Fiche de mathématiques

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L'Espace

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exercice 1

Soit SABCD une pyramide régulière dont la base est le carré de côté 2a et dont les faces latérales sont des triangles isocèles d'angles au sommet de mesure 30°. On désigne respectivement par I, J et H le milieu de [AB], le milieu de [CD] et le centre du carré ABCD.
Déterminer, en fonction de a, la hauteur SH de cette pyramide.

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 1

exercice 2

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 10, AE = 6 et BC = 8.

1. Calculer les longueurs des segments [HA], [HF], [HC] et [HB].

2. Calculer le volume des pyramides HABCD et HBCGF.

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 6

exercice 3

SABC est un tétraèdre régulier d'arête a.

1. Calculer en fonction de a :
    a) la hauteur SH.
    b) l'aire du triangle ABC et l'aire totale du tétraèdre.
    c) le volume du tétraèdre.

2. Un cube d'arête x a une aire égale à celle du tétraèdre, quel est le rapport des volumes du cube et du tétraèdre.

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 7

exercice 4

ABCDEFGH est un cube. AB = 5 cm. Soit I le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABH.

1. Calculer AH, HB et AI.

2. Représenter en vraie grandeur le triangle AIC.

3. Démontrer que la mesure en degrés de $\widehat{\text{AIC}}$ est 120°.

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 9

Correction

exercice 1

Pour calculer la longueur SH, nous allons déjà déterminer la longueur SI. Plaçons nous dans le plan (SAB).
Soit K le point de [SI] tel que AKB soit un triangle équilatéral.

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 3

On a donc : $\widehat{\text{IBK}}$ = 60°.
Or, $\widehat{\text{ISB}}$ = 15°, donc : $\widehat{\text{SBI}}$ = 180 - (90 + 15) = 75°.
Et : $\widehat{\text{SBK}}$ = 15°.
Le triangle BKS est isocèle, d'où KS = KB.
Et, le triangle AKB est équilatéral, donc KB = 2a et KI = a $\sqrt{3}$ .
On a donc : IS = IK + KS = a $\sqrt{3}$ + 2a = a( $\sqrt{3}$ + 2).

Dans le plan (ISJ):

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 4

[SH] est la hauteur issue de S dans le triangle isocèle ISJ. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ISH donne :
SH² = SI² - IH² = a²( $\sqrt{3}$ + 2)² - a²
= a²(6 + 4 $\sqrt{3}$ ).
On obtient : SH = a $\sqrt{6+4\sqrt{3}}$ .

exercice 2

1. Longueur du segment [HA] :
On se place dans le plan (AEH) :

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle HEA rectangle en E :
HE² + EA² = HA
$\Longleftrightarrow$ HA² = 8² + 6² = 100
D'où : HA = 10 unités de longueur.

Longueur du segment [HF] :
On se place dans le plan (HEF)

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle HEF rectangle en E :
HE² + EF² = HF²
$\Longleftrightarrow$ HF² = 8² + 10² = 4×41
D'où : HF = 2 $\sqrt{41}$ unités de longueur.

Longueur du segment [HC] :
On se place dans le plan (HDC)

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle HDC rectangle en D :
HD² + DC² = HC²
$\Longleftrightarrow$ HC² = 6² + 10² = 36×4
D'où : HC = 2 $\sqrt{34}$ unités de longueur.

Longueur du segment [HB] :
On se place dans le plan (HDB)

On applique le théorème le Pythagore dans le triangle HFB rectangle en F :
HB² = HF² + FB²
$\Longleftrightarrow$ HB² = 4×41 + 6² = 200
D'où : HB = 10 $\sqrt{2}$ unités de longueur.

2. Volume de la pyramide HABCD :
V_HABCD = $\dfrac{1}{3}$ ×(aire de la base)×hauteur
= $\dfrac{1}{3}$ ×AB×BC×HD = 160 unités de volume

Volume de la pyramide HBCGF :
V_HBCGF = $\dfrac{1}{3}$ ×(aire de la base)×hauteur
= $\dfrac{1}{3}$ ×BF×BC×HG = 160 unités de volume
Conclusion : Les volumes sont égaux.

exercice 3

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 8

a) Longueur de la hauteur [SH] :
Soit I le milieu de [BC], les hauteurs [AI] et [SI] dans les triangles équilatéraux ABC et SBC ont même longueur : AI = SI = $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .
H est le centre du triangle équilatéral ABC, donc HI = $\dfrac{1}{3}$ AI.
En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle SHI rectangle en H, on trouve :
SI² = SH² + HI²
$\Longleftrightarrow$ SH² = SI² - HI² = $\dfrac{6a^2}{9}$ .
Conclusion : SH = $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ .

b) Aire du triangle ABC :
A_ABC = $\dfrac{1}{2}$ ×(base×hauteur) = $\dfrac{1}{2}$ ×BC×AI = $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Aire totale du tétraèdre :
A_tétraèdre = 4×A_ABC = 4× $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ = a² $\sqrt{3}$ .

c) Volume du tétraèdre :
V_SABC = $\dfrac{1}{3}$ ×(aire de la base)×hauteur = $\dfrac{1}{3}$ ×(aire de ABC)×SH
= $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$ .

