'où d'après les opérations sur les limites, $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}} \frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x} }= \frac{2}{1}=2$

Pour la limite en 1 :
On sait que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1} }2x-1=1$ et que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1}} x-1=0$
D'où, d'après les opérations sur les limites, $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1^+}} f(x)=+\infty$ (limite à droite)
et $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1^-}} f(x)=-\infty$ (limite à gauche)
Conclusion : $f$ n'admet pas de limite en 1.

Pour $f:x \rightarrow \sqrt{x^2+x}-3x$
Pour la limite en $-\infty$ , on peut montrer facilement que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}x^2+x=_+\infty$ et que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty }} -3x=+\infty$
Donc : $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty }}f(x)=+\infty$

Pour la limite en $+\infty$ , on obtient une forme indéterminée. On cherche une autre écriture possible de la fonction, valide en $+\infty.$
$f(x)=\sqrt{x^2+x}-3x=\dfrac{(\sqrt{x^2+x}-3x)(\sqrt{x^2+x}+3x)}{\sqrt{x^2+x}+3x}$

donc : $f(x)=\dfrac{-8x^2+x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\dfrac{x(-8x+1)}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)}=\dfrac{-8x+1}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}$
Ecrit sous cette forme, on trouve : $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty }}f(x)=-\infty$

Pour $f:x \rightarrow \sqrt{x^2+x}-x$ :
Pour la limite en $-\infty$ , on trouve immédiatement que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty }}f(x)=+\infty$

Pour la limite en $+\infty$ , on obtient une forme indéterminée. On cherche une autre écriture possible de la fonction, valide en $+\infty.$

$f(x)=\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}$

donc : $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$
Ecrit sous cette forme, on trouve : $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty }}f(x)=\dfrac{1}{2}$
Merci à

cinq exercices sur les limites avec initiation aux dérivées - première : image 4

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Publié par Tom_Pascal le 13-01-2020

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