Fiche de mathématiques

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Ordre et valeurs absolues

Fiche relue en 2019-2020

Intervalles

exercice 1

Représenter graphiquement, puis écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres vérifiant les inégalités suivantes :
    a) $-3 \le x \le 2$
    b) $x \ge 7$
    c) $1 > x$
    d) $-4 \le x < 1$
    e) $-\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{1}{2}$

exercice 2

Schématiser les intervalles suivants :
[1 ;4] ; ]-2 ;+ $\infty$ [ ; [-7 ;7,1] ; ]- $\infty$ ;1[ ; [0 ;1].

Existe-t-il un réel commun à ces cinq intervalles ?

exercice 3

Combien y a t-il d'entiers relatifs x tels que :
$3-x \le 2x+4 \le 5-x$

Inéquations

exercice 4

Étudier le signe de :
    a) $(5-3x)(2x+1)$
    b) $(x+1)^2-4x^2$
    c) $(1-2x)(1-3x)$
    d) $x^2-x(x+3)$

Valeurs absolues

exercice 5

Trouver tous les entiers relatifs x tels que : $|x| \le 6$

exercice 6

Décrire, en termes d'intervalles, d'encadrement, de valeurs absolues, de distance et par une représentation graphique chacune des propriétés énoncées :
$|x-2|\le3$
$d(x,-1) \le 2$
$|3-x|\le4$
$d(x,4)\le0,5$
$-5\le x\le-3$
$-3\le2x\le3$
$x\in]5;6[$

Signe d'un produit, d'un quotient

exercice 7

Procéder à une étude du signe de chacune des expressions suivantes :
    a) $(2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$
    b) $\dfrac{x}{x+1}$
    c) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}$
    d) $\dfrac{x^2-4}{x+1}$
    e) $\dfrac{1}{2x(x-2)}$

exercice 8

Écrire un quotient dont le tableau de signes est :

$\begin{array} {|c|cccccccccc|} x & -\infty & & -3 & & 2 & & 3 & & +\infty & \\ \hline {Q(x)} & & + & || & - & || & + & || & - & & \\ \hline \end{array}$

exercice 9

Donner un encadrement de x :
    a) $10,1 \le x-8 \le 10,2$
    b) $|x-3| \le 2,5$
    c) $-0,02 < -x-3 < -0,001$
    d) $|7-x| < 2 \times 10^{-3}$
    e) $|x+8| < \dfrac{1}{2}$
    f) $d(x,5) \le 10^{-2}$

Voir la correction

exercice 1

a) $-3 \le x \le 2$
$x\in[-3;2]$

neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 31

b) $x \ge 7$
$x\in[7;+\infty[$

neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 36

c) $1 > x$
$x\in]-\infty;1[$

neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 33

d) $-4 \le x < 1$
$x\in[-4;1[$

neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 34

e) $-\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{1}{2}$
$x\in[-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}]$

neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 35

exercice 2

neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 32

Il n'existe pas de réel commun à ces cinq intervalles (la valeur 1 est exclue dans l'intervalle ]- $\infty$ ;1[)

exercice 3

$3-x \le 2x+4 \le 5-x$
$\Longleftrightarrow 3 \le 2x+x+4 \le 5$
$\Longleftrightarrow 3 \le 3x+4 \le 5$
$\Longleftrightarrow 3-4 \le 3x \le 5-4$
$\Longleftrightarrow -1 \le 3x \le 1$
$\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{3} \le x \le \dfrac{1}{3}$
Il existe un unique entier relatif unique compris entre $-\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{3}$ , il s'agit de 0.

exercice 4

    a) $(5-3x)(2x+1)$
$(5-3x)=0$ si et seulement $x=\dfrac{5}{3}$ et $(2x+1)=0$ si et seulement $x=-\dfrac{1}{2}$
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCC|} \hline x &-\infty & &-\frac{1}{2} & & & \frac{5}{3} & &+\infty \\ \hline 5-3x & & + & & & + & 0 & - & \\ \hline 2x+1 & & - & 0 & & + & & + & \\ \hline f(x) & & - & 0 & & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}$
pour $x\in\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$ , 2x+1 est négatif et 5-3x est positif donc (5-3x)(2x+1) est négatif.
pour $x\in\left]-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{3}\right[$ , 2x+1 est positif et 5-3x est positif donc (5-3x)(2x+1) est positif.
pour $x\in\left]\dfrac{5}{3};+\infty\right[$ , 2x+1 est positif et 5-3x est négatif donc (5-3x)(2x+1) est négatif.
pour $x=\dfrac{5}{3}$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$ , (5-3x)(2x+1) est nul.

