Fiche de mathématiques
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Révisions du programme de seconde

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Voici les principaux chapitres étudiés en seconde :
Développement
Factorisation
La proportionnalité (et %)
Pythagore
Thalès
Mise en équation de problèmes
Systèmes linéaires d'équations
Inéquations
Systèmes d'inéquations
Valeurs absolues (hors programme seconde )
Etude de fonctions
        Ensemble de définition
        Parité
        Tableau de variation
        Représentation graphique
Substitution
Géométrie
        Les vecteurs
        Symétries, translations, rotations
Géométrie dans l'espace
        Orthogonalité dans l'espace
        Aires et volumes
Trigonométrie
        Fonctions circulaires
        Cercle trigonométrique
        Mesures d'angles orientés
Statistiques

exercice 1

Ecrire plus simplement
A=\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{8}-\dfrac{4}{9}
B=\dfrac{\dfrac{42}{5}}{-\dfrac{2}{15}}
C=\dfrac{4-\dfrac{2}{3}}{5}
D=\dfrac{\dfrac{2}{5}-\dfrac{7}{2}}{\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{5}}



exercice 2

ABCD est un trapèze. En centimètres on a AB = 12, CD = 5 et IJ = 3.
vingt-neuf exercices de révisions du programme de seconde - seconde : image 5

1. A l'aide du théorème de Thalès expliquer pourquoi \dfrac{\text{OI}}{\text{OJ}}=\dfrac{\text{OD}}{\text{OA}} et \dfrac{\text{OD}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{CD}}{\text{AB}} .
2. Notons OI = x. Déduire de 1. que \dfrac{x}{x+3}=\dfrac{5}{12}.
3. Calculer l'aire du triangle OCD.



exercice 3

Une balle de tennis est lâchée de la hauteur h d'un balcon. A chaque rebond, elle remonte aux \dfrac{3}{4} de la hauteur atteinte au rebond précédent.
1. Exprimer, en fonction de h, la hauteur atteinte au deuxième rebond, puis au troisième, puis au quatrième.
2. Supposons qu'en mètres : h = 5.
Donner des valeurs approchées, arrondies au centimètre, des hauteurs trouvées au 1..



exercice 4

1. Exprimer \sqrt{32} et \sqrt{72} en fonction de \sqrt{2} .
2. Écrire plus simplement 5\sqrt{2}+\sqrt{32}-\sqrt{72}.



exercice 5

Factoriser chacune de ces écritures :
1. (2x + 3)(x -5) - (2x + 3)(2x - 1)
2. 81x² - 64
3. 9x² + 12x + 4
4. (x + 4)² - 2(x + 4)(6 - x)



exercice 6

Résoudre les équations:
1. 2(x-3)-\dfrac{3}{2}x+7-4\left(\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{4}\right)=0
2. \dfrac{3}{4}(2-x)-\dfrac{1}{2}(6x+1)+2+\dfrac{15}{4}x=0
3. \dfrac{3x+1}{x-2}=4



exercice 7

Est-il possible de trouver trois naturels impairs consécutifs dont la somme soit 99 ?



exercice 8

Résoudre les systèmes d'inéquations
1. \left \lbrace \begin{array}{l} 2x - 3 > 5x - 1 \\ x + 4 \ge 3x - 2 \\ \end{array} \right.
2. -5 < 8-5x < \dfrac{11}{3}
3. \left \lbrace \begin{array}{l} 2x - 3 > x + 1 \\ 3x - 1 \le 2x + 7 \\ \end{array} \right.
4. -4 > 8-3x > -10



exercice 9


(hors programme seconde)
Résoudre l'équation et l'inéquation :
|x - 3| = 4
|x + 2| < 3



exercice 10

Résoudre l'inéquation x² \le 5



exercice 11

Une plaque métallique rectangulaire a pour dimensions en centimètres : L \approx 4,5 et l \approx 2,3.
Ces mesures ont été faites à 0,01 cm près avec un pied à coulisse.
1. Donner un encadrement de l, puis de L.
2. En déduire un encadrement de l'aire S de cette plaque métallique.
3. Traduire cet encadrement par une approximation de S.



