Soit f la fonction définie sur par f : x 3x - 2.
Etudier le sens de variations de la fonction f sur puis dresser le tableau de variations de cette fonction f.
exercice 2
Est-ce qu'une fonction qui n'est pas croissante sur un intervalle I, est décroissante sur I ?
exercice 3
Une fonction f, définie sur , admet le tableau de variations suivant :
1. Démontrer que, pour tout réel x, on a f(x) > 0
2. Résoudre l'inéquation f(x) 1
exercice 4
Soit f la fonction définie sur par f : x 2|x|.
Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variations de la fonction f.
exercice 5
Compléter :
Si -2 < x < 3, alors ...... x² ......
exercice 6
Dresser le tableau de variations de la fonction f : définie sur .
Puis la représenter graphiquement.
exercice 7
Résoudre graphiquement le système d'équations suivant :
exercice 8
Résoudre dans l'inéquation x² < 3.
a) par le calcul,
b) graphiquement.
exercice 9
1. Montrer que pour tous réels et strictement positifs,
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur [0; +[ par f : et la représenter graphiquement.
exercice 10
Etudier la parité de la fonction f définie sur [0; +[ par f : .
exercice 11
Soit f la fonction définie sur * par .
1. Quels sont les réels x tels que f(x) > 106 ?
2. Quels sont les réels x tels que f(x) < 105 ?
3. Quels sont les réels x tels que 0 < f(x) < 10-4 ?
exercice 12
Soit f la fonction définie sur * par .
1. Etudier les variations de la fonction f sur ]0; +[.
2. Etudier la parité de la fonction f et en déduire les variations de la fonction f sur ]-; 0[.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f et la représenter graphiquement.
exercice 13
Résoudre graphiquement dans le système d'équations suivant :
exercice 14
Démontrer que pour tout réel x, on a :
(sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x
exercice 15
ABCD est un parallélogramme articulé tel que la mesure x en radians de varie entre 0 et .
La tige [AD] est fixe. On donne AD = 3 et AB = 2.
1. Exprimer l'aire du parallélogramme en fonction de x.
2. Comment choisir x pour avoir = 4 ? (arrondir au degré près)
Pour tout réel x, f(x) = 3x - 2
f est une fonction affine de coefficient directeur 3, strictement positif.
Donc f est croissante sur .
OU Soient a et b deux rééls tels que a < b.
On a :
f(a) - f(b) = 3a - 2 - (3b - 2) = 3a - 2 - 3b + 2 = 3(a - b)
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc 3(a - b) < 0.
Conclusion : Pour tous rééls a et b tels que a < b, f(a) - f(b) < 0, soit f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur .
exercice 2
NON, une fonction qui n'est pas croissante sur un intervalle I n'est pas nécessairement décroissante; elle peut être constante (exemple : f(x) = 4) ou ni croissante, ni décroissante (exemple : f(x) = cos(x) sur I = [0: 2]).
exercice 3
1. Le minimum de la fonction f est atteint en 2 et vaut 1.
Donc pour tout réel x, f(x) 1 (définition du minimum), donc en particulier f(x) > 0.
2. L'inéquation f(x) 1 a donc comme ensemble de solutions : .
exercice 4
Pour tout réel x, f(x) = 2|x|.
Donc, pour tout réel x,
Sur ]-; 0], f est une fonction linéaire de coefficient négatif.
Donc f est décroissante sur ]-; 0].
Sur [0; +[, f est une fonction linéaire de coefficient directeur positif.
Donc f est croissante sur [0; +[.
exercice 5
Si -2 < x < 3 :
f(x) varie sur la portion de courbe délimitée par A et B. Les valeurs de f(x) sont donc comprises entre 0 et 9.
Conclusion : si -2 < x < 3, on a 0 x² < 9.
exercice 6
Pour tout réel .
f est une fonction linéaire de coefficient , strictement négatif.
Donc f est décroissante sur .
Représentation graphique f(2) = = -1 et f(-4) = = 2.
Donc les points A(2; -1) et B(4; 2) appartiennent à la représentation graphique de la fonction f.
exercice 7
Pour représenter graphiquement le système, il faut tracer les deux courbes d'équation y = 3x² (en rouge) et g(x) = 2 - x (en vert).
Les solutions de ce système sont les points d'intersection de ces deux courbes.
Donc : graphiquement on obtient = {-1; 0,6}.
exercice 8
a)x² < 3 équivaut successivement à
x² - 3 < 0
x² - (3)² < 0
(x - 3)(x + 3) < 0
x - 3 < 0 si x < 3
x + 3 < 0 si x < -3
D'où .
b) On trace la courbe représentative de la fonction f définie sur par f(x) = x² et la droite d'équation y = 3. Les solutions de l'inéquation x² < 3 sont les abscisses des points de la courbe d'équation y = x² situés en dessous de la droite d'équation y = 3.
Représentation graphique :
.
exercice 9
1. Pour tous rééls a et b positifs, on a :
2. Soient a et b deux réel positifs tels que 0 a < b. On a :
(d'après la question précédente)
Or, a < b, donc b - a > 0.
Comme et sont deux nombres positifs, alors
Conclusion : pour tous rééls a et b positifs tels que 0 a < b, f(a) > f(b).
La fonction f est donc décroissante sur [0;+[.
représentation graphique de la fonction f
exercice 10
f est définie sur [0; [. Son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, donc la fonction f ne peut être ni paire ni impaire.
exercice 11
1.
D'où = ]-; 10-6[.
2.
D'où = ]10-5; +[.
3.
D'où = ]104; +[.
exercice 12
1. Soient a et b deux réels de ]0; +[ tels que 0 < a < b. On a :
f(a) - f(b) =
Comme a et b sont strictement positifs, alors ab > 0.
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc
C'est à dire f(a) - f(b) < 0.
Conclusion : Pour tous réels a et b de ]0; +[ tels que 0 < a < b, on a f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur ]0; +[.
2. Soient a et b deux réels de ]-; 0[ tels que a < b < 0. On a :
f(a) - f(b) =
Comme a et b sont strictement négatifs, alors ab > 0.
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc
C'est à dire f(a) - f(b) < 0
Conclusion : Pour tous réels a et b de ]-; 0[ tels que a < b < 0, on a f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur ]0; +[.
Remarque :f est une fonction impaire, donc la représentation graphique de la fonction f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
exercice 13
Pour résoudre graphiquement ce système, on trace dans une repère orthonormal, la courbe d'équation y = et la droite d'équation y = x - 2.
Les solutions du système sont les coordonnées des points d'intersection de et .
exercice 14
Pour tout réel x, (sin x + cos x)² = sin² x + 2 sin x cos x + cos² x.
Or cos² x + sin² x = 1 donc (sin x + cos x)² = 1 + 2sin x cos x
exercice 15
1. Pour déterminer l'aire du parallélogramme, il faut calculer la hauteur de celui-ci.
Soit H le projeté orthogonale de A sur (DC).
Dans le triangle ADH rectangle en H, on a :
.
Soit : .
Aire du parallèlogramme : = base × hauteur
= AB × AH
= 2 ×
.
2. Résoudre équivaut à résoudre soit encore .
Comme est un angle aigu, alors x 42°.
Publié par correction : Dolphie
le
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