Fiche de mathématiques

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Les Suites : 9 Exercices

exercice 1

La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r.
1. On donne : u₅ = 7, r = 2.
Calculer u₁, u₂₅ et u₁₀₀.
2. On donne : u₃ = 12, u₈ = 0.
Calculer r, u₀ et u₁₈.
3. On donne : u₇ = $\dfrac{7}{2}$ , u₁₃ = $\dfrac{13}{2}$ .
Calculer u₀.

exercice 2

La suite (u_n) est une suite géométrique de raison q.
1. On donne : u₁ = 3 et q = -2.
Calculer u₄, u₈ et u₁₂.
2. On donne u₃ = 2 et u₇ = 18.
Calculer u₀, u₁₅ et u₂₀.

exercice 3

(u_n) est une suite arithmétique telle que u₂ + u₃ + u₄ = 15 et u₆ = 20.
Calculer son premier terme u₀ et sa raison r.

exercice 4

Déterminer sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 7³.

exercice 5

Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u₀ = 2 et, $n$ étant un nombre entier, $\displaystyle \sum_{i = 3}^{i = n} u_i = 6456$
Calculer $n$ .

exercice 6

Déterminer quatre termes consécutifs d'une suite arithmétique sachant que leur somme est 12 et la somme de leurs carrés est 116.

exercice 7

Une suite géométrique v est croissante et ses termes sont strictement négatifs.
1. Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 < b < 1.
2. On suppose que $v_1 v_3 = \dfrac{4}{9}$ et $v_1 + v_2 + v_3 = -\dfrac{19}{9}$ .
Calculer v₁, v₂, v₃ et b.

exercice 8

Calculer les sommes S et S'.
S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098
$S' = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \cdots + \dfrac{2}{59049}$

exercice 9

Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 1985, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?

Correction

exercice 1

Rappels :

Si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, alors pour tout entier naturel n, u_n = u₀ + nr.
Si (u_n) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p, u_n = u_p + (n-p)r

1. On a :
u₅ = u₁ + (5 - 1)r, donc u₁ = u₅ - 4r = 7 - 4 × 2 = 7 - 8 = -1
Donc : u₁ = -1

u₂₅ = u₅ + (25 - 5)r = 7 + 20 × 2 = 7 + 40 = 47
Donc : u₂₅ = 47

u₁₀₀ = u₅ + (100 - 5)r = 7 + 95 × 2 = 7 + 190 = 197
Donc : u₁₀₀ = 197

2. On a :
u₈ = u₃ + (8 - 3)r = u₃ + 5r, donc : 0 = 12 + 5r
soit : r = $-\dfrac{12}{5}$

u₃ = u₀ + 3r, donc u₀ = u₃ - 3r = 12 - 3 × $-\dfrac{12}{5} = \dfrac{60}{5} + \dfrac{36}{5} = \dfrac{96}{5}$
Donc : u₀ = $\dfrac{96}{5}$

u₁₈ = u₀ + 18r = $\dfrac{96}{5} + 18 \times \left(-\dfrac{12}{5}\right) = \dfrac{96}{5} - \dfrac{216}{5} = -\dfrac{120}{5} = -24$
Donc : u₁₈ = -24

3. On a :
u₇ = u₀ + 7r, donc $r = \dfrac{u_7 - u_0}{7}$
De plus, u₁₃ = u₀ + 13r, donc u₁₃ = u₀ + 13 × $\dfrac{u_7 - u_0}{7}$ , donc :
7u₁₃ = 7u₀ + 13(u₇ - u₀)
7u₁₃ = 7 u₀ + 13u₇ - 13u₀
7u₁₃ = -6u₀ + 13u₇
$u_0 = \dfrac{7u_{13} - 13u_7}{-6} = \dfrac{7 \times \frac{13}{2} - 13 \times \dfrac72}{-6}$
Donc : u₀ = 0

exercice 2

Rappels :

Si (u_n) est une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q, alors pour tout entier naturel n, u_n = u₀qⁿ
Si (u_n) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p, u_n = u_p q^n-p

1. On a :
u₄ = u₁ q^{4 - 1} = u₁ q³ = 3 × (-2)³ = 3 × (-8) = -24
Donc : u₄ = -24

u₈ = u₁ q^{8 - 1} = u₁ q⁷ = 3 × (-2)⁷ = 3 × (-128) = -384
Donc : u₈ = -384

u₁₂ = u₁ q^{12 - 1} = u₁ q¹¹ = 3 × (-2)¹¹ = 3 × (-2 048) = -6 144
Donc : u₁₂ = -6 144

2. Déterminons q :
u₇ = u₃ q⁴, donc $q^4 = \dfrac{u_7}{u_3} = \dfrac{18}{2} = 9$ .
Donc q² = 3. On a alors deux possibilités pour la raison q : $q = -\sqrt{3} \text{ ou } q = \sqrt{3}$ .