    b) $(x+1)^2-4x^2$
(x+1)²-4x²=[(x+1)-2x][(x+1)+2x]=(-x+1)(3x+1)
on pose -x+1=0 ssi x=1 et 3x+1= 0 ssi x=-1/3
pour x]- $\infty$ ;-1/3[ -x+1 est positif et 3x+1 est négatif donc (x+1)²-4x² est négatif
pour x]-1/3;1[ -x+1 est positif et 3x+1 est positif donc (x+1)²-4x² est positif
pour x]1;+ $\infty$ [ -x+1 est négatif et 3x+1 est positif donc (x+1)²-4x² est négatif.
pour x=1 ou x=-1/3 est nul.

    c) $(1-2x)(1-3x)$
1-2x=0 ssi x=1/2 et 1-3x=0 ssi x=1/3
pour x]- $\infty$ ;1/3[ 1-2x est positif et 1-3x est positif donc (1-2x)(1-3x) est positif
pour x]1/3;1/2[ 1-2x est positif et 1-3x est négatif donc (1-2x)(1-3x) est négatif.
pour x]1/2;+ $\infty$ [ 1-2x est négatif et 1-3x est négatif donc (1-2x)(1-3x) est positif.
pour x=1/3 ou x=1/2 est nul.

    d) $x^2-x(x+3)$
x²-x(x+3)=x²-x²-3x=-3x
-3x=0 ssi x=0
pour x]- $\infty$ ;0[ x²-x(x+3) est positif
pour x]0;+ $\infty$ [ x²-x(x+3) est négatif
pour x=0 x²-x(x+3) est nul.

exercice 5

$|x| \le 6 \Longleftrightarrow -6\le x\le6$
Les entiers relatifs recherchés sont tous ceux de l'intervalle [-6;6], c'est à dire -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

exercice 6

$|x-2|\le3 \Longleftrightarrow -3 \le x-2 \le 3 \Longleftrightarrow -1 \le x \le 5$ , ainsi on a encadré x. L'intervalle est [-1,5].
$|x-2|\le3 \Longleftrightarrow d(x,2)\le3$ .

$d(x,1)\le2 \Longleftrightarrow |x+1|\le2 \Longleftrightarrow -2\le x+1\le2 \Longleftrightarrow -3\le x\le1$ . L'intervalle est [-3;1].

$|3-x|\le4 \Longleftrightarrow -4\le3-x\le4 \Longleftrightarrow -7\le-x\le1 \Longleftrightarrow -1\le x\le7$ . L'intervalle est [-1;7].
$|3-x|\le4 \Longleftrightarrow d(3,x)\le4$ .

$d(x,4)\le0,5 \Longleftrightarrow |x-4|\le0,5 \Longleftrightarrow -0.5\le x-4\le0.5 \Longleftrightarrow 3,5\le x\le4,5$ . L'intervalle est [3,5;4,5].

$-5\le x\le-3$ . L'intervalle correspondant est [-5;-3].
En terme de valeur absolue on a $|x+4|\le1$ et en distance on a $d(x;-4)\le1$ .

$-3\le2x\le3 \Longleftrightarrow -\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{3}{2}$ . En valeur absolue on a $|x|\le\dfrac{3}{2}$ .
En terme de distance on aura $d(x,0)\le\dfrac{3}{2}$ .

$x\in]5;6[$ , c'est un intervalle. Encadrement : $5<x\le6$ .
En valeur absolue on a $|x-\frac{11}{2}|<\frac{1}{2}$ . En distance on a $d(x,\frac{11}{2})<\frac{1}{2}$ .

exercice 7

    a) $(2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)$
Soit 2x-1=0 ou 3x-1=0 ou 4x-1=0 ou 5x-1=0
$\Longleftrightarrow$ x=1/2 ou x=1/3 ou x=1/4 ou x=1/5
pour x $\in$ ]- $\infty$ ;1/5[ (2x-1),(3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont positifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x $\in$ ]1/5;1/4[ (2x-1),(3x-1) et (4x-1) sont positifs mais (5x-1) est négatif donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est négatif,
pour x $\in$ ]1/4;1/3[ (2x-1) et (3x-1) sont positifs mais (4x-1) et (5x-1) sont négatifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x $\in$ ]1/3;1/2[ (3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont négatifs mais (2x-1) est positif donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est négatif,
pour x $\in$ ]1/2;+ $\infty$ [ (2x-1),(3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont négatifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x=1/2 ou x=1/3 ou x=1/4 ou x=1/5 (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est nul.