exercice 12

Deux réels ont pour somme 25 et pour différence \dfrac{5}{2} . Quels sont ces deux réels ?



exercice 13

Une fabrique de meubles utilise deux types de bois : du châtaignier et du merisier. Elle possède un stock de 60m³ de merisier et 40m³ de châtaignier. Voici les quantités de bois, en mètres cubes qui entrent dans la fabrication d'un lit et d'une armoire :
  Châtaignier Merisier
Lit 0,20 0,15
Armoire 0,10 0,20
Combien de lits et d'armoires peut fabriquer cette usine en utilisant tout le stock dont elle dispose ?



exercice 14

En automobile, si je roule à 60 km/h, j'arrive à 13h ; mais si je roule à 80 km/h, j'arrive à 11h.
Quelle distance ai-je à parcourir et à quelle heure suis-je parti ?
Indication : noter d la distance à parcourir et t l'heure de départ.



exercice 15

Un malade est remboursé à 70% par la Sécurité Sociale. S'il a payé 40 ?, combien reste-t-il à sa charge ?



exercice 16

Un projectile est lancé à partir du sol à un instant pris comme origine. On note h(t) sa hauteur (en mètres) à l'instant t (en secondes).
Les physiciens estiment que l'on a, a tout instant t :
h(t) = -5t² + 100t .
1. À quel instant le projectile retombera-t-il au sol ?
2. Démontrer que la fonction h est strictement croissante sur [0 ; 10] et strictement décroissante sur [10 ; 20].
3. Quelle hauteur maximale a atteint le projectile ?



exercice 17

Étudier complètement les deux fonctions x \mapsto x^2 et x \mapsto \sqrt{x}.



exercice 18

1. Avec l'aide de la calculatrice, tabuler sur l'intervalle [-7 ; 7] avec le pas h=0,5 la fonction
f: t \mapsto \dfrac{1}{t^2-2} . Placer les points correspondants dans un repère orthonormal.
2. Pour avoir l'allure de la courbe représentative de la fonction f, peut-on relier les point obtenus sans autre forme de procès ?



exercice 19

Dans une ville, il n'y a que deux lycées.
1. Dans l'un, il y a 80% de garçons et dans l'autre 40%.
Peut-on affirmer que le nombre de garçons de cette ville, allant au lycée, est supérieur au nombre de filles ?
2. Dans chacun des lycées de cette ville, le pourcentage des garçons est supérieur à celui des filles.
Peut-on affirmer que le nombre de garçons de cette ville, allant au lycée, est supérieur au nombre de filles ?



exercice 20

C est un cercle de centre O, [AB] est l'un de ses diamètres. La médiatrice de [OB] coupe le cercle en C et D.
1. Pourquoi le triangle OBD a-t-il tous ses côtés de même longueur ?
2. Quelle est la mesure de l'angle ODA ?



exercice 21

vingt-neuf exercices de révisions du programme de seconde - seconde : image 19
On a (RS) // (MN).
Calculer OM et RS



exercice 22

ABC est un triangle équilatéral de côté 8cm. Calculer la longueur de l'une de ses hauteurs.



exercice 23

Simplifier l'écriture des vecteurs :
\vec{u} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{AB}
\vec{v} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB}



exercice 24

A,B,C,D sont quatre points.
1.Construire le point M tel que :
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}
2.Construire le point N tel que :
\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}
3.Démontrer que
\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}



exercice 25

Dans un repère, on donne les points :
A (2; 3) et C (-1; 0).
Trouver une équation de la droite (AC).



exercice 26

Dans un repère, la droite d a pour équation cartésienne :
   2x - y + 1 = 0
Trouver une équation cartésienne de la droite d' qui est parallèle à d et qui passe par le point B (3 ; 2).



exercice 27

Le triangle ABC est-il rectangle ?
A(-1; 3), B(-2; -1), C(8; 1).



exercice 28

Un prisme droit a un volume de 36 cm3 et l'aire de son polygone de base est 12cm².
Calculer la hauteur de ce prisme.



exercice 29

Calculer l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution dont la hauteur a pour longueur 4 m et dont le disque de base a un rayon de 2,5m.

