Fiche de mathématiques

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QCM sur le programme de seconde

QCM :

Dans chaque exercice, répondre par Vrai ou Faux à chacune des propositions.
L'ensemble des exercices est censé s'effectuer sans calculatrice.

exercice 1.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x-3$ et soit $(\mathscr{C}_f)$ la courbe représentative de $f$ .
    a) $f(x) = (x+1)^2-4$
    b) $(\mathscr{C}_f)$ est une parabole de sommet $(0;-3)$
    c) $f$ est toujours décroissante.
    d) $(\mathscr{C}_f)$ coupe $(Ox)$ en $A(1;0)$ et $B(-3;0)$

exercice 2.

Soient la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sqrt{x^2-9}$ et la fonction $g$ par $g(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$
    a) $\mathscr{D}_f = ]3;+\infty[$
    b) $f$ est croissante sur chaque intervalle où elle est définie
    c) $\mathscr{D}_g=\mathbb{R}- \lbrace -1 ; 1 \rbrace$

d) La courbe de $g$ coupe $(Oy)$ au point J(0 ; 1).

exercice 3.

Voici les notes d'une classe donnée à un contrôle de maths :

$\text{ Notes des élèves }x_i$	2	8	10	14	15
$\text{ Nombre d'élèves }n_i$	2	5	3	6	4

    a) l'étendue est 4
    b) la moyenne est 10,9
    c) la médiane est 10
    d) le mode est 15

exercice 4.

Les nombres $x$ et $y$ sont des réels.
    a) le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 2x-3y=1 \\ x+y=2 \\ \end{array} \right.$ a une solution unique

    b) le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 3x-6y=15 \\ -2x+4y=-10 \end{array} \right.$ n'a pas de solution

    c) le système $\left \lbrace \begin{array}{l} 3x-6y=15 \\ -2x+4y=-10 \end{array} \right.$ admet la solution unique (1 ; -2)

    d) le système $\left \lbrace \begin{array}{l} x^2+y^2=4 \\ x^2-y^2=2 \end{array} \right.$ admet un seul couple de solution

exercice 5.

    a) Si une droite $(D)$ est parallèle à un plan $(P)$ , alors $(D)$ est parallèle à toute droite du plan $(P)$
    b) Si une droite $(D)$ est orthogonale à deux droites du plan $(P)$ , alors $(D)$ est toujours orthogonale à $(P)$
    c) Trois points A, B, C distincts définissent un seul plan ( $P)$
    d) Deux droites de l'espace perpendiculaires à une même droite sont parallèles

exercice 6.

    a) $\dfrac{3,001}{2,999} < \dfrac{1,001}{0,999}$
    b) $2-3\sqrt{5} > 6-5\sqrt{5}$
    c) Dans R, l'inéquation $\dfrac{x^2(x-1)}{x+2}\ge 0$ admet pour solution $S=]-\infty ; -2[ \cup[1;+\infty [$
    d) Si $\dfrac{1}{x}<4$ , on a $x >\dfrac{1}{4}$

exercice 7.

$a$ et $b$ sont deux réels non nuls tel que $a < b$ . On a toujours :
    a) $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$
    b) $2a<a+b<2b$
    c) $(a-b)^3>0$
    d) $ab<b^2$

exercice 8.

Soit $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$
    a) $f(x) = -2+\dfrac{3}{x+1}$
    b) $f$ est décroissante sur $]-1;+\infty [$
    c) le point $I$-\dfrac{1}{2} ; 4$$ est sur la courbe représentative de $f$
    d) 1 a deux antécédents par $f$

exercice 9.

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; $\overrightarrow{\textrm i }$ , $\overrightarrow{\textrm j }$ ). On considère la droite (D) d'équation $y=\dfrac{3}{2}x+1$ et les points A(-1 ; 1), B(-2 ; 3) et C(1 ; 4).
    a) Le triangle ABC est isocèle
    b) les droites (AC) et (D) sont parallèles
    c) le point de la droite (D) d'ordonnée $\dfrac{1}{4}$ a pour abscisse $-\dfrac{1}{2}$
    d) $\overrightarrow{AB}$ est colinéaire à $\overrightarrow{v }$ (-6 ; -3)

exercice 10.

