Fiche de mathématiques
> >

QCM sur le programme de seconde

Partager :


QCM :
Dans chaque exercice, répondre par Vrai ou Faux à chacune des propositions.
L'ensemble des exercices est censé s'effectuer sans calculatrice.




exercice 1.

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^2 + 2x-3 et soit (\mathscr{C}_f) la courbe représentative de f.
    a) f(x) = (x+1)^2-4
    b) (\mathscr{C}_f) est une parabole de sommet (0;-3)
    c) f est toujours décroissante.
    d) (\mathscr{C}_f) coupe (Ox) en A(1;0) et B(-3;0)



exercice 2.

Soient la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sqrt{x^2-9} et la fonction g par g(x)=\dfrac{1}{x^2+1}
    a) \mathscr{D}_f = ]3;+\infty[
    b) f est croissante sur chaque intervalle où elle est définie
    c) \mathscr{D}_g=\mathbb{R}- \lbrace -1 ; 1 \rbrace
    d) La courbe de g coupe (Oy) au point J(0 ; 1).



exercice 3.


Voici les notes d'une classe donnée à un contrôle de maths :
\text{ Notes des élèves  }x_i 2 8 10 14 15
\text{ Nombre d'élèves }n_i 2 5 3 6 4

    a) l'étendue est 4
    b) la moyenne est 10,9
    c) la médiane est 10
    d) le mode est 15



exercice 4.


Les nombres x et y sont des réels.
    a) le système \left \lbrace \begin{array}{l} 2x-3y=1 \\ x+y=2 \\ \end{array} \right. a une solution unique

    b) le système \left \lbrace \begin{array}{l} 3x-6y=15 \\ -2x+4y=-10 \end{array} \right. n'a pas de solution

    c) le système \left \lbrace \begin{array}{l} 3x-6y=15 \\ -2x+4y=-10 \end{array} \right. admet la solution unique (1 ; -2)

    d) le système \left \lbrace \begin{array}{l} x^2+y^2=4 \\ x^2-y^2=2 \end{array} \right. admet un seul couple de solution



exercice 5.


    a) Si une droite (D) est parallèle à un plan (P), alors (D) est parallèle à toute droite du plan (P)
    b) Si une droite (D) est orthogonale à deux droites du plan (P), alors (D) est toujours orthogonale à (P)
    c) Trois points A, B, C distincts définissent un seul plan (P)
    d) Deux droites de l'espace perpendiculaires à une même droite sont parallèles



exercice 6.


    a) \dfrac{3,001}{2,999} < \dfrac{1,001}{0,999}
    b) 2-3\sqrt{5} > 6-5\sqrt{5}
    c) Dans R, l'inéquation \dfrac{x^2(x-1)}{x+2}\ge 0 admet pour solution  S=]-\infty ; -2[ \cup[1;+\infty [
    d) Si \dfrac{1}{x}<4, on a x >\dfrac{1}{4}



exercice 7.

a et b sont deux réels non nuls tel que a < b. On a toujours :
    a) \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}
    b) 2a<a+b<2b
    c) (a-b)^3>0
    d) ab<b^2



exercice 8.

Soit f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}
    a) f(x) = -2+\dfrac{3}{x+1}
    b) f est décroissante sur ]-1;+\infty [
    c) le point I\(-\dfrac{1}{2} ; 4\) est sur la courbe représentative de f
    d) 1 a deux antécédents par f




exercice 9.

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{\textrm  i } ,\overrightarrow{\textrm  j }). On considère la droite (D) d'équation y=\dfrac{3}{2}x+1 et les points A(-1 ; 1), B(-2 ; 3) et C(1 ; 4).
    a) Le triangle ABC est isocèle
    b) les droites (AC) et (D) sont parallèles
    c) le point de la droite (D) d'ordonnée \dfrac{1}{4} a pour abscisse -\dfrac{1}{2}
    d) \overrightarrow{AB} est colinéaire à \overrightarrow{v }(-6 ; -3)



exercice 10.


    a) X = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} est un nombre entier
    b) Pour tout x réel, \sqrt{x^2}=x

    c) \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = 3-2\sqrt{3}
    d) \sqrt{98} + \sqrt{72} + \sqrt{18} - \sqrt{200} = 4\sqrt{2}



exercice 11.


    a) Dans R, l'équation \dfrac{x^2}{x^2-x}=3 a pour solution S = \left\lbrace 0; \dfrac{3}{2}\right\rbrace
    b) Dans R, l'équation x^2-4+3(x-2)(x-1)+(2-x)^2=0 a pour solution S = \left\lbrace \dfrac{3}{5};2 \right\rbrace
    c) Dans R, (x-2)(3-x)>0 admet pour solution S = ]2 ; 3[
    d) Dans R, \dfrac{(x-1)(x+2)}{x^2-1} \ge 0 admet pour solution S = ]-\infty ; -2] \cup]-1; + \infty[







exercice 1.

a) VRAI

\begin{array}{lll}\bullet\text{ Pour tout réel } x\text{, on a : }(x+1)^2-4&=&x^2+2x+1-4\\&=&x^2+2x-3\\&=&f(x)\end{array}

b) FAUX

\bullet(\mathscr{C}_f) \text{ est bien une parabole car f est une fonction polynôme de second degré, son sommet }S\text{ a pour coordonnées }S\left(\alpha};\beta\right) \text{ où :}
\triangleright \text{ }\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\times 1}=-1
\triangleright \text{ }\beta=f(\alpha)=f(-1)=(-1+1)^2-4=-4\neq -3

\text{Les coordonnées du sommet }S\text{ ne sont donc pas } (-1;-3)\text{ mais plutôt } (-1;-4)

c) FAUX

\bullet f\text{  est une fonction polynôme de second degré, elle est de ce fait parabolique et ne peut donc pas être strictement décroissante. }

d) VRAI

\bullet \text{ Les points d'intersection de } (\mathscr{C}_f) \text{ avec l'axe des abscisses }(Ox) \text{ sont les points d'ordonnée } 0 \text{ et d'abscisse solution de l'équation } f(x)=0
\begin{array}{lll} \text{ On a : } f(x)=0 &\Longleftrightarrow &(x+1)^2-4=0\\&\Longleftrightarrow & (x+1)^2-2^2=0 \\&\Longleftrightarrow& (x+1-2)(x+1+2)=0 \\&\Longleftrightarrow & (x+3)(x-1)=0 \\&\Longleftrightarrow & x+3=0\text{ ou }x-1=0 \\&\Longleftrightarrow& x=-3 \text{ ou } x=1 \end{array}

\text{Les points d'intersection de }(\mathscr{C}_f)\text{ avec l'axe des abscisses sont } A(1;0) \text{ et }B(-3;0)

exercice 2.

a) FAUX

\bullet f \text{ est bien définie en } 3 \text{ car : } f(3)=\sqrt{3^2-9}=\sqrt{0}=0.
\text{ Donc }3\text{ appartient bien à }\mathscr{D}_f \text{ et }\mathscr{D}_f\neq ]3;+\infty[

\underline{\text{ Supplément : }} \text{ trouvons }\mathscr{D}_f

\begin{array}{lll} \text{ On a : } x\in \mathscr{D}_f &\Longleftrightarrow & x^2-9\geq 0 \\&\Longleftrightarrow& x^2-3^2\geq 0 \\&\Longleftrightarrow & (x-3)(x+3)\geq 0 \end{array}
\text{On trace le tableau de signe : }

\begin{tabvar} {|C|CCCCCCC|} \hline x &-\infty & & -3 & & 3 &&+\infty \\ \hline x-3& & - & \barre{} & - & \barre{0} & + & \\ \hline x+3 & & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline (x-3)(x+3) & & + & \barre{0} & - & \barre{0} & + & \\\hline\end{tabvar}

\begin{array}{lll}\text{ Il s'ensuit : } x\in\mathscr{D}_f &\Longleftrightarrow& x\in ]-\infty;-3] \cup [3;+\infty[\end{array}
\text{Donc : } \mathscr{D}_f=]-\infty;-3] \cup [3;+\infty[

b) FAUX

\bullet\text{ Prenons par exemple } -4 \text{ et } -5 \text{ deux réels de l'intervalle } ]-\infty;-3] \text{ où } f\text{ est définie. On a : } -5\leq -4

\triangleright f(-4)=\sqrt{(-4)^2-9}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2.65

