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Un exercice de géométrie dans l'espace (type bac)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité -

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Un exercice type bac (géométrie dans l'espace) : image 1

Dans cet exercice les questions 1.a et 1.b sont hors programme
Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.
L'espace est orienté par le repère orthonormal direct (O; $\overrightarrow{\text{OA}}$ , $\overrightarrow{\text{OC}}$ , $\overrightarrow{\text{OD}}$ ).
On désigne par $a$ un réel strictement positif.
L, M et K sont les points définis par $\overrightarrow{\text{OL}} = a \overrightarrow{\text{OC}}$ , $\overrightarrow{\text{OM}} = a \overrightarrow{\text{OA}}$ et $\overrightarrow{\text{BK}} = a \overrightarrow{\text{BF}}$ .

1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{DM}} \wedge \overrightarrow{\text{DL}}$ .
    b) En déduire l'aire du triangle DLM.
    c) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (DLM).

2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K) sur le plan (DLM).
    a) Démontrer que $\overrightarrow{\text{OM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = \overrightarrow{\text{OH}} . \overrightarrow{\text{OK}}$ .
    b) Les vecteurs $\overrightarrow{\text{OH}}$ et $\overrightarrow{\text{OK}}$ étant colinéaires, on note $\lambda$ le réel tel que $\overrightarrow{\text{OH}} = \lambda \overrightarrow{\text{OK}}$ .
Démontrer que $\lambda = \dfrac{a}{a^2+2}$ .
En déduire que H appartient au segment [OK].
    c) Déterminer les coordonnées de H.
    d) Exprimer $\overrightarrow{\text{HK}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{OK}}$ . En déduire que HK = $\dfrac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}}$ .

3. À l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLMK en fonction de $a$ .

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1. a) Nous avons :
A(a; 0; 0); B(1; 1; 0); C(0; 1; 0); D(0; 0; 1); F(1; 1; 1); L(0; a; 0) et M(a; 0; 0).
$\overrightarrow{\text{DM}}$ (a; 0; -1); $\overrightarrow{\text{DL}}$ (0; a; -1) d'où $\overrightarrow{\text{DM}} \wedge \overrightarrow{\text{DL}}$ (a; a; a²).

b) L'aire du triangle DLM est donnée par : $\dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{\text{DL}} \wedge \overrightarrow{\text{DM}}$ soit :
$\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2a^2+a^4}$ d'où:
Aire (DLM) = $\dfrac{1}{2} \times a\sqrt{a^2+2}$

c) Déterminons les coordonnées (x ; y ; z) du point K.
Nous avons : $\overrightarrow{\text{BK}}$ (x-1; y-1; z) et $\overrightarrow{\text{BF}}$ (0;0;1).
Or, $\overrightarrow{\text{BK}} = a\overrightarrow{\text{BF}}$ , donc: K(1;1;a) et $\overrightarrow{\text{LM}}$ (a;-a;0).
Par conséquent, $\overrightarrow{\text{OK}} . \overrightarrow{\text{DL}} = 0$ et $\overrightarrow{\text{OK}} . \overrightarrow{\text{LM}} = 0$ , donc la droite (OK) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (DLM) et donc la droite (CK) est orthogonale au plan (DLM).

2. a) Nous avons :
$\overrightarrow{\text{OM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = (\overrightarrow{\text{OH}} + \overrightarrow{\text{HM}}) . \overrightarrow{\text{OK}}$
Mais les droites (OK) et (HM) sont orthogonales par construction de H et, donc, $\overrightarrow{\text{HM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = 0$ .
Par conséquent : $\overrightarrow{\text{OM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = \overrightarrow{\text{OH}} . \overrightarrow{\text{OK}}$ .

b) D'après le résultat précédent, nous avons $\overrightarrow{\text{OH}} . \overrightarrow{\text{OK}} = a$ , soit $\lambda\overrightarrow{\text{OK}} . \overrightarrow{\text{OK}} = a$ .
Or, $\overrightarrow{\text{OK}} . \overrightarrow{\text{OK}} = a^2 + 2$ et, donc, $\lambda = \dfrac{a}{a^2+2}$ .
Pour tout réel positif a, nous avons : 0 < $\dfrac{a}{a^2+2}$ < 1, soit 0 < $\lambda$ < 1, donc H appartient au segment [OK].

c) Nous avons :
$\overrightarrow{\text{OH}} = \dfrac{a}{a^2+2} \overrightarrow{\text{OK}}$ , avec $\overrightarrow{\text{OK}}$ (1;1; $a$ ), donc $\overrightarrow{\text{OH}} \left(\dfrac{a}{a^2+2};\dfrac{a}{a^2+2};\dfrac{a^2}{a^2+2}\right)$ .
Le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{a}{a^2+2};\dfrac{a}{a^2+2};\dfrac{a^2}{a^2+2}\right)$ .

d) Nous avons : $\overrightarrow{\text{HK}} = \overrightarrow{\text{HO}} + \overrightarrow{\text{OK}}$ , soit $\overrightarrow{\text{HK}} = -\dfrac{a}{a^2+2} \overrightarrow{\text{OK}} + \overrightarrow{\text{OK}}$ , donc :
$\overrightarrow{\text{HK}} = \dfrac{a^2-a+2}{a^2+2} \overrightarrow{\text{OK}}$ .

3. Pour cette question , on pourra admettre le résultat trouvé à la question 1. Le volume du tétraèdre DLMK est donné par : V = $\dfrac{1}{3}$ h×S, où h est la hauteur de la pyramide et S la surface du triangle de base.
V = $\dfrac{1}{3}$ ×HK×aire(DLM), d'où V = $\dfrac{1}{6}$ a(a²-a+2) unités de volume.

Publié par malou le 04-06-2023

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