Voir la correction


exercice 1

A = \dfrac{205}{72}
B = -63
C = \dfrac{2}{3}
D = -\dfrac{93}{52}



exercice 2

1. Dans les triangles ODI et OAJ, (DI) // (AJ) Donc le théorème de Thalès donne : \dfrac{\text{OI}}{\text{OJ}}=\dfrac{\text{OD}}{\text{OA}}
Dans les triangles ODC et OAB, (DC) // (AB) Donc le théorème de Thalès donne : \dfrac{\text{OD}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}

2. Par transitivité, on peut conclure de 1. que OI/OJ = CD/AB
OI = x.
OJ = OI + IJ = x + 3.
CD = 5
AB = 12
On a donc \dfrac{x}{x+3}=\dfrac{5}{12}

3. AOCD = CD × OI / 2
AOCD = 5x / 2
D'après 2. On a 12x = 5(x+3) et donc x=15/7
AOCD = 75 / 14
(AOCD \approx 5,36)



exercice 3

1. Premier rebond = 3/4 h
Deuxième rebond : 3/4(3/4 h) = 9/16 h
Troisième rebond : 3/4(9/16 h) = 27/64 h
Quatrième rebond : 3/4(27/64 h) = 81/256 h

2. Premier rebond = 3,75
Deuxième rebond : 3/4(3/4 h) \approx 2,81
Troisième rebond : 3/4(9/16 h) \approx 2,11
Quatrième rebond : 3/4(27/64 h) \approx 1,58



exercice 4

1. \sqrt{32} = \sqrt{16\times2} = 4\sqrt{2}
\sqrt{72} = \sqrt{36\times2} = 6\sqrt{2}

2. 5\sqrt{2} + \sqrt{32} - \sqrt{72}
= 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2}
= 3\sqrt{2}



exercice 5

1. (2x + 3)(x -5) - (2x + 3)(2x - 1) = (2x + 3) (-x - 4)

2. 81x² - 64 = (9x + 8)(9x - 8)

3. 9x² + 12x + 4 = (3x+2)²

4. (x +4)² - 2(x + 4)(6 - x) = (x + 4)(3x - 8)



exercice 6

1. 2(x-3)-\dfrac{3}{2}x+7-4\left(\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{4}\right)=0
2x-6-\dfrac{3}{2}x+7-\dfrac{1}{2}x-1=0
\boxed{6=6}
Cette relation est toujours vraie, et ne dépend pas de la variable x.
S=\mathbb{R}

2. \dfrac{3}{4}(2-x)-\dfrac{1}{2}(6x+1)+2+\dfrac{15}{4}x=0
\dfrac{6}{4}-d\frac{3}{4}x-3x-d\frac{1}{2}+2+d\frac{15}{4}x=0
\boxed{3\neq0}
Encore une fois, l'équation ne dépend pas de la variable x, or le résultat est incohérent, on en conclue que :
S=\emptyset

3. \dfrac{3x+1}{x-2}=4
3x+1=4(x-2)
3x+1=4x-8
\fbox{x=9}



exercice 7

Soit n le premier naturel impair. Donc n=2p+1
On cherche à résoudre :
2p + 1 + 2p + 3 + 2p + 5 = 99
p = 15
Donc les trois impairs consécutifs 31,33,35 ont leur somme égal à 99.