    a) $X = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ est un nombre entier
    b) Pour tout $x$ réel, $\sqrt{x^2}=x$

    c) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = 3-2\sqrt{3}$
    d) $\sqrt{98} + \sqrt{72} + \sqrt{18} - \sqrt{200} = 4\sqrt{2}$

exercice 11.

    a) Dans R, l'équation $\dfrac{x^2}{x^2-x}=3$ a pour solution S = $\left\lbrace 0; \dfrac{3}{2}\right\rbrace$
    b) Dans R, l'équation $x^2-4+3(x-2)(x-1)+(2-x)^2$ $=0$ a pour solution S = $\left\lbrace \dfrac{3}{5};2 \right\rbrace$
    c) Dans R, $(x-2)(3-x)>0$ admet pour solution S = ]2 ; 3[
    d) Dans R, $\dfrac{(x-1)(x+2)}{x^2-1} \ge 0$ admet pour solution S = $]-\infty ; -2] \cup]-1; + \infty[$

Voir la correction

exercice 1.

a) VRAI

$\begin{array}{lll}\bullet\text{ Pour tout réel } x\text{, on a : }(x+1)^2-4&=&x^2+2x+1-4\\&=&x^2+2x-3\\&=&f(x)\end{array}$

b) FAUX

$\bullet(\mathscr{C}_f) \text{ est bien une parabole car f est une fonction polynôme de second degré, son sommet }S\text{ a pour coordonnées }S\left(\alpha};\beta\right) \text{ où :}$
$\triangleright \text{ }\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\times 1}=-1$
$\triangleright \text{ }\beta=f(\alpha)=f(-1)=(-1+1)^2-4=-4\neq -3$

$\text{Les coordonnées du sommet }S\text{ ne sont donc pas } (-1;-3)\text{ mais plutôt } (-1;-4)$

c) FAUX

$\bullet f\text{ est une fonction polynôme de second degré, elle est de ce fait parabolique et ne peut donc pas être strictement décroissante. }$

d) VRAI

$\bullet \text{ Les points d'intersection de } (\mathscr{C}_f) \text{ avec l'axe des abscisses }(Ox) \text{ sont les points d'ordonnée } 0 \text{ et d'abscisse solution de l'équation } f(x)=0$
$\begin{array}{lll} \text{ On a : } f(x)=0 &\Longleftrightarrow &(x+1)^2-4=0\\&\Longleftrightarrow & (x+1)^2-2^2=0 \\&\Longleftrightarrow& (x+1-2)(x+1+2)=0 \\&\Longleftrightarrow & (x+3)(x-1)=0 \\&\Longleftrightarrow & x+3=0\text{ ou }x-1=0 \\&\Longleftrightarrow& x=-3 \text{ ou } x=1 \end{array}$

$\text{Les points d'intersection de }(\mathscr{C}_f)\text{ avec l'axe des abscisses sont } A(1;0) \text{ et }B(-3;0)$

exercice 2.

a) FAUX

$\bullet f \text{ est bien définie en } 3 \text{ car : } f(3)=\sqrt{3^2-9}=\sqrt{0}=0$ .
$\text{ Donc }3\text{ appartient bien à }\mathscr{D}_f \text{ et }\mathscr{D}_f\neq ]3;+\infty[$

$\underline{\text{ Supplément : }} \text{ trouvons }\mathscr{D}_f$

$\begin{array}{lll} \text{ On a : } x\in \mathscr{D}_f &\Longleftrightarrow & x^2-9\geq 0 \\&\Longleftrightarrow& x^2-3^2\geq 0 \\&\Longleftrightarrow & (x-3)(x+3)\geq 0 \end{array}$
$\text{On trace le tableau de signe : }$

$\begin{tabvar} {|C|CCCCCCC|} \hline x &-\infty & & -3 & & 3 &&+\infty \\ \hline x-3& & - & \barre{} & - & \barre{0} & + & \\ \hline x+3 & & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline (x-3)(x+3) & & + & \barre{0} & - & \barre{0} & + & \\\hline\end{tabvar}$
$\begin{array}{lll}\text{ Il s'ensuit : } x\in\mathscr{D}_f &\Longleftrightarrow& x\in ]-\infty;-3] \cup [3;+\infty[\end{array}$
$\text{Donc : } \mathscr{D}_f=]-\infty;-3] \cup [3;+\infty[$

b) FAUX

$\bullet\text{ Prenons par exemple } -4 \text{ et } -5 \text{ deux réels de l'intervalle } ]-\infty;-3] \text{ où } f\text{ est définie. On a : } -5\leq -4$

