Fiche de mathématiques
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Vecteurs dans l'espace

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exercice 1

Dans le cube ABCDEFGH, le point I est le centre de la face ABCD et le point J celui de la face BCGF.
quatre exercices sur les vecteurs dans l'espace : vecteurs colinéaires, coplanaires - seconde : image 1

Démontrer que les vecteurs \overrightarrow{AF} et \overrightarrow{JI} sont colinéaires.



exercice 2

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. I est le centre de la face EHDA et J celui de la face FBCG.
quatre exercices sur les vecteurs dans l'espace : vecteurs colinéaires, coplanaires - seconde : image 2

Démontrer, de deux façons différentes, que les vecteurs \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{IJ}, \overrightarrow{HF} sont coplanaires.



exercice 3

Les points A et B ont pour coordonnées respectives (2; -3; 5) et (3; 1; -2) dans le repère (0; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.

2. Calculer les coordonnées du vecteur 5\overrightarrow{BA}.



exercice 4

Le point A a pour coordonnées (-4; 2; -3) dans le repère (0; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}).
Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées (2; 1; 5) dans la base (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}).
Quelles sont les coordonnées du point B ?



exercice 1

\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CI}
\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FC} et \overrightarrow{CI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}
donc \overrightarrow{JI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{FA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}. Les vecteurs \overrightarrow{JI} et \overrightarrow{AF} sont donc colinéaires.



exercice 2

\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IJ}.
Les vecteurs \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{HF} sont donc coplanaires.



exercice 3

1. \overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) ; \overrightarrow{AB}(3-2,1+3,2-5) ; [tex]\overrightarrow{AB}(1,4,-7)
2. \overrightarrow{BA}(-1,-4,7) et 5\overrightarrow{BA}(-5,-20,35).



exercice 4

A(-4,2,-3) et \overrightarrow{AB}(2,1,5)
donc :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_B-x_A&2 \\ y_B-y_A&1 \\ z_B-z_A&5 \\ \end{array} \right.
C'est à dire :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_B & x_A+2\\y_B & y_A+1 \\ z_B & z_A+5 \\ \end{array} \right.
Calculons :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_B & -4+2\\y_B & 2+1 \\ z_B & -3+5 \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_B & -2\\y_B & 3 \\ z_B & 2 \\ \end{array} \right.
donc B(-2,3,2).
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