Fiche de mathématiques
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Les Vecteurs

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I.Vecteurs coplanaires

Soit \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} 3 vecteurs et A un point de l'espace.
Les points B,C,D sont tels que \overrightarrow{\text{AB}} = \vec{u}, \overrightarrow{\text{AC}} = \vec{v}, \overrightarrow{\text{AD}} = \vec{w}.
Les vecteurs \vec{u},\vec{v},\vec{w} sont dits coplanaires si les points A,B,C,D sont coplanaires.
Trois vecteurs \vec{u},\vec{v},\vec{w} de l'espace sont coplanaires, si et seulement si, il existe un couple (a,b) de nombres réels tel que :
   soit \vec{u} = a\vec{v} + b\vec{w}
   soit \vec{v} = a\vec{u} + b\vec{w}
   soit \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}



II. Base de l'espace

On appelle base de l'espace tout triplet (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) de vecteurs non coplanaires



III. Repère cartésien de l'espace

Tout quadruplet (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}), où O est un point de l'espace et (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) une base, est un repère de l'espace.


1) Coordonnées d'un point

x = abscisse, y = ordonnée, z = côte

2) Coordonnées d'un vecteur \overrightarrow{\text{AB}}

\overrightarrow{\text{AB}} a pour coordonnées \boxed{(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)}


3) Coordonnées du milieu I d'un segment [AB]

I a pour coordonnées \boxed{\left(\dfrac{x_B+x_A}{2};\dfrac{y_B+y_A}{2};\dfrac{z_B+z_A}{2}\right)}



IV. Distance de deux points

La distance des points A et B est le nombre réel positif :
\boxed{\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}}



V. Condition d'orthogonalité de deux vecteurs

Les vecteurs \overrightarrow{\text{V}} (X,Y,Z) et \overrightarrow{\text{V}'} (X',Y',Z') sont orthogonaux si et seulement si :
\boxed{XX'+YY'+ZZ'=0}

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