$\triangleright f(-4)=\sqrt{(-4)^2-9}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2.65$

$\triangleright f(-5)=\sqrt{(-5)^2-9}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\geq f(-4)$

$\text{ On a alors }-5\leq -4 \text{ mais }f(-5)\geq f(-4)\text{ , donc } f\text{ n'est pas croissante sur cet intervalle }$

c) FAUX

$\bullet g \text{ est bien définie en } -1 \text{ et } 1 \text{, en effet : }\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(-1)&=&\dfrac{1}{(-1)^2+1}&=&\dfrac{1}{2} \\ f(1)&=&\dfrac{1}{1^2+1}&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$ .

$\text{ Donc }-1\text{ et } 1\text{ appartiennent bien à }\mathscr{D}_g \text{ et }\mathscr{D}_g\neq \mathbb{R}-\lbrace -1; 1\rbrace$

$\underline{\text{ Supplément : }} \text{ trouvons }\mathscr{D}_g$

$\begin{array}{lll} \text{ On a : } x\in \mathscr{D}_g &\Longleftrightarrow & x^2+1\neq 0 \\&\Longleftrightarrow& x^2\neq -1 \\&\Longleftrightarrow & x\in\mathbb{R} \end{array}$

$\text{ En effet, puisque pour tout réel } x\text{, } x^2\geq 0\text{ , l'équation }x^2=-1 \text{ n'admet pas de solution dans } \mathbb{R}$

$\text{Il en découle que : }\mathscr{D}_{g}=\mathbb{R}$

d) VRAI

$\bullet\text{ Le point d'intersection de la courbe représentative de } g \text{ et l'axe des ordonnées } (Oy)\text{ est d'abscisse } 0 \text{ et d'ordonnée } f(0)$

$\text{ On a : } f(0)=\dfrac{1}{0^2+1}=1$

$\text{La courbe de } g \text{ coupe } (Oy) \text{ au point } J(0;1).$

exercice 3.

a) FAUX

$\bullet\text{L'étendue }e\text{ est la différence entre la valeur la plus élevée et la valeur la plus basse, donc : } e=15-2=13\neq 4$

b) FAUX

$\bullet \text{ La moyenne }M \text{ est la somme de toutes les notes divisée par le nombre des notes différentes, soit : }$

$M=\dfrac{2+8+10+14+15}{5}=\dfrac{49}{5}=9,8\neq 10,9$

c) FAUX

$\bullet \text{ La médiane d'une série statistique est le nombre qui partage cette série en deux parties de même effectif}.$

$\text{ On range les différentes valeurs par ordre croissant : } \underbrace{2;2;8;8;8;8;8;10;10;10};\underbrace{14;14;14;14;14;14;15;15;15;15}$

$\text{ Le nombre d'élèves est paire }(20)\text{, la médiane }m \text{ est dans ce cas la moyenne des deux notes se situant autour de la ligne de partage, soit : }$

$m=\dfrac{10+14}{2}=12\neq 10$

d) FAUX

$\text{ Le mode est la valeur pour laquelle l'effectif est le plus grand. Ici, l'effectif le plus grand est } 6\text{, le mode est donc } 14\neq 15$

exercice 4.

a) VRAI

$\begin{array}{lll}\bullet \text{ Résolution par combinaisons : }\left \lbrace \begin{array}{l} 2x-3y=1 \\ x+y=2 \\ \end{array}&\Longleftrightarrow & \left \lbrace \begin{array}{l} 2x-3y=1 \\ \color{red}3\color{black}x+\color{red}3\color{black}y=\color{red}3\color{black} \times 2 \text{ (Multiplication par }3 ) \end{array} \\\\ &\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{ll} 2x-3y + (3x+3y)=1+6 & \text{ (Somme des deux égalités membre à membre)}\\ x+y=2 &\text{ (On reprend l'équation simplifiée)} \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} 5x=7 \\ y=2-x \\ \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} x=\dfrac{7}{5} \\ y=2-\dfrac{7}{5} \\ \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} x=\dfrac{7}{5} \\\\ y=\dfrac{3}{5} \\ \end{array} \end{array}$
$\text{ Le système admet une seule solution : } S=\left\lbrace \left(\dfrac{7}{5};\dfrac{3}{5}\right)\right\rbrace$