\triangleright f(-5)=\sqrt{(-5)^2-9}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\geq f(-4)

\text{ On a alors }-5\leq -4 \text{ mais }f(-5)\geq f(-4)\text{ , donc } f\text{ n'est pas croissante sur cet intervalle }

c) FAUX

\bullet g \text{ est bien définie en } -1 \text{ et } 1 \text{, en effet : }\left\lbrace\begin{array}{lllll}  f(-1)&=&\dfrac{1}{(-1)^2+1}&=&\dfrac{1}{2} \\ f(1)&=&\dfrac{1}{1^2+1}&=&\dfrac{1}{2} \end{array}.

\text{ Donc }-1\text{ et } 1\text{ appartiennent bien à }\mathscr{D}_g \text{ et }\mathscr{D}_g\neq \mathbb{R}-\lbrace -1; 1\rbrace

\underline{\text{ Supplément : }} \text{ trouvons }\mathscr{D}_g

\begin{array}{lll} \text{ On a : } x\in \mathscr{D}_g &\Longleftrightarrow & x^2+1\neq 0 \\&\Longleftrightarrow& x^2\neq -1 \\&\Longleftrightarrow & x\in\mathbb{R} \end{array}

\text{ En effet, puisque pour tout réel } x\text{, } x^2\geq 0\text{ , l'équation }x^2=-1 \text{ n'admet pas de solution dans } \mathbb{R}

\text{Il en découle que  : }\mathscr{D}_{g}=\mathbb{R}

d) VRAI

\bullet\text{ Le point d'intersection de la courbe représentative de } g \text{ et l'axe des ordonnées } (Oy)\text{ est d'abscisse } 0 \text{ et d'ordonnée } f(0)

\text{ On a : } f(0)=\dfrac{1}{0^2+1}=1

\text{La courbe de } g \text{ coupe } (Oy) \text{ au point } J(0;1).

exercice 3.

a) FAUX

\bullet\text{L'étendue }e\text{ est la différence entre la valeur la plus élevée et la valeur la plus basse, donc : } e=15-2=13\neq 4

b) FAUX

\bullet \text{ La moyenne }M \text{ est la somme de toutes les notes divisée par le nombre des notes différentes, soit  : }

 M=\dfrac{2+8+10+14+15}{5}=\dfrac{49}{5}=9,8\neq 10,9

c) FAUX

\bullet \text{ La médiane d'une série statistique est le nombre qui partage cette série en deux parties de même effectif}.

\text{ On range les différentes valeurs par ordre croissant : } \underbrace{2;2;8;8;8;8;8;10;10;10};\underbrace{14;14;14;14;14;14;15;15;15;15}

\text{ Le nombre d'élèves est paire }(20)\text{, la médiane }m \text{ est dans ce cas la moyenne des deux notes se situant autour de la ligne de partage, soit : }

 m=\dfrac{10+14}{2}=12\neq 10

d) FAUX

\text{ Le mode est la valeur pour laquelle l'effectif est le plus grand. Ici, l'effectif le plus grand est } 6\text{, le mode est donc } 14\neq 15

exercice 4.

a) VRAI

\begin{array}{lll}\bullet \text{ Résolution par combinaisons : }\left \lbrace \begin{array}{l} 2x-3y=1 \\ x+y=2 \\ \end{array}&\Longleftrightarrow & \left \lbrace \begin{array}{l} 2x-3y=1 \\ \color{red}3\color{black}x+\color{red}3\color{black}y=\color{red}3\color{black} \times 2 \text{ (Multiplication par }3 )  \end{array}  \\\\ &\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{ll} 2x-3y + (3x+3y)=1+6 & \text{ (Somme des deux égalités membre à membre)}\\ x+y=2 &\text{ (On reprend l'équation simplifiée)}  \end{array}  \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} 5x=7 \\ y=2-x \\ \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} x=\dfrac{7}{5} \\ y=2-\dfrac{7}{5} \\ \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} x=\dfrac{7}{5} \\\\ y=\dfrac{3}{5} \\ \end{array} \end{array}
\text{ Le système admet une seule solution : } S=\left\lbrace \left(\dfrac{7}{5};\dfrac{3}{5}\right)\right\rbrace

