Fiche de mathématiques
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Trois exercices

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Fiche relue en 2016

Quelques définitions:

La médiane: on appelle médiane d'une série statistique la valeur de la variable telle que le nombre des valeurs qui lui sont inférieures est égal au nombre des valeurs qui lui sont supérieures.
exemple: 4 5 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 // 9 11 11 12 12 13 13 13 14 15 15 15 16 16

La moyenne pondérée tient compte des coefficients.

L'écart type et la variance sont deux mesures de dispersion des observations d'une variable quantitative.
La variance V d'une série est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
L'écart type \sigma d'une série statistique est la racine carrée de la variance V.



exercice 1

Au cours du premier trimestre, deux élèves ont obtenu les notes suivantes en mathématiques:
élève A: 3; 12; 8; 16; 11.
élève B: 10; 7; 8; 13; 12.
Pour chacune de ces deux séries, calculer;
    a) la moyenne \bar{\text{x}};
    b) la distance de chaque note à la moyenne;
    c) la moyenne des carrés de ces distances, que l'on notera V;
    d) le nombre \sigma = \sqrt{\text{V}}



exercice 2

On relève la taille des élèves d'un établissement scolaire. On obtient:
Tailles [145; 155[ [155; 165[ [165; 175[ [175; 185[ [185; 200[
Effectifs 25 73 84 64 4

Calculer l'écart type.



exercice 3

Le tableau ci-dessous résume le volume des transactions pour les valeurs à terme lors de 100 journées consécutives de Bourse:
Volumes des transactions
(en millions de francs)
[80; 100[ [100;120[ [120; 130[ [130; 140[ [140; 160[ [160; 170[
Nombres de journées 12 14 23 28 18 5

Déterminer:
    a) la moyenne et l'écart type;
    b) la médiane.





exercice 1

Moyenne de A :

\frac{3+12+8+16+11}{5}=\frac{50}5=10
Moyenne de B :

\frac{10+7+8+13+12}{5}=\frac{50}5=10


Les réponses aux questions b) et c) sont données dans les tableaux suivants :

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c||c|}\text{élève A }&&&&&&\text{moyennes}\\ \hline \text{notes }&3&12&8&16&11&10\\ \hline\text{ distances à la moyenne}&7&2&2&6&1&3,\!6\\ \hline\text{ carré des distances }&49&4&4&36&1&18,\!8\\ \end{array}

On a donc pour A : V=18,\!8 $  et $ \sigma=\sqrt{V}\simeq 4,\!3

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c||c|}\text{ élève B}&&&&&&\text{moyennes}\\ \hline \text{notes }&10&7&8&13&12&10\\ \hline\text{ distances à la moyenne}&0&3&2&3&2&2\\ \hline\text{ carré des distances }&0&9&4&9&4&5,\!2\\ \end{array}

On a donc pour B : V=5,\!2 $  et $ \sigma=\sqrt{V}\simeq 2,\!3

exercice 2

Dans ce type de situation, il est impossible de calculer la moyenne et l'écart-type.
Pour les besoins de l'exercice on fait l'hypothèse que toutes les valeurs d'un intervalle sont au centre de l'intervalle. Sauf tricherie dans le choix des bornes des intervalles, on obtient une bonne estimation de la moyenne, mais l'écart-type est sous estimé.

Ce qui est attendu comme réponse à ce type d'exercice :
On remplace le tableau
tailles [145; 155[ [155; 165[ [165; 175[ [175; 185[ [185; 200[
Effectifs
25
73
84
64
4
par le tableau
tailles
150
160
170
180
192,5
Effectifs
25
73
84
64
4
obtenu en remplaçant chaque intervalle par son centre.

On fait ensuite le calcul avec ce tableau et on trouve un écart-type environ égal à 10,1.

exercice 3

Comme dans l'exercice précédent, on n'a pas assez de données pour répondre aux questions.
Pour la question a) on remplace le tableau
Volumes des transactions [80; 100[ [100;120[ [120; 130[ [130; 140[ [140; 160[ [160; 170[
Nombres de journées 12 14 23 28 18 5
par
Volumes des transactions 90 110 125 135 150 165
Nombres de journées 12 14 23 28 18 5
On fait alors le calcul de la moyenne et de l'écart-type avec ce tableau.
On trouve une moyenne de 128 et un écart-type d'environ 10,8 Pour trouver une estimation de la médiane, on cherche la valeur associée au jour numéro 50,5.
On regarde alors la courbe des fréquences cumulées croissantes.
Il est possible (et recommandé ) de faire une lecture graphique. (voir la figure ci-dessous)
Sinon le calcul à faire est une interpolation linéaire.

On voit que 49 journées ont un volume inférieur à 130 et que 77 ont un volume inférieur à 140. On cherche l'ordonnée du point d'abscisse 50,5 sur la droite passant par les points de coordonnées (130;49) et (140;77). Il faut alors se souvenir que sur une droite quelconque, l'accroissement des ordonnées est proportionnel à l'accroissement des abscisses. On fait un tableau de proportionnalité :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{nombre de jours} &28&1,\!5\\ \hline \text{volume}&10&\Delta x\\ \hline\end{array}

On a donc

\Delta x=\frac{1,5\times 10}{28}\simeq 0,\!54
et la médiane est estimée à 130+0,54environegal130,5. Dernier rappel : ce calcul n'a pas de sens en pratique, mais on vous demande de savoir le faire.
En particulier parce qu'il peut avoir un sens dans d'autres contextes.
Variance et écart type : image 1
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verdurin
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