Fiche de mathématiques
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Statistiques

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Prérequis
Dans ce chapitre tu auras besoin de bien connaître ton cours de 2nd sur les statistiques et de savoir l'utiliser.

Enjeu
Le but ici est de compléter tes connaissances que tu as pu acquérir sur les statistiques en reprenant certaines notions déjà connues (quartile, médiane et moyenne) et en les complétant.
A l'issue de ce chapitre, tu devras être capable de savoir calculer les différents indicateurs à la main et à la calculatrice mais également savoir interpréter les résultats obtenus et, au besoin, comparer des séries entre elles.

I. Diagramme en boîte


En classe de 2nde, on a défini les notions de quartiles et revu ce qu'était la médiane d'une série statistique. On va reprendre ces valeurs pour fournir une représentation synthétique de la série et ainsi être en mesure de voir très rapidement si une série est plutôt concentrée ou au contraire dispersée.
On va, pour cela, représenter sur un axe gradué, le minimum, le 1er quartile, la médiane, le 3ème quartile et le maximum de la série statistique. On obtient alors un graphique de la forme :
Cours de Stastiques : image 1


Ce type de représentation est appelé « diagramme en boîte » ou « boîte à moustaches ».
Construisons à l'aide d'un exemple un tel diagramme.

Voici les notes à un devoir de quelques élèves d'une classe :
12 - 10 - 15 - 9 - 13 - 10 - 17 - 14 - 11

Tout d'abord, on réordonne cette série : 9 - 10 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 17
Il y a 9 valeurs. \frac{9}{4} = 2,25 donc Q1 est la 3ème valeurs, soit Q1 = 10

3 \times \frac{9}{4} = 6,75 donc Q3 est la 7ème valeur soit Q3 = 14.

Il y a 9 valeurs, donc la médiane est la 5ème c'est-à-dire 12.
On obtient alors le diagramme en boîte suivant :
Cours de Stastiques : image 2


Sur cet exemple, on constate qu'environ la moitié des élèves de ce groupe ont une note comprise entre 10 et 13 mais moins d'un quart des élèves ont obtenu une note supérieure à 13.
Définition
On considère une série statistique dont le premier et troisième quartile sont Q1et Q3.

On appelle intervalle interquartile de la série, l'intervalle [Q1;Q3] et écart interquartile le nombre Q3-Q1.

Dans l'exemple :
l'intervalle interquartile est [10 ;13]
l'écart interquartile est 13 - 10 = 3

Les diagrammes en boîte sont très pratique pour comparer des séries statistiques de tailles différentes puisque les quartiles et médianes dépendent de celles-ci et non des valeurs extrêmes.

II. Variance et écart-type


On a vu l'année dernière que la moyenne d'une série statistique permet de « résumer » la série mais on n'a alors aucune information sur la dispersion des valeurs. Il a donc fallu trouver un moyen de mesurer cette dispersion. C'est le rôle que va remplir l'écart-type.
On va considérer dans les définitions et propriétés qui vont suivre la série statistique suivante :

Valeurs x1 x1 ... x1 Total
Effectif n1 n1 ... n1 N


Définition
On appelle \bar{x} la moyenne de la série statistique.
On appelle variance de la série statistique le nombre :

V=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}{n_i(x_i-\bar{x})}^2

et l'écart-type le nombre \sigma = \sqrt{V}

Reprenons l'exemple de la première partie :
Notes 9 10 11 12 13 14 15 17
Effectifs 1 2 1 1 1 1 1 1


La moyenne de la série est \bar{x}=\frac{9+10+10+..+17}{9} = \frac{37}{3}.
Ainsi la variance de la série statistique est :

V=\frac{1}{9}(1 \times (9-\frac{37}{3})^2+2 \times (10-\frac{37}{3})^2+...+1 \times (17-\frac{37}{3})^2)=\frac{56}{9}

Et l'écart-type est :
\sigma = \sqrt{ \frac{56}{9} } = \frac{2\sqrt{14}}{3} \approx 2,49

Remarque : L'intérêt majeur de l'écart-type est d'être exprimé dans la même unité que les valeurs de la série, ce qui n'est pas le cas de la variance du fait de la présence des carrés dans sa définition.
Propriété
On peut également calculer la variance d'une série statistique à l'aide de la formule suivante :

V=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}{n_i x_i^2-\bar{x}^2}

On applique cette formule à l'aide de l'exemple initial :
V=\frac{1}{9}(1×9^2+2 \times 10^2+...1 \times 17^2)-(\frac{37}{3})^2=\frac{56}{9}
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