b) FAUX

$\begin{array}{lll}\bullet \text{ Les deux équations du système sont équivalentes, en effet : }\left \lbrace \begin{array}{l} 3x-6y=15 \\ -2x+4y=-10 \\ \end{array}&\Longleftrightarrow & \left \lbrace \begin{array}{ll} x-2y=5 & \left(\text{ multiplication par }\dfrac{1}{3} \right)} \\ x-2y=5 & \left(\text{ multiplication par }-\dfrac{1}{2} \right)} \\ \end{array} \end{array}$
$\text{ Le système à 2 équations à 2 inconnus est donc équivalent à l'équation à deux inconnus }x-2y=5$
$\text{On sait que les équations à deux inconnus ont une infinité de solutions.}$
$\text{ On en tire que le système admet une infinité de solutions. }$

c) FAUX

$\bullet\text{ On a vu ci-dessus que le système en question admet une infinité de solutions. }$
$\text{ Cependant, le couple } (1;-2) \text{ en est une, en effet, ce couple vérifie l'équation }x-2y=5 \text{ car : } 1-2\times(-2)= 1-(-4)=5$

d) FAUX

$\begin{array}{lll}\bullet \text{ Résolution par combinaisons : }\left \lbrace \begin{array}{l} x^2+y^2=4 \\ x^2-y^2=2 \\ \end{array}&\Longleftrightarrow & \left \lbrace \begin{array}{ll} x^2+y^2+(x^2-y^2)=4+2 & \text{ (Somme des deux égalités membre à membre)} \\ x^2-y^2=2 &\end{array} \\\\ &\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} 2x^2=6\\ y^2=x^2-2 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} x^2=3 \\ y^2=3-2 \\ \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} x^2=3 \\ y^2=1 \\ \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{lll} x=\sqrt{3}&\text{ ou }& x=-\sqrt{3} \\\\ y=1&\text{ ou }&y=-1 \\ \end{array} \end{array}$

$\text{ Le système admet quatre solutions : } S=\left\lbrace \left(-\sqrt{3};-1\right)\text{ , }\left(-\sqrt{3};1\right)\text{ , }\left(\sqrt{3};-1\right)\text{ , }\left(\sqrt{3};1\right)\right\rbrace$

exercice 5.

a) FAUX

$\bullet \text{Soit la droite } (D) \text{ parallèle au plan } (P)$
$\text{ Prenons une droite } (\Delta_1) \text{ appartenant au plan } (P) \text{ telle que : } (\Delta_1)// (D)$
$\text{ Prenons une droite } (\Delta_2) \text{ appartenant elle aussi au plan } (P) \text{ telle que : } (\Delta_2)\perp (\Delta_1)$
$\text{La droite } (D) \text{ n'est pas parallèle à }(\Delta_2)$

b) FAUX

$\bullet\text{Les deux droites du plan auxquelles la droite } (D) \text{ est orthogonale doivent être sécantes} }$
$\text{ Sinon, si elles sont parallèles, il se peut qu'elles soient toutes les deux orthogonales à } (D) \text{ avec } (D) \text{ appartenant au plan}$

c) FAUX

$\bullet\text{ Il manque la condition suivante : Les points en question ne doivent pas être alignés }$

d) FAUX

$\bullet\text{Prenons un cube } ABCDE FGH \text{ à titre d'exemple : }$

un QCM pour vérifier mes connaissances de seconde : image 2

$\text{Les deux droites } (AB)\text{ et } (EH) \text{ sont perpendiculaires à la droite } (EA) \text{ mais elles ne sont pas parallèles }$

exercice 6.

a) VRAI

$\bullet\text{On a : }$

$\triangleright \dfrac{3,001}{2,999}=\dfrac{3001}{2999}=\dfrac{2999+2}{2999}=1+\dfrac{2}{2999}$

$\triangleright \dfrac{1,001}{0,999}=\dfrac{1001}{999}=\dfrac{999+2}{999}=1+\dfrac{2}{999}$

