Fiche de mathématiques
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Un exercice de géométrie dans l'espace (type bac)

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Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité -
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Un exercice type bac (géométrie dans l'espace) : image 1


Dans cet exercice les questions 1.a et 1.b sont hors programme
Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.
L'espace est orienté par le repère orthonormal direct (O;\overrightarrow{\text{OA}},\overrightarrow{\text{OC}},\overrightarrow{\text{OD}}).
On désigne par a un réel strictement positif.
L, M et K sont les points définis par \overrightarrow{\text{OL}} = a \overrightarrow{\text{OC}}, \overrightarrow{\text{OM}} = a \overrightarrow{\text{OA}} et \overrightarrow{\text{BK}} = a \overrightarrow{\text{BF}}.

1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{DM}} \wedge \overrightarrow{\text{DL}}.
    b) En déduire l'aire du triangle DLM.
    c) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (DLM).

2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K) sur le plan (DLM).
    a) Démontrer que \overrightarrow{\text{OM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = \overrightarrow{\text{OH}} . \overrightarrow{\text{OK}}.
    b) Les vecteurs \overrightarrow{\text{OH}} et \overrightarrow{\text{OK}} étant colinéaires, on note \lambda le réel tel que \overrightarrow{\text{OH}} = \lambda \overrightarrow{\text{OK}}.
Démontrer que \lambda = \dfrac{a}{a^2+2}.
En déduire que H appartient au segment [OK].
    c) Déterminer les coordonnées de H.
    d) Exprimer \overrightarrow{\text{HK}} en fonction de \overrightarrow{\text{OK}}. En déduire que HK = \dfrac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}}.

3. À l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLMK en fonction de a.






1. a) Nous avons :
A(a; 0; 0); B(1; 1; 0); C(0; 1; 0); D(0; 0; 1); F(1; 1; 1); L(0; a; 0) et M(a; 0; 0).
\overrightarrow{\text{DM}}(a; 0; -1); \overrightarrow{\text{DL}}(0; a; -1) d'où \overrightarrow{\text{DM}} \wedge \overrightarrow{\text{DL}} (a; a; a²).

b) L'aire du triangle DLM est donnée par : \dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{\text{DL}} \wedge \overrightarrow{\text{DM}} soit :
\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2a^2+a^4} d'où:
Aire (DLM) = \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{a^2+2}

c) Déterminons les coordonnées (x ; y ; z) du point K.
Nous avons : \overrightarrow{\text{BK}} (x-1; y-1; z) et \overrightarrow{\text{BF}} (0;0;1).
Or, \overrightarrow{\text{BK}} = a\overrightarrow{\text{BF}}, donc: K(1;1;a) et \overrightarrow{\text{LM}} (a;-a;0).
Par conséquent, \overrightarrow{\text{OK}} . \overrightarrow{\text{DL}} = 0 et \overrightarrow{\text{OK}} . \overrightarrow{\text{LM}} = 0, donc la droite (OK) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (DLM) et donc la droite (CK) est orthogonale au plan (DLM).

2. a) Nous avons :
\overrightarrow{\text{OM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = (\overrightarrow{\text{OH}} + \overrightarrow{\text{HM}}) . \overrightarrow{\text{OK}}
Mais les droites (OK) et (HM) sont orthogonales par construction de H et, donc, \overrightarrow{\text{HM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = 0.
Par conséquent : \overrightarrow{\text{OM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = \overrightarrow{\text{OH}} . \overrightarrow{\text{OK}}.

b) D'après le résultat précédent, nous avons \overrightarrow{\text{OH}} . \overrightarrow{\text{OK}} = a, soit \lambda\overrightarrow{\text{OH}} . \overrightarrow{\text{OK}} = a.
Or, \overrightarrow{\text{OK}} . \overrightarrow{\text{OK}} = a^2 + 2 et, donc, \lambda = \dfrac{a}{a^2+2}.
Pour tout réel positif a, nous avons : 0 < \dfrac{a}{a^2+2} < 1, soit 0 < \lambda < 1, donc H appartient au segment [OK].

c) Nous avons :
\overrightarrow{\text{OH}} = \dfrac{a}{a^2+2} \overrightarrow{\text{OK}}, avec \overrightarrow{\text{OK}} (1;1;a), donc \overrightarrow{\text{OH}} \left(\dfrac{a}{a^2+2};\dfrac{a}{a^2+2};\dfrac{a^2}{a^2+2}\right).
Le point H a pour coordonnées \left(\dfrac{a}{a^2+2};\dfrac{a}{a^2+2};\dfrac{a^2}{a^2+2}\right).

d) Nous avons : \overrightarrow{\text{HK}} = \overrightarrow{\text{HO}} + \overrightarrow{\text{OK}}, soit \overrightarrow{\text{HK}} = -\dfrac{a}{a^2+2} \overrightarrow{\text{OK}} + \overrightarrow{\text{OK}}, donc :
\overrightarrow{\text{HK}} = \dfrac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}} \overrightarrow{\text{OK}}.

3. Pour cette question , on pourra admettre le résultat trouvé à la question 1. Le volume du tétraèdre DLMK est donné par : V = \dfrac{1}{3}h×S, où h est la hauteur de la pyramide et S la surface du triangle de base.
V = \dfrac{1}{3}×HK×aire(DLM), d'où V = \dfrac{1}{6}a(a²-a+2) unités de volume.


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