Fiche de mathématiques
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Exercice Equations de droites - Seconde

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On considère, dans un repère (O ; I ; J) du plan les points suivants
A(6 ; 2) B(-4 ; -4) C(-1 ;5) et D(5 ; -1)


Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ? Si oui, quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection.









A et B ont des abscisses différentes ; on peut donc déterminer le coefficient directeur de la droite (AB) :

a_1 = \frac{-4-2}{-4-6} = \frac{-6}{-10} = 0,6


C et D ont des abscisses différentes. Le coefficient directeur de la droite (CD) est :
a_2= \frac{-1-5}{5-(-1)} = \frac{-6}{6} = -1


Les deux coefficients directeurs sont différents. Les droites sont donc sécantes.

Déterminons maintenant une équation de chacune des deux droites.
Une équation de la droite (AB) est de la forme y=0,6x+b.
Puisque A(6 ; 2) appartient à cette droite, ses coordonnées vérifient l'équation précédente.
Ainsi 2=0,6×6+b soit 2=3,6+b et b=-1,6.

Une équation de (AB) est donc y=0,6x-1,6

Une équation de la droite (CD) est de la forme y=-x+b.
Puisque C(-1 ; 5) appartient à cette droite, ses coordonnées vérifient cette équation.
Ainsi 5=-(-1)+b soit 5=1+b et b=4.
Une équation de (CD) est donc y=-x+4.

Déterminons maintenant les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
On doit résoudre le système


\left\lbrace\begin{array}l y=0,6x-1,6 \\ y=-x+4 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l y=0,6x-1,6 \\ 0,6x-1,6=-x+4 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l y=0,6x-1,6 \\ 0,6x+x=4+1,6 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l y=0,6x-1,6 \\ 1,6x=5,6 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l y=0,6x-1,6 \\ x=3,5 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=3,5 \\ y=0,6×3,5-1,6 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=3,5 \\ y=0,5 \end{array}

Ainsi les droites (AB) et (CD) sont sécantes et leur point d'intersection a pour coordonnées (3,5 ; 0,5).
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