Fiche de mathématiques
> >

Exercice de synthèse dans le plan

Partager :

Fiche relue en 2016.


Exercice : On considère un triangle ABC quelconque. On appelle O le milieu de [BC]. Le cercle de centre O passant par B coupe les droites (AB) et (AC) respectivement en M et N.

On appelle H le point d'intersection des droites (BN) et (CM).

On appelle P le symétrique de N par rapport à O.
1. Faire une figure. Quelle conjecture peut-on faire pour les droites (AH) et(BC) ? pour la nature du quadrilatère BNCP ?
2. Démontrez vos conjectures.







1.
Exercice de synthèse dans le plan : image 1


Conjecture : Il semblerait que les droites (AH) et (BC) soient perpendiculaires et que BNCP soit un rectangle.

2. Les points M et N appartiennent au cercle de diamètre [BC]. Donc les triangles BMC et BNC sont rectangles respectivement en M et N.
Par conséquent les droites (BN) et (CM) sont des hauteurs du triangle ABC.
Leur point d'intersection est H, qui est alors l'orthocentre de ce triangle.
La droite (AH) est donc la troisième hauteur du triangle ABC. On en déduit alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

Le point P est le symétrique du point N par rapport au point O. Par conséquent O est le milieu de segment [NP]. Or O est le milieu du segment [BC].
Les diagonales du quadrilatère BNCP se coupent donc en leur milieu.
Cela signifie alors qu'il s'agit d'un parallélogramme.
De plus on a montré précédemment que les droites (BN) et (NC) sont perpendiculaires.
Le parallélogramme BNCP possède donc un angle droit. BNCP est donc un rectangle.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Moderateur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1226 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !