L'Espace

Révisez le cours sur la géométrie dans l'espace

exercice 1

Soit un plan P, A et B deux points distincts de P et S un point n'appartenant pas à P. On considère le milieu I de [SA] et le point J de [SB] tel que SJ = $\dfrac{3}{4}$ SB.

cinq problèmes dans l'espace - seconde : image 1

Déterminer l'intersection de la droite (IJ) avec le plan P.

exercice 2

Soit ABCD un tétraèdre tel que la droite (AD) soit orthogonale à la face BCD. On désigne par H l'orthocentre du triangle ABC.

cinq problèmes dans l'espace - seconde : image 3

Démontrer que les droites (DH) et (BC) sont orthogonales.

exercice 3

Soit ABCDEFGH un cube d'arête de longueur a.

cinq problèmes dans l'espace - seconde : image 4

Démontrer que la droite (EC) est orthogonale à la droite (AF).

exercice 4

ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs de [AE] et [CG].

1. Représenter le cube et placer les points I et J.

2. Déterminer l'intersection des faces du cube par le plan (IBJ).

3. Préciser la nature du quadrilatère IBJH.

exercice 5

Une pyramide régulière SABCDEF a pour base un hexagone régulier de côté a et pour hauteur SO = 3a. Soit I le milieu de [AB].

cinq problèmes dans l'espace - seconde : image 6

1. Calculer en fonction de a l'aire de l'hexagone ABCDEF. En déduire le volume de la pyramide.

2. Calculer SI en fonction de a. En déduire l'aire latérale de la pyramide.

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exercice 1

Les points A, B et S forment un plan que l'on appelle Q car le point S qui n'est pas dans le plan P ne peut pas être aligné avec A et B, deux points distincts de P.
Puisque les points A et B sont à la fois dans les plans P et Q, la droite (AB) est l'intersection de ces deux plans.
I étant le milieu de [SA] et J étant sur la droite (SB), alors les points I et J appartiennent au plan Q.
Nous avons les égalités suivantes :
$\dfrac{\text{SI}}{\text{SA}} = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\text{SJ}}{\text{SB}} = \dfrac{3}{4}$
La réciproque du théorème de Thalès n'étant pas vérifiée, les droites (IJ) et (AB) ne sont pas parallèles. Appelons K leur point d'intersection.
Le point K appartient à la droite (IJ) et au plan P [puisqu'il est sur (AB)].
Conclusion : Le point K est l'intersection de la droite (IJ) avec le plan P.

cinq problèmes dans l'espace - seconde : image 2

exercice 2

Comme le point H est l'orthocentre du triangle ABC, la droite (BC) est perpendiculaire à la hauteur (AH).
La droite (AD) étant orthogonale au plan (BCD), alors la droite (AD) est orthogonale à la droite (BC).
La droite (BC) est orthogonale au plan (ADH) car elle est à la droite (AH) et à la droite (AD).
La droite (DH) est dans un plan orthogonal à la droite (BC) donc les droites (DH) et (BC) sont orthogonales.

exercice 3

Les segments [EA] et [EF] étant deux arêtes du cube, nous avons : EA = EF = a. Le point E appartient donc au plan médiateur de [AF].
Les diagonales [CA] et [CF] des carrés ABCD et BCGF ont même longueur :
CA = CF = a $\sqrt{2}$
Le point C est donc également dans le plan médiateur de [AF].
Le plan médiateur de [AF] contient la droite (EC) et il est orthogonal à (AF), donc les droites (AF) et (EC) sont orthogonales.

exercice 4

cinq problèmes dans l'espace - seconde : image 5

I est le milieu de [AE]
J est le milieu de [CG]

2. Le plan (IBJ) coupe les deux plans parallèles (EAB) et (HDC) respectivement selon (BI) et la parallèle à (BI) passant par J.
Appelons K le milieu de [DH]. Comme IBCK est un parallélogramme, alors la droite (CK) est parallèle à la droite (BI).
La parallèle à (BI) passant par J est la droite (JH).
IBJH est l'intersection des faces du cube avec le plan (IBJ).

3. IBJH est un losange.

exercice 5

1. Aire de l'hexagone ABCDEF :
A_ABCDEF = 6×A_OAB
Calculons donc l'aire du triangle OAB :
A_OAB = $\dfrac{1}{2}$ ×(base×hauteur) = $\dfrac{1}{2}$ ×AB×OI
Or, OI = $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .
Donc : A_OAB = $\dfrac{1}{2}$ ×a× $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ = $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .
Conclusion : A_ABCDEF = 6× $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ = $\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ .

Calculons le volume de la pyramide :
V_pyramide = $\dfrac{1}{3}$ ×(aire de la base)×hauteur = $\dfrac{1}{3}$ ×A_ABCDEF×SO
= $\dfrac{1}{3}$ × $\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ ×3a
Conclusion : V_pyramide = $\dfrac{3\sqrt{3}a^3}{2}$

2. Calcul de SI en fonction de a :
Dans le triangle SOI rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore :
SI² = SO² + OI² = 9a² + $\dfrac{3a^2}{4}$ = $\dfrac{39a^2}{4}$
Conclusion : SI = $\dfrac{a\sqrt{39}}{2}$

Aire latérale de la pyramide :
6×A_SAB = 6× $\dfrac{1}{2}$ ×AB×SI = 3×a× $\dfrac{a\sqrt{39}}{2}$
Conclusion : A_{latérale pyramide} = $\dfrac{3a^2\sqrt{39}}{2}$

Publié par TP/malou le 13-01-2020

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