b) FAUX

\begin{array}{lll}\bullet  \text{ Les deux équations du système sont équivalentes, en effet : }\left \lbrace \begin{array}{l} 3x-6y=15 \\ -2x+4y=-10 \\ \end{array}&\Longleftrightarrow & \left \lbrace \begin{array}{ll} x-2y=5 & \left(\text{ multiplication par }\dfrac{1}{3}  \right)} \\ x-2y=5 & \left(\text{ multiplication par }-\dfrac{1}{2} \right)} \\ \end{array}  \end{array}
\text{ Le système à 2 équations à 2 inconnus est donc équivalent à l'équation à deux inconnus }x-2y=5
\text{On sait que les équations à deux inconnus ont une infinité de solutions.}
\text{ On en tire que le système admet une infinité de solutions. }

c) FAUX

\bullet\text{ On a vu ci-dessus que le système en question admet une infinité de solutions. }
\text{ Cependant, le couple } (1;-2) \text{ en est une, en effet, ce couple vérifie l'équation }x-2y=5 \text{ car : } 1-2\times(-2)= 1-(-4)=5

d) FAUX

\begin{array}{lll}\bullet \text{ Résolution par combinaisons : }\left \lbrace \begin{array}{l} x^2+y^2=4 \\ x^2-y^2=2 \\ \end{array}&\Longleftrightarrow & \left \lbrace \begin{array}{ll} x^2+y^2+(x^2-y^2)=4+2 & \text{ (Somme des deux égalités membre à membre)} \\ x^2-y^2=2 &\end{array}  \\\\ &\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} 2x^2=6\\ y^2=x^2-2  \end{array}  \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} x^2=3 \\ y^2=3-2 \\ \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{l} x^2=3 \\ y^2=1  \\ \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow& \left \lbrace \begin{array}{lll} x=\sqrt{3}&\text{ ou }& x=-\sqrt{3} \\\\ y=1&\text{ ou }&y=-1 \\ \end{array} \end{array}

\text{ Le système admet quatre solutions : } S=\left\lbrace \left(-\sqrt{3};-1\right)\text{ , }\left(-\sqrt{3};1\right)\text{ , }\left(\sqrt{3};-1\right)\text{ , }\left(\sqrt{3};1\right)\right\rbrace

exercice 5.

a) FAUX

\bullet \text{Soit la droite } (D) \text{ parallèle au plan } (P)
\text{ Prenons une droite } (\Delta_1) \text{ appartenant au plan } (P) \text{ telle que : } (\Delta_1)// (D)
\text{ Prenons une droite } (\Delta_2) \text{ appartenant elle aussi au plan } (P) \text{ telle que : } (\Delta_2)\perp (\Delta_1)
\text{La droite } (D)  \text{ n'est pas parallèle à }(\Delta_2)

b) FAUX

\bullet\text{Les deux droites du plan auxquelles la droite } (D) \text{ est orthogonale doivent être sécantes}  }
\text{ Sinon, si elles sont parallèles, il se peut qu'elles soient toutes les deux orthogonales à } (D) \text{ avec } (D) \text{ appartenant au plan}

c) FAUX

\bullet\text{ Il manque la condition suivante : Les points en question ne doivent pas être alignés  }

d) FAUX

\bullet\text{Prenons un cube } ABCDE FGH \text{ à titre d'exemple : }

un QCM pour vérifier mes connaissances de seconde : image 2


 \text{Les deux droites } (AB)\text{ et } (EH) \text{ sont perpendiculaires à la droite } (EA) \text{ mais elles ne sont pas parallèles }

exercice 6.

a) VRAI

\bullet\text{On a : }

\triangleright \dfrac{3,001}{2,999}=\dfrac{3001}{2999}=\dfrac{2999+2}{2999}=1+\dfrac{2}{2999}

\triangleright \dfrac{1,001}{0,999}=\dfrac{1001}{999}=\dfrac{999+2}{999}=1+\dfrac{2}{999}

