Représenter graphiquement, puis écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres vérifiant les inégalités suivantes :
a) b) c) d) e)
exercice 2
Schématiser les intervalles suivants :
[1 ;4] ; ]-2 ;+[ ; [-7 ;7,1] ; ]- ;1[ ; [0 ;1].
Existe-t-il un réel commun à ces cinq intervalles ?
exercice 3
Combien y a t-il d'entiers relatifs x tels que :
Inéquations
exercice 4
Étudier le signe de :
a) b) c) d)
Valeurs absolues
exercice 5
Trouver tous les entiers relatifs x tels que :
exercice 6
Décrire, en termes d'intervalles, d'encadrement, de valeurs absolues, de distance et par une représentation graphique chacune des propriétés énoncées :
Signe d'un produit, d'un quotient
exercice 7
Procéder à une étude du signe de chacune des expressions suivantes :
a) b) c) d) e)
exercice 8
Écrire un quotient dont le tableau de signes est :
Il n'existe pas de réel commun à ces cinq intervalles (la valeur 1 est exclue dans l'intervalle ]- ;1[)
exercice 3
Il existe un unique entier relatif unique compris entre et , il s'agit de 0.
exercice 4
a) si et seulement et si et seulement pour , 2x+1 est négatif et 5-3x est positif donc (5-3x)(2x+1) est négatif.
pour , 2x+1 est positif et 5-3x est positif donc (5-3x)(2x+1) est positif.
pour , 2x+1 est positif et 5-3x est négatif donc (5-3x)(2x+1) est négatif.
pour ou , (5-3x)(2x+1) est nul.
b) (x+1)²-4x²=[(x+1)-2x][(x+1)+2x]=(-x+1)(3x+1)
on pose -x+1=0 ssi x=1 et 3x+1= 0 ssi x=-1/3
pour x]-;-1/3[ -x+1 est positif et 3x+1 est négatif donc (x+1)²-4x² est négatif
pour x]-1/3;1[ -x+1 est positif et 3x+1 est positif donc (x+1)²-4x² est positif
pour x]1;+[ -x+1 est négatif et 3x+1 est positif donc (x+1)²-4x² est négatif.
pour x=1 ou x=-1/3 est nul.
c) 1-2x=0 ssi x=1/2 et 1-3x=0 ssi x=1/3
pour x]-;1/3[ 1-2x est positif et 1-3x est positif donc (1-2x)(1-3x) est positif
pour x]1/3;1/2[ 1-2x est positif et 1-3x est négatif donc (1-2x)(1-3x) est négatif.
pour x]1/2;+[ 1-2x est négatif et 1-3x est négatif donc (1-2x)(1-3x) est positif.
pour x=1/3 ou x=1/2 est nul.
d) x²-x(x+3)=x²-x²-3x=-3x
-3x=0 ssi x=0
pour x]-;0[ x²-x(x+3) est positif
pour x]0;+[ x²-x(x+3) est négatif
pour x=0 x²-x(x+3) est nul.
exercice 5
Les entiers relatifs recherchés sont tous ceux de l'intervalle [-6;6], c'est à dire -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
exercice 6
, ainsi on a encadré x. L'intervalle est [-1,5].
.
. L'intervalle est [-3;1].
. L'intervalle est [-1;7].
.
. L'intervalle est [3,5;4,5].
. L'intervalle correspondant est [-5;-3].
En terme de valeur absolue on a et en distance on a .
. En valeur absolue on a .
En terme de distance on aura .
, c'est un intervalle. Encadrement : .
En valeur absolue on a . En distance on a .
exercice 7
a) Soit 2x-1=0 ou 3x-1=0 ou 4x-1=0 ou 5x-1=0
x=1/2 ou x=1/3 ou x=1/4 ou x=1/5
pour x]-;1/5[ (2x-1),(3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont positifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x]1/5;1/4[ (2x-1),(3x-1) et (4x-1) sont positifs mais (5x-1) est négatif donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est négatif,
pour x]1/4;1/3[ (2x-1) et (3x-1) sont positifs mais (4x-1) et (5x-1) sont négatifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x]1/3;1/2[ (3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont négatifs mais (2x-1) est positif donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est négatif,
pour x]1/2;+[ (2x-1),(3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont négatifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x=1/2 ou x=1/3 ou x=1/4 ou x=1/5 (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est nul.
b) Cette expression existe pour x+10 x-1
pour x]-;-1[ on a x et x+1 sont négatifs donc est positif,
pour x]-1;0[ on a x est négatif et x+1 est positif donc est négatif,
pour x]0;+[ on a x et x+1 sont positifs donc est positif.
pour x=0 est nul
c) Cette expression existe pour x0 et x-2
(obtenu en réduisant au meme dénominateur)
pour x]-;-2[ ona x(x+2) est positif donc est positif,
pour x]-2;0[ ona x(x+2) est négatif donc est négatif,
pour x]0;+[ ona x(x+2) est positif donc est positif.
d) Cette expression existe pour x-1
Résolvons x²-4=0 (x-2)(x+2)=0 x=2 ou x=-2
pour x]-;-2[ x²-4 est positif et x+1 est négatif donc est négatif,
pour x]-2;-1[ x²-4 est négatif et x+1 est négatif donc est positif,
pour x]-1;2[ x²-4 est négatif et x+1 est positif donc est négatif,
pour x]2;+[ x²-4 et x+1 sont positifs donc est positif,
pour x=2 ou x=-2 est nul.
e) Cette expression existe pour 2x(x-2)0 x0 et x2
pour x]-;0[ 2x(x-2) est positif donc est positif,
pour x]0;2[ 2x(x-2) est négatif donc est négatif,
pour x]2;+[ est positif donc est positif.
exercice 8
Posons tel que .
Puisque Q(x) n'est pas definie en -3,2 et 3 alors on peut prendre D(x)=(x+3)(-x+2)(x-3)=(-x+2)(x²-9).
De plus Q(x) ne s'annule nulle part donc N(x)=une constante ]0;+[
Finalement on peut ecrire
exercice 9
a) b) c) d) e) f)
Publié par T_P/malou relue en 2019
le
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