exercice 9


(hors programme seconde)
1. |x-3| = 4
On a soit :

x-3=4 \\ x=7 soit : x-3=-4 \\ x=-1
Donc : \fbox{S= \lbrace-1;7\rbrace}

2. |x-2|<3
-3<x-2<3 \\ -3+2 < x-2+2 < 3+2 \\ -1<x<5
\fbox{S=]-1;5[}



exercice 10

x² \le 5
- \sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}



exercice 11

1. 2,29 < l < 2,31 \\ 4,49 < L < 4,51
2. 10,28 < S < 10,42
3. S \approx 10,35



exercice 12

On nomme x et y les deux réels, ils doivent vérifier le système qui suit :
\left \lbrace \begin{array}{l} x+y=25 \\ x-y=\dfrac{5}{2} \\ \end{array} \right.
En résolvant le système d'équations par substitution, on obtient :
\left \lbrace \begin{array}{l} x=\dfrac{55}{4} \\ y=\dfrac{45}{4} \\ \end{array} \right.



exercice 14

Pour cet exercice, il faut utiliser la formule :
v=\dfrac{d}{t} , avec v la vitesse, d la distance et t le temps.

On adopte également la nomenclature proposée en indication, c'est à dire que t est en réalité le point de départ. On a deux situations décrites, on les interprête mathématiquement :
60=\dfrac{d}{13-t} \\ 60(13-t)=d \\ 780-60t=d ainsi que : 80=\dfrac{d}{11-t} \\ 80(11-t)=d \\ 880-80t = d
Pour déterminer d et t, on doit résoudre le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{l} 880-80t=d \\ 780-60t=d \\ \end{array} \right.
Après avoir utilisé la méthode de substitution (cas trivial ici), on trouves :
\left \lbrace \begin{array}{l} t=5 h \\ d=480 km \\ \end{array} \right.
Conclusion : J'ai parcouru 480 km, en partant à 5 h du matin.



exercice 15

Le malade est remboursé à 70%, il aura donc a payer uniquement 30% des soins qui lui sont prescrits. Ici les soins s'élèvent à 40 euros, il devra donc payer :
\dfrac{30}{100}\times 40 = 12 euros



exercice 16

1. Le projectile retombera au sol, au moment où h(t) = 0, en d'autres termes, on doit résoudre :
100t -5t^2 = 0 \\ 5t^2=100t \\ t^2=20t \\ t=20
==> le projectile retombera à l'instant t=20 secondes.

2. h(t)=-5t^2+100t admet pour représentation graphique une parabole tournée vers le bas.

Son maximum est atteint pour t=\dfrac{-100}{-10}=10
On en déduit que h est croissante sur [0;10], et décroissante sur [10;20].

3. Le maximum est atteint pour t=10 , la hauteur maximale est donnée par h(10)=1000-500=500 ; par conséquent à l'instant t=10, la hauteur maximale sera de 500 m.



exercice 19

1. On ne peut pas affirmer que le nombre de garçon sera plus conséquent, dans la mesure où le pourcentage ne nous révèle pas la quantité dont il traite. Les 40% de garçons d'un des lycées qui peut-être bien plus grand que l'autre, ne permet pas de conclure, il faudrait avoir le nombre d'élèves que cela engage.
2. En revanche ici, si les deux pourcentages indiquent une majorité de garçons, alors on peut en conclure qu'il y a plus de garçons de la ville qui font au lycée que de filles.



exercice 20

1. OB=OD (rayons du cercle), et D est sur la médiatrice de [OB], il est donc équidistant de O et B, par conséquent OD=DB. On a OB=OD=DB, donc le triangle OBD est équilatéral.
2. ABD est un triangle rectangle en D, puisqu'il est incrit dans un demi-cercle. On sais que \widehat{ODB}=60 donc :
\widehat{ODA}=\widehat{BDA}-\widehat{ODB} \\ \widehat{ODA}=90-60
\widehat{ODA}=\fbox{30}



exercice 21

(RS)//(MN) , on peut appliquer le théorème de Thalès :
\dfrac{\text{RS}}{\text{MN}}=\dfrac{\text{RO}}{\text{OM}}=\dfrac{\text{SO}}{\text{ON}} \\ \dfrac{\text{RS}}{3.8}=\dfrac{2.5}{\text{OM}}=\dfrac{2}{4}
Par simple produit en croix on obtient :
\fbox{\text{OM}=5}     \fbox{\text{RS}=1.9}