Si $q = -\sqrt{3}$ , alors :
u₃ = u₀ q³, donc u₀ = $\dfrac{u_3}{q^3} = \dfrac{2}{\left(-\sqrt{3}\right)^3}$
$u_0 = - \dfrac{2}{3\sqrt{3}} = - \dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = - \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
u₁₅ = u₀ q¹⁵ = $- \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(-\sqrt{3}\right)^{15} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^7 \times \left(-\sqrt{3}\right)^{2 \times 7 + 1}$
$= -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^7 \times 3^7 \times \left(-\sqrt{3}\right) \\ = \dfrac{2 \times 3 \times 3^7}{3^2}$
= 2 × 3⁶ = 1 458

u₂₀ = u₀ q²⁰ = $-\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(-\sqrt{3}\right)^{20} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(-\sqrt{3}\right)^{2 \times 10} =-\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^{10}$
$=-\dfrac{2\sqrt{3} \times 3^{10}}{3^2} = -2\sqrt{3} \times 3^8 = -13\,122\sqrt{3}$
Donc : si $q = -\sqrt{3}$ , alors $u_0 = - \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ , u₁₅ = 1 458 et $u_{15} = - 13\,122\sqrt{3}$

Si $q = \sqrt{3}$ , alors :
u₃ = u₀ q³, donc u₀ = $\dfrac{u_3}{q^3} = \dfrac{2}{\left(\sqrt{3}\right)^3} = \dfrac{2}{3\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
u₁₅ = u₀ q¹⁵ = $\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(\sqrt{3}\right)^{15} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^7 \times \left(\sqrt{3}\right)^{2 \times 7 + 1}$
$= \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^7 \times 3^7 \times \sqrt{3}\\ = \dfrac{2 \times 3 \times 3^7}{3^2}$
= 2 × 3⁶ = 1 458

u₂₀ = u₀ q²⁰ = $\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(\sqrt{3}\right)^{20} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times \left(\sqrt{3}\right)^{2 \times 10} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \times 3^{10}$
$=\dfrac{2\sqrt{3} \times 3^{10}}{3^2} = 2\sqrt{3} \times 3^8 = 13\,122\sqrt{3}$
Donc : si $q = \sqrt{3}$ , alors $u_0 = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ , u₁₅ = 1 458 et $u_{15} = 13\,122\sqrt{3}$

exercice 3

(u_n) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₀, donc :
u₂ = u₀ + 2r, u₃ = u₀ + 3r, u₄ = u₀ + 4r et u₆ = u₀ + 6r.
On obtient alors le système suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_2 + u_3 + u_4 & 15\\ u_6 & 20 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} 3u_0 + 9r = 15 \\ u_0 + 6r = 20 \\ \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0 + 3r & 5\\u_0 + 6r & 20 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} u_0 = 5 - 3r \\ u_0 = 20 - 6r \\ \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0 & 5 - 3r\\5 - 3r & 20 - 6r \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} u_0 = 5 - 3r \\ r = 5 \\ \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u_0 & -10 \\ r & 5\right. \\ \end{array} \right.$
D'où : u₀ = -10 et r = 5.
Pour tout entier naturel n, u_n = -10 + 5n.

exercice 4

Déterminons sept nombres impairs consécutifs dont la somme est 7³ :
La suite des impairs peut être notée: u_n = 2n + 1, pour tout entier n.
On cherche donc l'entier p (et u_p) tel que : u_p + u_p+1 + u_p+2 + u_p+3 + ... + u_p+6 = 7³ = 343.
Or, u_p + u_p+1 + u_p+2 + ... + u_p+6 = (2p + 1) + (2p + 3) + ... + (2p + 13) = 7 × 2p + (1 + 3 + 5 + ... + 13.
Or, 1 + 3 + 5 + ... + 13 = 7 $\left(1 + \dfrac{6 \times 2}{2}\right)$ = 49, somme des 7 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
Ainsi : 14p + 49 = 7³ = 343 , soit p = 21; puis u_p = 43.
D'où : les sept nombres recherchés sont : 43, 45, 47, 49, 51, 53 et 55.