2. Traduisons mathématiquement le fait que le cube d'arête x a une aire égale à celle du tétraèdre : a² $\sqrt{3}$ = 6x².
On en déduit que : $\dfrac{x}{a} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{6}}$ .
Le rapport des volumes du cube et du tétraèdre est :
$\dfrac{V_{cube}}{V_{tétraèdre}}=\dfrac{x^3}{\frac{a^3\sqrt{2}}{12}}=\left(\dfrac{x}{a}\right)^3\times\dfrac{12}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\times\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{6}}\times\dfrac{12}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{\sqrt{3}}\times12}{6\times\sqrt{6}\times\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}}\times12}{6\times2}=\sqrt{\sqrt{3}}$ .

exercice 4

Hypoyhèses : ABCDEFGH cube
AB = 5 cm
I pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABH.

1. Calcul de AH :
[AH] est la diagonale du carré AEHD de côté 5 cm.
Conclusion : AH = 5 $\sqrt{2}$ cm.

Calcul de HB :

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 10

avec AB = 5 cm et AH = 5 $\sqrt{2}$ cm.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en A, on a :
HB² = HA² + AB² = 25×2 + 25 = 75
Conclusion : HB = 5 $\sqrt{3}$ cm.

Calcul de AI :
Dans le plan (ABH), on a :
Dans le triangle ABI rectangle en I, on applique le théorème de Pythagore :
AB² = AI² + BI², donc AI² = AB² - BI²
Dans le triangle AIH rectangle en I, on applique le théorème de Pythagore:
AH² = AI² + IH², donc AI² = AH² - IH²
De ces deux égalités, on a que : AB² - BI² = AH² - IH².
Or, BI = BH - IH, donc : AB² - (BH - IH)² = AH² - IH²
$\Longleftrightarrow$ AB² - BH² + 2×BH×IH - IH² = AH² - IH²
$\Longleftrightarrow$ 2×BH×IH = AH² - AB² + BH²
$\Longleftrightarrow$ IH = $\dfrac{AH^2-AB^2+BH^2}{2BH}$
$\Longleftrightarrow$ IH = $\dfrac{(5\sqrt{2})^2-5^2+(5\sqrt{3})^2}{2\times5\sqrt{3}}$ = $\dfrac{25\times2-25+25\times3}{10\sqrt{3}}$ = $\dfrac{100}{10\sqrt{3}}$ .
Conclusion : IH = $\dfrac{10}{\sqrt{3}}$ cm.

Par conséquent : AH² = AI² + ICH²
$\Longleftrightarrow$ AI² = AH² - IH²
$\Longleftrightarrow$ AI² = $\left(5\sqrt{2}\right)^2 - \left(\dfrac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 = \dfrac{50}{3}$ .
Conclusion : AI = $\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$ cm.

2. Les mesures du triangle AIC sont les suivantes :
AI = $\dfrac{5\sqrt{6}}{3}$ cm
AI = IC car [HB] est une diagonale du cube
AC = 5 $\sqrt{2}$ cm.

3. Mesure de $\widehat{\text{AIC}}$ :
AIC est un triangle isocèle de sommet principal I.

quatre exercices sur le calcul de longueurs dans l'espace - seconde : image 11

Soit K le pied de la hauteur issue de I. On a alors AK = KC et (IK) perpendiculaire à (AK).
Dans le triangle KAI rectangle en K, on a :
$\cos \widehat{\text{KAI}} = \dfrac{AK}{AI} = \dfrac{\frac{AC}{2}}{AI} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2\times5\sqrt{6}}\times3 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{12}}{6\times2} = \dfrac{\sqrt{12}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , donc $\widehat{\text{KAI}}$ = 30°.
Or, $\widehat{\text{AIC}}$ = 180 - 2 $\widehat{\text{KAI}}$ = 180 - 2×30
Conclusion : $\widehat{\text{AIC}}$ = 120°.

Publié par Tom_Pascal le 13-01-2020

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