\text{On sait que : } 2999>999 \text{ , donc : }\dfrac{1}{2999}<\dfrac{1}{999}\text{ , on en tire que : } \dfrac{2}{2999}<\dfrac{2}{999}
\text{En ajoutant 1 à chacun des deux membres de l'inégalité, on trouve : }  1+\dfrac{2}{2999}<1+\dfrac{2}{999}
\text{ D'où le résultat.}

b) VRAI

\bullet\text{ On étudie le signe de la différence : }2-3\sqrt{5} -\left( 6-5\sqrt{5}\right)= 2\sqrt{5}-4=2\left(\sqrt{5}-2\right)
\text{Puisque : } 2<\sqrt{5}\text{ , alors : } 2\left(\sqrt{5}-2\right)>0
\text{ Il s'ensuit que  : }2-3\sqrt{5} -\left( 6-5\sqrt{5}\right)>0
\text{ D'où le résultat.}

c) VRAI

\bullet\text{ Tableau de signe : }
\begin{tabvar} {|C|CCCCCCC|} \hline x &-\infty & & -2 & & 1 &&+\infty \\ \hline x^2& & + & \barre{} & + & \barre{} & + & \\ \hline x+2 & & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline x-1 & & - & \barre{} & - & \barre{0} & + &\\ \hline  \frac{x^2(x-1)}{x+2} & & + & \dbarre & - & \barre{0} & + &  \\\hline\end{tabvar}

\text{Rappel : La condition } x+2\neq 0 \text{ est indiquée par deux traits verticaux dans le tableau de signe }

\text{ L'ensemble des solutions de l'inéquation est : }  S=]-\infty ; -2[ \cup[1;+\infty [

d) FAUX

\bullet\text{Vrai uniquement si }x\text{ est positif }

exercice 7.

a) FAUX

\bullet \text{ Contre-exemple : } a=-2 \text{ et } b=3
\text{ Cette proposition n'est vraie que si } a\text{ et } b\text{ ont le même signe (les deux positifs ou les deux négatifs)}

b) VRAI

\bullet \text{ Directement : } a<b \Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} \color{red}a\color{black}+a< \color{red}a \color{black}+b\\ a+\color{blue}b\color{black}< b+ \color{blue}b \color{black} \end{array}\Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} 2a< a+b\\ a+b< 2b \end{array} \Longrightarrow 2a< a+b<2b

c) FAUX

\bullet\text{ Puisque : } (a-b)^3=(a-b)(a-b)^2
 (a-b)^3 \text{ et } a-b \text{ sont de même signe }
\text{Or, } a-b<0 \text{ car } a<b
\text{ Conclusion : } (a-b)^3<0

d) FAUX

\bullet \text{ Contre-exemple : } a=-4 \text{ et } b=-3
\text{ Pour que cette proposition soit vraie, il faut que } b\text{ soit positif}

exercice 8.

a) VRAI

\bullet\text{ En effet, pour tout réel } x \text{ de l'ensemble de définition de } f\text{  : }-2+\dfrac{3}{x+1} =\dfrac{-2(x+1)+3}{x+1}=\dfrac{-2x-2+3}{x+1}=\dfrac{-2x+1}{x+1}=f(x)

b) VRAI

\begin{array}{lll} \bullet\text{Pour tout }x_1\text{ , }x_2 \text{ de } ]-1;+\infty[\text{  : } x_1\leq x_2 &\Longleftrightarrow & x_1+1\leq x_2+1 \\&\Longleftrightarrow& \dfrac{1}{x_1+1}\geq \dfrac{1}{x_2+1}\\ \\&\Longleftrightarrow& \dfrac{3}{x_1+1}\geq \dfrac{3}{x_2+1} \\\\&\Longleftrightarrow& \dfrac{3}{x_1+1}-2\geq \dfrac{3}{x_2+1}-2\\\\&\Longleftrightarrow& f(x_1)\geq f(x_2)\end{array}
f \text{ est donc décroissante sur }]-1;+\infty[

\underline{\text{ Remarque  : }} \text{ cela reste vrai sur tout le domaine de définition de }f \text{ , à savoir : } \mathscr{D}_f=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[ \text{ ( À démontrer, à titre d'exercice ) }

c) VRAI

\bullet f\left(-\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{-2\times\left(-\frac{1}{2}\right)+1}{-\frac{1}{2}+1} =\dfrac{2}{\frac{1}{2}}=4