exercice 5

$S_n = u_3 + ... + u_n = (n-2) \left[u_3 + \dfrac{(n-3)r}{2} \right]$ , u₃ = 2 + 3 × 5 = 17
On cherche donc n tel que : $(n-2) \left(17 + \dfrac{5(n-3)}{2} \right) = 6456$ ; soit encore : (n - 2)(5n + 19) = 12 912. Il faut donc trouver les racines du polynôme 5n² + 9n - 12950 = 0 :
$n_1 = \dfrac{-9 - 509}{10} = 51,8$ qui n'est pas un entier ! et $n_2 = \dfrac{-9+509}{10} = 50$

exercice 6

Soit (u_n) une telle suite de premier terme u₀ et de raison r.
Il existe k tel que : $u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + u_{k+3} = 12$ et $u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = 116$
Or : $u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + u_{k+3} = 4u_k + 6r$ et $u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = u_k^2 + (u_k+r)^2 + (u_k+2r)^2 + (u_k+3r)^2$
$u_k^2 + u_{k+1}^2 + u_{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = 4u_k^2 + 12u_kr + 14r^2 \\ u_k^2 + u_{k+1}^2 + u _{k+2}^2 + u_{k+3}^2 = (2u_k+3r)^2 + 5r^2$
Or 4u_k + 6r = 12 donc 2u_k + 3r = 6
Ainsi : 6² + 5r² = 116
Soit : $r = \pm 4$
Puis 2u_k + 3r = 6 donc u_k = -3 ou u_k = 9
Ainsi : -3 , 1 , 5 , 9 conviennent ainsi que : 9 , 5 , 1 , -3.

exercice 7

Si (v_n) est une suite géométrique de premier terme v₀ et de raison b, alors pour tout entier n : v_n = v₀bⁿ.

1. Si (v_n) est croissante et ses termes sont strictement négatifs alors $0 < \dfrac{v_{n+1}}{v_n} < 1$ , c'est-à-dire 0 < b < 1.

2. v₁v₃ = v₁² b² et $v_1 + v_2 + v_3 = v_1\dfrac{1-b^3}{1-b}$ ; 1 - b³ = (1 - b)(1 + b + b²)
On obtient donc le système :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} v_1^2 b^2 & \dfrac{4}{9} \\ v_1(1 + b + b^2) & -\dfrac{19}{9} \\ \end{array} \right.$ soit encore : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {v_1b & \pm \dfrac{2}{3} \\ \pm \dfrac{2(1+b+b^2)}{3b} & -\dfrac{19}{9}} \\ \end{array} \right.$
Soit 6b² + 25b + 6 = 0 ou 6b² - 13b + 6 = 0
La première équation a deux solutions négatives (cf première questions)
Donc $b = \dfrac{2}{3}$ .
v₁ = -1 ; v₂ = $-\dfrac{2}{3}$ ; v₃ = $-\dfrac{4}{9}$ .

exercice 8

S = 2 + 6 + 18 + ... + 118 098
S est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.
u₀ = 2 ; u₁ = 2 × 3 ; u₂ = 2 × 3² ... 118 098 = 2 × 59 049 = 2 × 3¹⁰.
$S = u_0 + u_1 + ... + u_10 = u_0 \dfrac{1-3^{11}}{1-3} = 177~146$ .
$S' = 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + ... + \dfrac{2}{59049}$
S' est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison $\dfrac{1}{3}$ .
De plus : 59049 = 3¹⁰. Donc $S' = 2\dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{11}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{177~146}{59~049}$ .

exercice 9

En 1985 le prix du livre est u₀ = 150. En 1986 il vaut : u₁ = 150 × 0,88, ... ; en 1990 (donc 5 ans après), il vaut : u₅ = 150 × 0,88⁵ = 79,2 F.
Et en 1995, il ne vaut plus que : u₁₀ = 150 × 0,88¹⁰ = 41,8 F.

Publié par Tom_Pascal le 17-04-2020

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