On se place dans un repère orthonormée d'orogine O(0;0)
Posons A, B et C respectivement les points de coordonnées (1 ; -2 ; 3) (2 ; 4 ; 2) et (-1 ; 2 ; 1).
On a alors ; ;
1. Dans le triangle AOB, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand coté est égale à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle AOB est rectangle.
Le triangle ABO est rectangle en O donc les vecteurs et sont orthogonaux.
2. Dans le triangle AOC, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré du plus grand coté est égale à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle AOC est rectangle.
Le triangle AOC n'est pas rectangle donc les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.
Publié par Tom_Pascal
le
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^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2\\AB^2=(1-2)^2+(-2-4)^2+(3-2)^2\\AB^2=38)
![OA^2+OB^2=[(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2+(z_A-z_O)^2]+[(x_B-x_O)^2+(y_B-y_O)^2+(z_B-z_O)^2]\\OA^2+OB^2=[(1-0)^2+(-2-0)^2+(3-0)^2]+[(2-0)^2+(4-0)^2+(2-0)^2]\\OA^2+OB^2=38](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?OA^2+OB^2=[(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2+(z_A-z_O)^2]+[(x_B-x_O)^2+(y_B-y_O)^2+(z_B-z_O)^2]\\OA^2+OB^2=[(1-0)^2+(-2-0)^2+(3-0)^2]+[(2-0)^2+(4-0)^2+(2-0)^2]\\OA^2+OB^2=38)
^2+(y_A-y_C)^2+(z_A-z_C)^2\\AC^2=(1-(-1))^2+(-2-2)^2+(3-1)^2\\AC^2=24)
![OA^2+OC^2=[(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2+(z_A-z_O)^2]+[(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2+(z_C-z_O)^2]\\OA^2+OC^2=[(1-0)^2+(-2-0)^2+(3-0)^2]+[(-1-0)^2+(2-0)^2+(1-0)^2]\\OA^2+OC^2=20](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?OA^2+OC^2=[(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2+(z_A-z_O)^2]+[(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2+(z_C-z_O)^2]\\OA^2+OC^2=[(1-0)^2+(-2-0)^2+(3-0)^2]+[(-1-0)^2+(2-0)^2+(1-0)^2]\\OA^2+OC^2=20)
Voir la correction