Fiche de mathématiques

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Droites et plans

I. Equation d'un plan

Deux méthodes sont à utiliser pour déterminer l'équation d'un plan :

1. Première méthode

Tout plan de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d = 0$ .
On doit alors :
1. Déterminer un point $A$ appartenant à ce plan.
2. Chercher un vecteur normal à ce plan.
3. Donner la forme générale de l'équation du plan.
4. Trouver $d$ en remplaçant les coordonnées de $A$ dans cette équation.

Retenir que :

Si le plan est défini par trois points A, B et C, alors le vecteur normal $\vec{n}$ vérifie : $\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0$ .
Si le plan est défini par un point et deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ alors $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v}=0$ .
Si un plan est :
Défini par un point,
Parallèle à un autre plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ ,
Alors ce plan a pour équation $ax+by+cz+f=0$ .

Exemple d'application :
Dans l'espace orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on donne les points A(0, 1, 2), B(1, -2, 0) et C(3, 0, 1).
$\longrightarrow$ Trouver une équation du plan (ABC).

Réponse :
On sait que A(0, 1, 2) $\in$ (ABC) et que le vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ vérifie : $\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0$ .
Trouvons les coordonnées de $\overrightarrow{\text{AB}}$ et de $\overrightarrow{\text{AC}}$ :
On a : $\overrightarrow{\text{AB}}(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}(x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A)$ .
Donc : $\overrightarrow{\text{AB}}(1,-3,-2)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}(3,-1,-1)$
On obtient alors le système: $\left \lbrace \begin{array}{l} a- 3b - 2c = 0\\ 3a - b - c = 0 \\ \end{array} \right.$
En prenant arbitrairement $a=1$ , on trouve : $b=-5$ et $c=8$ .
$\vec{n}(1,-5,8)$ est donc normal à (ABC).
Jusqu'à présent, on sait que le plan (ABC) a pour équation : $x-5y+8z+d=0$ .
Puisque A(0, 1, 2) $\in$ (ABC), on peut donc remplacer ses coordonnées dans l'équation pour obtenir : $-5+16+d=0$
On en tire que : $d=-11$ .
Conclusion : $(ABC) \, : \, x-5y+8z-11=0$ .

2. Deuxième méthode

On cherche des réels $a, \, b, \, c, \, d$ tels que (ABC) ait pour équation $ax+by+cz+d=0$ .
A, B et C appartiennent à ce plan, d'où le système de trois équations à quatre inconnues suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} b+2c+d & 0\\ a-2b+d&0 \\ 3a+c+d & 0\\ \end{array} \right.$
On fixe arbitrairement une inconnue (par exemple $d$ ) puis on résout le système pour trouver les autres valeurs.

II. Droite de l'espace

1. Représentation paramétrique d'une droite

La droite passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ et ayant pour vecteur directeur $\vec{u}(a,b,c)$ admet pour représentation paramétrique ou équation paramétrique le système :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & at+x_A\\ y & bt+y_A \\ z & ct+z_A \\ \end{array} \right. \hspace{5pt} t \in \mathbb{R} \, \, (1)$

Exemples d'applications :
Exemple 1 :
Soient A(1 ; 2 ; -1) et B(2 ; 0 ; 3), donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
$\overrightarrow{\text{AB}}$ est un vecteur directeur de (AB), ses composantes sont : (1, -2, 4)
La représentation paramétrique de (AB) est donnée par $(1)$ .
Le calcul :

$x = 1 \times t+1$
$y=-2\times t+2$
$z=4\times t-1$

On conclut :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & t+1\\ y&-2t+2 \\ z & 4t-1 \\ \end{array} \right. \hspace{5pt} t\in \mathbb{R}$ .

Exemple 2 :
Soit $(D)$ la droite définie par $\left \lbrace \begin{array}{l} x + y - 2z = -5 \\ 2x + y - z = -4 \end{array} \right. \hspace{5pt} (2)$
$\longrightarrow$ Donner un point et un vecteur directeur puis une représentation paramétrique de $(D)$

Réponse :
Dans $(2)$ on soustrait $L_2-L_1$ :
$L_2-L_1 \Longrightarrow x = 1 - z$
Et en remplaçant dans $L_1$ : $y = -6 + 3z$
Les solutions du système sont de la forme : $(1-z,-6+3z,z)$ , que l'on peut écrire : $(1,-6,0)+z(-1,3,1)$
$(D)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(-1,3,1)$ et passe par le point A(1, - 6,0).
Une représentation paramétrique est donc :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 1-t \\ y&-6+3t \\ z & t \\ \end{array} \right. \hspace{5pt} t\in\mathbb{R}$

III. Problèmes de parallélisme et d'orthogonalité

Pour traiter ce type de question, il est recommandé de déterminer un vecteur directeur de la droite (resp. des droites) et un vecteur normal du plan (resp. des plans) et d'appliquer un des 6 résultats présentés ci-après (on pourra s'aider d'une figure) :

1. Le parallélisme

Prouver le parallèlisme entre :
a) Une droite et un plan : il suffit de prouver qu'un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan sont orthogonaux ; ils le sont ssi $\vec u \cdot \vec v = 0$ .
b) Deux droites : un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à un vecteur directeur de l'autre droite ; deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
c) Deux plans : un vecteur normal à l'un est colinéaire à un vecteur normal à l'autre.

2. L'orthogonalité

Prouver une orthogonalité entre :
a) Une droite et un plan : un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan sont colinéaires.
b) Deux droites : un vecteur directeur d'une de ces droites est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre droite.
c) Deux plans (il s'agit de plans perpendiculaires et non de plans orthogonaux) : un vecteur normal au 1^er plan est orthogonal à un vecteur normal au 2^ème plan .

IV. Déterminer une intersection

1. De deux droites $(D)$ et $(D')$

1. Donner une représentation paramétrique des deux droites en prenant $t$ et $t'$ pour paramètres.
2. Egaler $x, \, y, \, z$ de façon à obtenir un système de trois équations à deux inconnues $t$ et $t'$ .
3. Résoudre le système puis conclure.

Retenir que :

L'intersection peut être :
l'ensemble vide.
réduit à un point.
une droite (lorsque les deux droites sont confondues).

2. De deux plans

1. Déterminer une équation de chaque plan.
2. Résoudre le système de deux équations à trois inconnues formé par les deux équations précédentes.
3. Conclure.

Retenir que :

L'intersection peut être :
l'ensemble vide (lorsque les plans sont strictement parallèles).
une droite.
un plan (lorsque les deux plans sont confondus).

Exemple d'application :
$\longrightarrow$ Quelle est l'intersection de $(P)$ et $(P')$ d'équations respectives :
$x-2y+2z+2=0$ et $3x+y-z-1=0$ ?

Réponse :
$M \left(\begin{array}{l} x\\ y\\ z \end{array} \right) \in P \cap P' \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} M \in P \\ M \in P' \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & 2y-2z-2\\ 3x+y & z+1 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} x = 2y-2z-2 \\ 3(2y-2z-2)+y = z+1 \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} x = 2(z+1) - 2z - 2 = 0 \\ y = z+1 \\ \end{array} \right.$
On utilise $z$ comme paramètre, c'est-à-dire qu'on pose $z = t$ :
$(P)$ et $(P')$ ont pour intersection la droite de représentation paramétrique $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x& 0\\y&t+1\\ z& t \\ \end{array} \right. \hspace{5pt} t\in \mathbb{R}$

3. De trois plans

Cela revient à résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues.
L'intersection peut être :
Vide.
Réduite à un point (lorsque le système a une unique solution).
Une droite (lorsque le système a une infinité de solutions exprimées en fonction d'un seul paramètre).
Un plan (lorsque les 3 plans sont confondus).

4. D'une droite et un plan

Déterminer une représentation paramétrique de la droite avec un paramètre $t$ .
Chercher une équation du plan.
Remplacer $x,y,z$ par leurs valeurs en fonction du paramètre $t$ dans l'équation du plan.
Résoudre cette équation en $t$ puis conclure.

Exemple d'application :
Déterminer l'intersection du plan $(P)$ d'équation $x+y+z=0$ et de la droite $(D)$ passant par A(1, -2, 1) et de vecteur directeur $\vec{u}(1,-1,0)$ .

Réponse :
Une représentation paramétrique de $(D)$ est $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x& 1+t\\y&-2-t \\ z&1} \\ \end{array} \right.$
En remplaçant dans l'équation de $(P)$ on a : $1+t-2-t+1=0$ soit $0=0$
Toutes les valeurs de $t$ sont solutions donc tous les points de la droite sont dans le plan. La droite est donc incluse dans $(P)$ .

Retenir que :

L'intersection d'une droite et d'un plan peut être :
vide (lorsque la droite est strictement parallèle au plan)
réduite à un point
une droite (lorsque la droite est contenue dans le plan)

V. L'intersection d'une sphère et d'un plan

L'intersection d'une sphère et d'un plan peut être :
vide
réduite à un point (lorsque le plan est tangent à la sphère)
un cercle
La sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ a pour équation cartésienne :
$(x - x_{\Omega})^2 + (y - y_{\Omega})^2 + (z - z_{\Omega})^2 = R^2$

Exemple d'application :
Intersection de la sphère $(S)$ de centre $\Omega(1,-1,1)$ et de rayon 3 avec le plan $(xOy)$ :
La sphère a pour équation : $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 9$
le plan $(xOy)$ a pour équation $z = 0$ .
$M\left( \begin{array}{l} x\\ y\\ z \end{array} \right) \in S \cap (xOy) \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} M\in S\\ M\in (xOy) \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 9 \text{ et } z = 0 \\ \Longleftrightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 8 \text{ et } z = 0$
Cette équation est celle d'un cercle de centre I(1; -1; 0) et de rayon $2\sqrt{2}$ , situé dans le plan $(xOy)$

VI. Plan médiateur d'un segment

Il s'agit du plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à ce segment.
Le plan médiateur $P$ d'un segment [AB] est l'ensemble des points équidistants de A et de B :
$M \in P \Longleftrightarrow MA = MB$

Exemple :
Soient A(2 ; 0 ; -1) et B(4 ; -2 ; 3). Déterminer une équation du plan médiateur P du segment [AB].
$M \in P \Longleftrightarrow AM = BM \Longleftrightarrow AM^2 = BM^2\\ \Longleftrightarrow (x-2)^2+y^2+(z+1)^2=(x-4)^2+(y+2)^2+(z-3)^2\\ \Longleftrightarrow x^2-4x+4+y^2+z^2+2z+1=x^2-8x+16+y^2+4y+4+z^2-6z+9\\ \Longleftrightarrow 4x-4y+8z-24=0 \Longleftrightarrow \boxed{x-y+2z-6=0}$

Autre méthode :
Comme $P$ est le plan médiateur du segment [AB], alors $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal à $P$ .
Une équation de $P$ est de la forme $2x-2y+4z+d=0 \, \, (1)$
Le milieu I de [AB], de coordonnées $\left( \dfrac{2+4}{2} \, ; \, \dfrac{0-2}{2} \, ; \, \dfrac{-1+3}{2} \right)$ càd (3 ; -1 ; 1), appartient au plan $P$ . Ses coordonnées vérifient donc (1). On a donc $2\times 3 - 2 \times (-1) + 4 \times 1 + d = 0$ , c'est-à-dire $d = -12$ .
$P$ a pour équation $2x-2y+4z-12=0$ ou après simplication $x-y+2z-6=0$ .

VII. Déterminer une distance

1. D'un point à un plan

Si $P$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$ et A est un point, la distance du point A à $P$ est donnée par la formule :
$d(A,P) = \dfrac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

2. D'un point à une droite D

1. Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et perpendiculaire à $D$
2. Chercher les coordonnées du point B d'intersection entre $P$ et $D$
3. On a alors $d(A,D) = AB$

Exemple :
Déterminer la distance entre le point A(0 ; 3 ; -1) et la droite $D$ définie par $x+y+z = 0 \text{ et } y = 2$
M(-1 ; 2 ; -1) et N (0 ; 2 ; -2) appartiennent à $D$ donc $\overrightarrow{MN} (1;0;-1)$ est un vecteur directeur de $D$ .
Le plan perpendiculaire à $D$ et passant par A a pour vecteur normal $\overrightarrow{MN}$
Une équation en est donc $x-z+d=0$ ; $A\in P$ donc ses coordonnées vérifient l'équation de ce plan donc $1+d=0$ , donc $d=-1$ .
$P$ a pour équation $x-z-1=0$ .
Cherchons l'intersection de $P$ et de $D$ .
$B \in P \cap D \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} B\in P\\B\in D \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x-z-1 & 0\\x+y+z & 0\\y & 2 \\ \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} x = -\dfrac{1}{2} \\ y = 2 \\ z = -\dfrac{3}{2} \\ \end{array} \right.$
On obtient $B $ -\dfrac{1}{2} ; 2 ; -\dfrac{3}{2}$$
$d(A,P) = AB = \dfrac{\sqrt 6}{2}$ .

3. Volume d'un tétraèdre

On appelle hauteur d'un tétraèdre toute droite contenant l'un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet.
$V = \dfrac{1}{3} b h$ où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

Application :
Soient A(3 ; 0 ; -1) B(2 ; 1 ; -1) C(4 ; 2 ; 5) F(3 ; 4 ; 3)
On admet que (ABC) a pour équation $2x+2y-z-7=0$ (exercice : le démontrer) et que l'aire du triangle isocèle ABC est égale à $\dfrac{9}{2}$
Calculer la distance de F à (ABC) :
$d(F; (ABC)) = \dfrac{|2x_F+2y_F-z_F-7|}{\sqrt{4+4+1}} = \dfrac{4}{\sqrt{9}} = \dfrac{4}{3}$
Calculer le volume du tétraèdre ABCF :
la distance calculée précédemment est la hauteur du tétraèdre ABCF issue de F corrrespondant à la base ABC.
$V_{ABCF} = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}_{ABC} \times d(F ; (ABC)) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{9}{2} \times \dfrac{4}{3} = 2 \text{ Unités de volume}$

Publié par cva le 09-03-2022

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