Vecteurs dans l'espace

exercice 1

Dans le cube ABCDEFGH, le point I est le centre de la face ABCD et le point J celui de la face BCGF.

quatre exercices sur les vecteurs dans l'espace : vecteurs colinéaires, coplanaires - seconde : image 1

Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{JI}$ sont colinéaires.

exercice 2

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. I est le centre de la face EHDA et J celui de la face FBCG.

quatre exercices sur les vecteurs dans l'espace : vecteurs colinéaires, coplanaires - seconde : image 2

Démontrer, de deux façons différentes, que les vecteurs $\overrightarrow{CB}$ , $\overrightarrow{IJ}$ , $\overrightarrow{HF}$ sont coplanaires.

exercice 3

Les points A et B ont pour coordonnées respectives (2; -3; 5) et (3; 1; -2) dans le repère (0; $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ ).

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

2. Calculer les coordonnées du vecteur $5\overrightarrow{BA}$ .

exercice 4

Le point A a pour coordonnées (-4; 2; -3) dans le repère (0; $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ ).
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées (2; 1; 5) dans la base ( $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ ).
Quelles sont les coordonnées du point B ?

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exercice 1

$\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CI}$
$\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FC}$ et $\overrightarrow{CI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$
donc $\overrightarrow{JI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{FA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{JI}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont donc colinéaires.

exercice 2

$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IJ}$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{CB}$ , $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{HF}$ sont donc coplanaires.

exercice 3

1. $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ ; $\overrightarrow{AB}(3-2,1+3,2-5) ; [tex]\overrightarrow{AB}(1,4,-7)$
2. $\overrightarrow{BA}(-1,-4,7)$ et $5\overrightarrow{BA}(-5,-20,35)$ .

exercice 4

A(-4,2,-3) et $\overrightarrow{AB}(2,1,5)$
donc :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_B-x_A&2 \\ y_B-y_A&1 \\ z_B-z_A&5 \\ \end{array} \right.$
C'est à dire :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_B & x_A+2\\y_B & y_A+1 \\ z_B & z_A+5 \\ \end{array} \right.$
Calculons :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_B & -4+2\\y_B & 2+1 \\ z_B & -3+5 \\ \end{array} \right.$

$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_B & -2\\y_B & 3 \\ z_B & 2 \\ \end{array} \right.$
donc B(-2,3,2).

Publié par Tom_Pascal le 07-01-2021

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