exercice 22

ABC est équilatéral, avec AB = BC = AC = 8cm . La nature du triangle possède une des propriété suivante : "La hauteur d'un triangle équilatéral correspond également à sa médiatrice, sa médiane et sa bissectrice".
On nomme H le projeté orthogonal de A sur [BC], celui-ci se situe sur m[BC] , donc HC=4 cm et AC=8cm ,or AHC est rectangle, on lui applique le théorème de pythagore :
\text{AH}^2+\text{HC}^2=\text{AC}^2 \\ \text{AH}^2=\text{AC}^2-\text{HC}^2 \\ \text{AH}^2=8^2-4^2 \\ \text{AH}^2 = 64-16 \\ \text{AH}^2=48
\fbox{\text{AH}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}}



exercice 23

En utilisant la relation de Chasles :
\vec{u}=\overrightarrow{\text{MA}}-\overrightarrow{\text{MB}}-\overrightarrow{\text{AB}} \\ \vec{u}=\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{BM}}+\overrightarrow{\text{BA}} \\ \vec{u}=2\overrightarrow{\text{BA}}
\vec{v}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{DC}}-\overrightarrow{\text{DB}} \\ \vec{v}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{DA}} \\ \vec{v}=\vec{0}



exercice 24

\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}} \\ \overrightarrow{\text{AM}}=2\overrightarrow{\text{AB}}
\overrightarrow{\text{AN}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AD}} \\ \overrightarrow{\text{AN}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CD}}
\overrightarrow{\text{NM}}=\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AD}}+2\overrightarrow{\text{AB}} \\ \overrightarrow{\text{NM}}=\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{AB}}
\fbox{\overrightarrow{\text{NM}}=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{DB}}}



exercice 25

A(2;3) \\ C(-1;0)
La droite ,'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, on sait qu'une équation va s'écrire : y=ax+b , avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine, on remplace respectivement l'abscisse (x) et l'ordonnée (y) des points données (leurs coordonnées) ainsi :
\left \lbrace \begin{array}{l} 3=2a+b \\ 0=-a+b \\ \end{array} \right.
Après résolution du système par subsititution, on obtient a = 1 et b=1 , l'équation de la droite (AC) est donc :
\fbox{y=x+1}



exercice 26

Soit d la droite d'équation : y=2x+1 . On souhaite déterminer l'équation d'une droite d' , parallèle à d et passant par un point B de coordonnées (3;2) . Cette droite d' aura le même coefficient directeur que d (parallélisme), il ne reste plus qu'à trouver b, ce qui est relativement facile, on remplace tout bonnement les coordonnées b dans y=ax+b en sachant que a = 2 soit :
2=2\times 3 +b \\ b=-4
On en conclut que : (d'): y=2x-4



exercice 27

A(-1;3) ; B(-2;-1) ; C(8;1)
On calcule les différentes longueurs qui composent le triangle ABC :
\text{AB}=\sqrt{(X_b-X_a)^2+(Y_b-Y_a)^2} \\ \text{AB}=\sqrt{(-2+1)^2+(-1-3)^2} \\ \text{AB}=\sqrt{17}
\text{BC}=\sqrt{104}
\text{AC}=\sqrt{85}
On applique la réciproque du théorème de pythagore :
\text{AB}^2+\text{AC}^2 = 102 \\ \text{BC}^2 = 104 \\ \text{AB}^2+\text{AC}^2 \neq \text{BC}^2
On en conclut que le triangle ABC n'est pas rectangle.



exercice 28

Le volume du prisme droit est de 36cm3 , et sa base à une surface de 12cm2. Or Volume = Base multiplie Hauteur :
12\times h=36 \\ h=\dfrac{36}{12}
\fbox{h=3} cm.
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