$\text{On sait que : } 2999>999 \text{ , donc : }\dfrac{1}{2999}<\dfrac{1}{999}\text{ , on en tire que : } \dfrac{2}{2999}<\dfrac{2}{999}$
$\text{En ajoutant 1 à chacun des deux membres de l'inégalité, on trouve : } 1+\dfrac{2}{2999}<1+\dfrac{2}{999}$
$\text{ D'où le résultat.}$

b) VRAI

$\bullet\text{ On étudie le signe de la différence : }2-3\sqrt{5} -\left( 6-5\sqrt{5}\right)= 2\sqrt{5}-4=2\left(\sqrt{5}-2\right)$
$\text{Puisque : } 2<\sqrt{5}\text{ , alors : } 2\left(\sqrt{5}-2\right)>0$
$\text{ Il s'ensuit que : }2-3\sqrt{5} -\left( 6-5\sqrt{5}\right)>0$
$\text{ D'où le résultat.}$

c) VRAI

$\bullet\text{ Tableau de signe : }$ $\begin{tabvar} {|C|CCCCCCC|} \hline x &-\infty & & -2 & & 1 &&+\infty \\ \hline x^2& & + & \barre{} & + & \barre{} & + & \\ \hline x+2 & & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline x-1 & & - & \barre{} & - & \barre{0} & + &\\ \hline \frac{x^2(x-1)}{x+2} & & + & \dbarre & - & \barre{0} & + & \\\hline\end{tabvar}$
$\text{Rappel : La condition } x+2\neq 0 \text{ est indiquée par deux traits verticaux dans le tableau de signe }$

$\text{ L'ensemble des solutions de l'inéquation est : } S=]-\infty ; -2[ \cup[1;+\infty [$

d) FAUX

$\bullet\text{Vrai uniquement si }x\text{ est positif }$

exercice 7.

a) FAUX

$\bullet \text{ Contre-exemple : } a=-2 \text{ et } b=3$
$\text{ Cette proposition n'est vraie que si } a\text{ et } b\text{ ont le même signe (les deux positifs ou les deux négatifs)}$

b) VRAI

$\bullet \text{ Directement : } a<b \Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} \color{red}a\color{black}+a< \color{red}a \color{black}+b\\ a+\color{blue}b\color{black}< b+ \color{blue}b \color{black} \end{array}\Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} 2a< a+b\\ a+b< 2b \end{array} \Longrightarrow 2a< a+b<2b$

c) FAUX

$\bullet\text{ Puisque : } (a-b)^3=(a-b)(a-b)^2$
$(a-b)^3 \text{ et } a-b \text{ sont de même signe }$
$\text{Or, } a-b<0 \text{ car } a<b$
$\text{ Conclusion : } (a-b)^3<0$

d) FAUX

$\bullet \text{ Contre-exemple : } a=-4 \text{ et } b=-3$
$\text{ Pour que cette proposition soit vraie, il faut que } b\text{ soit positif}$

exercice 8.

a) VRAI

$\bullet\text{ En effet, pour tout réel } x \text{ de l'ensemble de définition de } f\text{ : }-2+\dfrac{3}{x+1} =\dfrac{-2(x+1)+3}{x+1}=\dfrac{-2x-2+3}{x+1}=\dfrac{-2x+1}{x+1}=f(x)$

b) VRAI

$\begin{array}{lll} \bullet\text{Pour tout }x_1\text{ , }x_2 \text{ de } ]-1;+\infty[\text{ : } x_1\leq x_2 &\Longleftrightarrow & x_1+1\leq x_2+1 \\&\Longleftrightarrow& \dfrac{1}{x_1+1}\geq \dfrac{1}{x_2+1}\\ \\&\Longleftrightarrow& \dfrac{3}{x_1+1}\geq \dfrac{3}{x_2+1} \\\\&\Longleftrightarrow& \dfrac{3}{x_1+1}-2\geq \dfrac{3}{x_2+1}-2\\\\&\Longleftrightarrow& f(x_1)\geq f(x_2)\end{array}$
$f \text{ est donc décroissante sur }]-1;+\infty[$

$\underline{\text{ Remarque : }} \text{ cela reste vrai sur tout le domaine de définition de }f \text{ , à savoir : } \mathscr{D}_f=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[ \text{ ( À démontrer, à titre d'exercice ) }$

c) VRAI

$\bullet f\left(-\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{-2\times\left(-\frac{1}{2}\right)+1}{-\frac{1}{2}+1} =\dfrac{2}{\frac{1}{2}}=4$

$\text{ le point } I$-\dfrac{1}{2} ; 4$ \text{ est sur la courbe représentative de } f$

d) FAUX

$\bullet\text{ L'équation } f(x)=1 \text{ n'admet qu'une seule solution, en effet : }$
$f(x)=1\Longleftrightarrow -2+\dfrac{3}{x+1} =1 \Longleftrightarrow \dfrac{3}{x+1}=3 \Longleftrightarrow \left\lbrace}\begin{array} {l}x+1=1 \\x\neq -1 \end{array} \Longleftrightarrow x=0$
$1\text{ n'a qu'un seul antécédent par } f \text{ qui est } 0 \text{ ( }f(0)=1 \text{ )}$

exercice 9.

a) FAUX

$\bullet\text{ On a : } \left\lbrace \begin{array} {l}AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} =\sqrt{(-2-(-1))^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5} \\\\AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} =\sqrt{(1-(-1))^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \\\\BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2} =\sqrt{(1-(-2))^2+(4-3)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\end{array}$

$\text{ Donc : ce triangle ne peut pas être isocèle. }$

b) VRAI
$\text{ Un vecteur directeur de la droite } (D) :y=\dfrac{3}{2}x+1 \text{ est : }\overrightarrow{u}\left(1;\dfrac{3}{2}\right) \text{ , en effet, on écrit : } (D) :\dfrac{3}{2}x-y+1=0$

$\text{ Un vecteur directeur de la droite } (AC) \text{ est : }\overrightarrow{AC}(x_C-x_A;y_C-y_A) \text{ , donc } \overrightarrow{AC}(2;3)$
$\text{On en tire que : } \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{u} \text{ , d'où le résultat.}$

c) VRAI

$\bullet y=\dfrac{1}{4} \Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}x+1=\dfrac{1}{4}\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}x=-\dfrac{3}{4} \Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

d) FAUX

$\bullet \text{ On a : }\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)=\overrightarrow{AB}(-1;2)\text{ et }\overrightarrow{v}(-6;-3)$

$\text{ Puisque : } -1\times (-3) =3 \text{ et } 2\times (-6)=-12\text{ , donc : } -1\times (-3) \neq 2\times (-6)$

$\text{ Les vecteurs } \overrightarrow{AB} \text{ et }\overrightarrow{v} \text{ne sont pas colinéaires}$

exercice 10.

a) VRAI

$\begin{array}{lll}\bullet X&=&\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} \\\\&=&\dfrac{3+2+3+2}{1} \\\\&=&\boxed{10}&&\end{array}$

b) FAUX

$\bullet\text{ Ceci n'est vrai que si }x\text{ est un réel positif}$
$\text{Si }x\text{ est un réel négatif :}\sqrt{x^2}=-x$
$\text{ Exemple : Puisque } \sqrt{2}\geq 1 \text{ , alors : } 1-\sqrt{2}\leq 0 \text{ et on a : }\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$

c) FAUX

$\bullet \text{ En effet : Puisque } 2\geq \sqrt{3} \geq 1 \text{ , alors : } \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = (2-\sqrt{3})+ (-(1-\sqrt{3}))=2-\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=1$

d) FAUX

$\begin{array}{lll} \bullet \sqrt{98} + \sqrt{72} + \sqrt{18} - \sqrt{200} &=& \sqrt{49\times 2} + \sqrt{36\times 2} + \sqrt{9\times 2} - \sqrt{100\times 2} \\&=&\sqrt{7^2\times 2} + \sqrt{6^2\times 2} + \sqrt{3^2\times 2} - \sqrt{10^2\times 2} \\&=&7\sqrt{ 2} + 6\sqrt{2} + 3\sqrt{ 2} - 10\sqrt{2} \\&=& 6\sqrt{2} \end{array}$

exercice 11.

a) FAUX

$\begin{array}{lll}\bullet \dfrac{x^2}{x^2-x}=3 &\Longleftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{l} x^2=3(x^2-x) \\x^2-x\neq 0 \text{ ( Attention! ne pas oublier la condition ''dénominateur non nul'' après simplification)}\end{array} \\\\&\Longleftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{l} x^2=3x^2-3x \\x(x-1)\neq 0 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{l} 2x^2-3x =0\\x\neq 0 \text{ et }x\neq 1 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{l} x(2x-3) =0\\x\neq 0 \text{ et }x\neq 1 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{l} x=0 \text{ ou } 2x-3=0\\x\neq 0 \text{ et }x\neq 1 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{l} x=\dfrac{3}{2}\\x\neq 0 \text{ et }x\neq 1 \end{array} \end{array}$

$\text{ L'équation } \dfrac{x^2}{x^2-x}=3 \text{ a pour solution } S = \left\lbrace \dfrac{3}{2}\right\rbrace$

b) VRAI

$\begin{array}{lll}\bullet \color{red}x^2-4\color{black}+\color{blue}3(x-2)(x-1)\color{black}+\color{magenta}(2-x)^2=0 &\Longleftrightarrow& \color{red} x^2-2^2 \color{black}+\color{blue} 3(x-2)(x-1)\color{black}+\color{magenta} (x-2)^2\color{black}=0 \\&\Longleftrightarrow& \color{red} (x-2)(x+2) \color{black}+\color{blue} 3(x-2)(x-1)\color{black}+\color{magenta} (x-2)(x-2)\color{black}=0 \\&\Longleftrightarrow& (x-2)\left[\color{red}(x+2) \color{black}+\color{blue} 3(x-1)\color{black}+\color{magenta}(x-2)\color{black}\right]=0 \\&\Longleftrightarrow& (x-2)\left(x+2+3x-3+x-2 \right)=0 \\&\Longleftrightarrow& (x-2)(5x-3)=0 \\&\Longleftrightarrow& x-2=0\text{ ou } 5x-3=0 \\&\Longleftrightarrow& x=2\text{ ou } x=\dfrac{3}{5} \end{array}$

$\text{ L'équation } x^2-4+3(x-2)(x-1)+(2-x)^2=0 \text{ a pour solution } S = \left\lbrace 2;\dfrac{3}{5}\right\rbrace$

c) VRAI

$\text{On trace le tableau de signe : }$
$\begin{tabvar} {|C|CCCCCCC|} \hline x &-\infty & & 2 & & 3 &&+\infty \\ \hline x-2& & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline 3-x & & + & \barre{} & + & \barre{0} & - & \\ \hline (x-2)(3-x) & & - & \barre{0} & + & \barre{0} & - & \\\hline\end{tabvar}$

$\text{ L'inéquation }(x-2)(3-x) > 0 \text{ admet bien pour solution }S = ]2 ; 3[ \text{ (Faire attention à la relation d'ordre } \underline{\text{ Strictement }} \text{ positif )}$

d) FAUX

$\dfrac{(x-1)(x+2)}{x^2-1} \ge 0 \Longleftrightarrow \dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)} \ge 0 \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x+1} \ge 0 \\\text{ et }\\x-1\neq 0 \end{array}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x+1} \ge 0 \\\text{ et }\\x\neq 1 \end{array}$

$\text{ Attention à ne pas oublier la condition } x-1\neq 0 \text{ surtout après simplification!}$
$\text{ La condition } x+1\neq 0 \text{ sera indiquée par deux traits verticaux dans le tableau de signe, car }x+1 \text{ est toujours au dénominateur}$

$\text{Le tableau de signe : }$
$\begin{tabvar} {|C|CCCCCCC|} \hline x &-\infty & & -2 & & -1 &&+\infty \\ \hline x+1& & - & \barre{} & - & \barre{0} & + & \\ \hline x+2 & & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline \frac{x+2}{x+1} & & + & \barre{0} & - & \dbarre & + & \\\hline\end{tabvar}$
$\begin{array}{lll}\text{La solution de l'inéquation est donc : } S&=&]-\infty;-2]\cup]-1;+\infty[-\lbrace 1 \rbrace\\\\& =& \boxed{]-\infty;-2]\cup]-1;1[\cup ]1;+\infty[}\end{array}$

$\text{ Illustration : }$

un QCM pour vérifier mes connaissances de seconde : image 1

Publié par malou/Panter le 26-12-2017

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