\text{ le point } I\(-\dfrac{1}{2} ; 4\) \text{ est sur la courbe représentative de } f

d) FAUX

\bullet\text{ L'équation } f(x)=1 \text{ n'admet qu'une seule solution, en effet : }
f(x)=1\Longleftrightarrow -2+\dfrac{3}{x+1} =1 \Longleftrightarrow \dfrac{3}{x+1}=3 \Longleftrightarrow \left\lbrace}\begin{array} {l}x+1=1 \\x\neq -1 \end{array} \Longleftrightarrow x=0
1\text{  n'a qu'un seul antécédent par } f \text{ qui est } 0 \text{ ( }f(0)=1 \text{ )}

exercice 9.

a) FAUX

\bullet\text{ On a : } \left\lbrace \begin{array} {l}AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} =\sqrt{(-2-(-1))^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5} \\\\AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} =\sqrt{(1-(-1))^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \\\\BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2} =\sqrt{(1-(-2))^2+(4-3)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\end{array}

\text{ Donc : ce triangle ne peut pas être isocèle. }

b) VRAI
\text{ Un vecteur directeur de la droite } (D) :y=\dfrac{3}{2}x+1 \text{ est : }\overrightarrow{u}\left(1;\dfrac{3}{2}\right) \text{ , en effet, on écrit : } (D) :\dfrac{3}{2}x-y+1=0

\text{ Un vecteur directeur de la droite } (AC) \text{ est : }\overrightarrow{AC}(x_C-x_A;y_C-y_A) \text{ , donc } \overrightarrow{AC}(2;3)
\text{On en tire que : } \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{u} \text{ , d'où le résultat.}

c) VRAI

\bullet y=\dfrac{1}{4} \Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}x+1=\dfrac{1}{4}\Longleftrightarrow \dfrac{3}{2}x=-\dfrac{3}{4} \Longleftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}

d) FAUX

\bullet \text{ On a : }\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)=\overrightarrow{AB}(-1;2)\text{ et }\overrightarrow{v}(-6;-3)

\text{ Puisque : } -1\times (-3) =3 \text{ et } 2\times (-6)=-12\text{ , donc : } -1\times (-3) \neq 2\times (-6)

\text{ Les vecteurs } \overrightarrow{AB} \text{ et }\overrightarrow{v} \text{ne sont pas colinéaires}

exercice 10.

a) VRAI

\begin{array}{lll}\bullet X&=&\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} \\\\&=&\dfrac{3+2+3+2}{1} \\\\&=&\boxed{10}&&\end{array}

b) FAUX

\bullet\text{ Ceci n'est vrai que si }x\text{ est un réel positif}
\text{Si }x\text{ est un réel négatif  :}\sqrt{x^2}=-x
\text{ Exemple : Puisque }  \sqrt{2}\geq 1 \text{ , alors : } 1-\sqrt{2}\leq 0 \text{ et on a : }\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1

c) FAUX

\bullet \text{ En effet : Puisque } 2\geq \sqrt{3} \geq 1 \text{ , alors : } \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = (2-\sqrt{3})+ (-(1-\sqrt{3}))=2-\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=1

d) FAUX

\begin{array}{lll} \bullet  \sqrt{98} + \sqrt{72} + \sqrt{18} - \sqrt{200} &=&  \sqrt{49\times 2} + \sqrt{36\times 2} + \sqrt{9\times 2} - \sqrt{100\times 2} \\&=&\sqrt{7^2\times 2} + \sqrt{6^2\times 2} + \sqrt{3^2\times 2} - \sqrt{10^2\times 2} \\&=&7\sqrt{ 2} + 6\sqrt{2} + 3\sqrt{ 2} - 10\sqrt{2} \\&=& 6\sqrt{2} \end{array}

exercice 11.