    b) $\dfrac{x}{x+1}$
Cette expression existe pour x+1 $\neq$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $\neq$ -1
pour x $\in$ ]- $\infty$ ;-1[ on a x et x+1 sont négatifs donc $\dfrac{x}{x+1}$ est positif,
pour x $\in$ ]-1;0[ on a x est négatif et x+1 est positif donc $\dfrac{x}{x+1}$ est négatif,
pour x $\in$ ]0;+ $\infty$ [ on a x et x+1 sont positifs donc $\dfrac{x}{x+1}$ est positif.
pour x=0 $\dfrac{x}{x+1}$ est nul

    c) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}$
Cette expression existe pour x $\neq$ 0 et x $\neq$ -2 $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} =\dfrac{2}{x(x+2)}$ (obtenu en réduisant au meme dénominateur)
pour x $\in$ ]- $\infty$ ;-2[ ona x(x+2) est positif donc $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}$ est positif,
pour x $\in$ ]-2;0[ ona x(x+2) est négatif donc $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}$ est négatif,
pour x $\in$ ]0;+ $\infty$ [ ona x(x+2) est positif donc $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}$ est positif.

    d) $\dfrac{x^2-4}{x+1}$
Cette expression existe pour x $\neq$ -1
Résolvons x²-4=0 $\Longleftrightarrow$ (x-2)(x+2)=0 $\Longleftrightarrow$ x=2 ou x=-2
pour x $\in$ ]- $\infty$ ;-2[ x²-4 est positif et x+1 est négatif donc $\dfrac{x^2-4}{x+1}$ est négatif,
pour x $\in$ ]-2;-1[ x²-4 est négatif et x+1 est négatif donc $\dfrac{x^2-4}{x+1}$ est positif,
pour x $\in$ ]-1;2[ x²-4 est négatif et x+1 est positif donc $\dfrac{x^2-4}{x+1}$ est négatif,
pour x $\in$ ]2;+ $\infty$ [ x²-4 et x+1 sont positifs donc $\dfrac{x^2-4}{x+1}$ est positif,
pour x=2 ou x=-2 $\dfrac{x^2-4}{x+1}$ est nul.

    e) $\dfrac{1}{2x(x-2)}$
Cette expression existe pour 2x(x-2) $\neq$ 0 $\Longleftrightarrow$ x $\neq$ 0 et x $\neq$ 2
pour x $\in$ ]- $\infty$ ;0[ 2x(x-2) est positif donc $\dfrac{1}{2x(x-2)}$ est positif,
pour x $\in$ ]0;2[ 2x(x-2) est négatif donc $\dfrac{1}{2x(x-2)}$ est négatif,
pour x $\in$ ]2;+ $\infty$ [ est positif donc $\dfrac{1}{2x(x-2)}$ est positif.

exercice 8

Posons $Q(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}$ tel que $D(x)\neq0$ .
Puisque Q(x) n'est pas definie en -3,2 et 3 alors on peut prendre D(x)=(x+3)(-x+2)(x-3)=(-x+2)(x²-9).
De plus Q(x) ne s'annule nulle part donc N(x)=une constante $\in$ ]0;+ $\infty$ [
Finalement on peut ecrire
$Q(x)=\dfrac{1}{(-x+2)(x^2-9)}$

exercice 9

    a) $10,1 \le x-8 \le 10,2 \Longleftrightarrow 18.1\le x\le18.2$
    b) $|x-3| \le 2,5 \Longleftrightarrow -2,5\le x-3\le2,5 \Longleftrightarrow 0,5\le x\le5,5$
    c) $-0,02 < -x-3 < -0,001 \Longleftrightarrow 2,98 < -x < 2,999 \Longleftrightarrow -2,999 < x < -2,98$
    d) $|7-x| < 2 \times 10^{-3} \Longleftrightarrow -0,002 < 7-x < 0,002 \Longleftrightarrow 6,998 < x < 7,002$
    e) $|x+8| < \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow -\dfrac{17}{2} < x < -\dfrac{15}{2}$
    f) $d(x,5) \le 10^{-2} \Longleftrightarrow 4,99 \le x \le 5,01$

Publié par T_P/malou relue en 2019 le 05-04-2020

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