a) FAUX

\begin{array}{lll}\bullet  \dfrac{x^2}{x^2-x}=3 &\Longleftrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{l} x^2=3(x^2-x) \\x^2-x\neq 0 \text{ ( Attention! ne pas oublier la condition ''dénominateur non nul'' après simplification)}\end{array} \\\\&\Longleftrightarrow &  \left\lbrace\begin{array}{l} x^2=3x^2-3x \\x(x-1)\neq 0 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow &  \left\lbrace\begin{array}{l} 2x^2-3x =0\\x\neq 0 \text{ et }x\neq 1 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow &  \left\lbrace\begin{array}{l} x(2x-3) =0\\x\neq 0 \text{ et }x\neq 1 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow &  \left\lbrace\begin{array}{l} x=0 \text{ ou } 2x-3=0\\x\neq 0 \text{ et }x\neq 1 \end{array} \\\\&\Longleftrightarrow &  \left\lbrace\begin{array}{l}  x=\dfrac{3}{2}\\x\neq 0 \text{ et }x\neq 1 \end{array} \end{array}

\text{ L'équation } \dfrac{x^2}{x^2-x}=3 \text{ a pour solution } S =  \left\lbrace \dfrac{3}{2}\right\rbrace

b) VRAI

\begin{array}{lll}\bullet \color{red}x^2-4\color{black}+\color{blue}3(x-2)(x-1)\color{black}+\color{magenta}(2-x)^2=0 &\Longleftrightarrow& \color{red} x^2-2^2 \color{black}+\color{blue} 3(x-2)(x-1)\color{black}+\color{magenta} (x-2)^2\color{black}=0 \\&\Longleftrightarrow& \color{red} (x-2)(x+2) \color{black}+\color{blue} 3(x-2)(x-1)\color{black}+\color{magenta} (x-2)(x-2)\color{black}=0 \\&\Longleftrightarrow&  (x-2)\left[\color{red}(x+2) \color{black}+\color{blue} 3(x-1)\color{black}+\color{magenta}(x-2)\color{black}\right]=0 \\&\Longleftrightarrow&  (x-2)\left(x+2+3x-3+x-2 \right)=0 \\&\Longleftrightarrow&  (x-2)(5x-3)=0 \\&\Longleftrightarrow&  x-2=0\text{ ou } 5x-3=0 \\&\Longleftrightarrow&  x=2\text{ ou } x=\dfrac{3}{5} \end{array}

\text{ L'équation } x^2-4+3(x-2)(x-1)+(2-x)^2=0  \text{ a pour solution } S =  \left\lbrace 2;\dfrac{3}{5}\right\rbrace

c) VRAI

\text{On trace le tableau de signe : }
\begin{tabvar} {|C|CCCCCCC|} \hline x &-\infty & & 2 & & 3 &&+\infty \\ \hline x-2& & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline 3-x & & + & \barre{} & + & \barre{0} & - & \\ \hline (x-2)(3-x) & & - & \barre{0} & + & \barre{0} & - & \\\hline\end{tabvar}


\text{ L'inéquation }(x-2)(3-x) > 0 \text{ admet bien pour solution }S = ]2 ; 3[ \text{ (Faire attention à la relation d'ordre } \underline{\text{ Strictement }} \text{ positif )}

d) FAUX

\dfrac{(x-1)(x+2)}{x^2-1} \ge 0 \Longleftrightarrow \dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)} \ge 0 \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x+1} \ge 0 \\\text{ et }\\x-1\neq 0 \end{array}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x+1} \ge 0 \\\text{ et }\\x\neq 1 \end{array}

\text{  Attention à ne pas oublier la condition } x-1\neq 0 \text{ surtout après simplification!}
\text{ La condition } x+1\neq 0 \text{ sera indiquée par deux traits verticaux dans le tableau de signe, car }x+1 \text{ est toujours au dénominateur}

\text{Le tableau de signe : }
\begin{tabvar} {|C|CCCCCCC|} \hline x &-\infty & & -2 & & -1 &&+\infty \\ \hline x+1& & - & \barre{} & - & \barre{0} & + & \\ \hline x+2 & & - & \barre{0} & + & \barre{} & + & \\ \hline \frac{x+2}{x+1} & & + & \barre{0} & - & \dbarre & + & \\\hline\end{tabvar}

\begin{array}{lll}\text{La solution de l'inéquation est donc : } S&=&]-\infty;-2]\cup]-1;+\infty[-\lbrace 1 \rbrace\\\\& =& \boxed{]-\infty;-2]\cup]-1;1[\cup ]1;+\infty[}\end{array}

\text{ Illustration : }
un QCM pour vérifier mes connaissances de seconde : image 1
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
etienne
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1293 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !