Fiche de mathématiques
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Ordre et valeurs absolues

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Intervalles

exercice 1

Représenter graphiquement, puis écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres vérifiant les inégalités suivantes :
    a) -3 \le x \le 2
    b) x \ge 7
    c) 1 > x
    d) -4 \le x < 1
    e) -\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{1}{2}



exercice 2

Schématiser les intervalles suivants :
[1 ;4] ; ]-2 ;+\infty[ ; [-7 ;7,1] ; ]-\infty ;1[ ; [0 ;1].
Existe-t-il un réel commun à ces cinq intervalles ?



exercice 3

Combien y a t-il d'entiers relatifs x tels que :
3-x \le 2x+4 \le 5-x


Inéquations



exercice 4

Étudier le signe de :
    a) (5-3x)(2x+1)
    b) (x+1)^2-4x^2
    c) (1-2x)(1-3x)
    d) x^2-x(x+3)


Valeurs absolues



exercice 5

Trouver tous les entiers relatifs x tels que : |x| \le 6



exercice 6

Décrire, en termes d'intervalles, d'encadrement, de valeurs absolues, de distance et par une représentation graphique chacune des propriétés énoncées :
|x-2|\le3
d(x,-1) \le 2
|3-x|\le4
d(x,4)\le0,5
-5\le x\le-3
-3\le2x\le3
x\in]5;6[


Signe d'un produit, d'un quotient



exercice 7

Procéder à une étude du signe de chacune des expressions suivantes :
    a) (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)
    b) \dfrac{x}{x+1}
    c) \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}
    d) \dfrac{x^2-4}{x+1}
    e) \dfrac{1}{2x(x-2)}



exercice 8

Écrire un quotient dont le tableau de signes est :

\begin{array} {|c|cccccccccc|} x & -\infty & & -3 & & 2 & & 3 & & +\infty &  \\ \hline {Q(x)} & & + & || & - & || & + & || & - & & \\ \hline \end{array}




exercice 9

Donner un encadrement de x :
    a) 10,1 \le x-8 \le 10,2
    b) |x-3| \le 2,5
    c) -0,02 < -x-3 < -0,001
    d) |7-x| < 2 \times 10^{-3}
    e) |x+8| < \dfrac{1}{2}
    f) d(x,5) \le 10^{-2}



exercice 1

    a) -3 \le x \le 2
x\in[-3;2]
neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 1

    b) x \ge 7
x\in[7;+\infty[
neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 6

    c) 1 > x
x\in]-\infty;1[
neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 3

    d) -4 \le x < 1
x\in[-4;1[
neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 4

    e) -\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{1}{2}
x\in[-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}]
neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 5




exercice 2

neuf exercices variés avec des valeurs absolues - seconde : image 2
Il n'existe pas de réel commun a ces cinq intervalles (la valeur 1 est exclu dans l'intervalle ]-\infty ;1[)



exercice 3

3-x \le 2x+4 \le 5-x
\Longleftrightarrow 3 \le 2x+x+4 \le 5
\Longleftrightarrow 3 \le 3x+4 \le 5
\Longleftrightarrow 3-4 \le 3x \le 5-4
\Longleftrightarrow -1 \le 3x \le 1
\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{3} \le x \le \dfrac{1}{3}
Il existe un unique entier relatif unique compris entre -\dfrac{1}{3} et \dfrac{1}{3}, il s'agit de 0.



exercice 4

    a) (5-3x)(2x+1)
(5-3x)=0 si et seulement x=\dfrac{5}{3} et (2x+1)=0 si et seulement x=-\dfrac{1}{2}
\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCC|} \hline x &-\infty & &-\frac{1}{2} & & & \frac{5}{3} & &+\infty \\ \hline 5-3x & & + & & & + & 0 & - & \\ \hline 2x+1 & & - & 0 & & + & & + & \\ \hline f(x) & & - & 0 & & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}
pour x\in\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[ , 2x+1 est négatif et 5-3x est positif donc (5-3x)(2x+1) est négatif.
pour x\in\left]-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{3}\right[ , 2x+1 est positif et 5-3x est positif donc (5-3x)(2x+1) est positif.
pour x\in\left]\dfrac{5}{3};+\infty\right[ , 2x+1 est positif et 5-3x est négatif donc (5-3x)(2x+1) est négatif.
pour x=\dfrac{5}{3} ou x=-\dfrac{1}{2} , (5-3x)(2x+1) est nul.

    b) (x+1)^2-4x^2
(x+1)²-4x²=[(x+1)-2x][(x+1)+2x]=(-x+1)(3x+1)
on pose -x+1=0 ssi x=1 et 3x+1= 0 ssi x=-1/3
pour x]-\infty;-1/3[ -x+1 est positif et 3x+1 est négatif donc (x+1)²-4x² est négatif
pour x]-1/3;1[ -x+1 est positif et 3x+1 est positif donc (x+1)²-4x² est positif
pour x]1;+\infty[ -x+1 est négatif et 3x+1 est positif donc (x+1)²-4x² est négatif.
pour x=1 ou x=-1/3 est nul.

    c) (1-2x)(1-3x)
1-2x=0 ssi x=1/2 et 1-3x=0 ssi x=1/3
pour x]-\infty;1/3[ 1-2x est positif et 1-3x est positif donc (1-2x)(1-3x) est positif
pour x]1/3;1/2[ 1-2x est positif et 1-3x est négatif donc (1-2x)(1-3x) est négatif.
pour x]1/2;+\infty[ 1-2x est négatif et 1-3x est négatif donc (1-2x)(1-3x) est positif.
pour x=1/3 ou x=1/2 est nul.

    d) x^2-x(x+3)
x²-x(x+3)=x²-x²-3x=-3x
-3x=0 ssi x=0
pour x]-\infty;0[ x²-x(x+3) est positif
pour x]0;+\infty[ x²-x(x+3) est négatif
pour x=0 x²-x(x+3) est nul.



exercice 5

|x| \le 6 \Longleftrightarrow -6\le x\le6
Les entiers relatifs recherchés sont tous ceux de l'intervalle [-6;6], c'est à dire -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.



exercice 6

|x-2|\le3 \Longleftrightarrow -3 \le x-2 \le 3 \Longleftrightarrow -1 \le x \le 5, ainsi on a encadré x. L'intervalle est [-1,5].
|x-2|\le3 \Longleftrightarrow  d(x,2)\le3.

d(x,1)\le2 \Longleftrightarrow |x+1|\le2 \Longleftrightarrow -2\le x+1\le2 \Longleftrightarrow -3\le x\le1. L'intervalle est [-3;1].

|3-x|\le4 \Longleftrightarrow -4\le3-x\le4 \Longleftrightarrow -7\le-x\le1 \Longleftrightarrow -1\le x\le7. L'intervalle est [-1;7].
|3-x|\le4 \Longleftrightarrow d(3,x)\le4.

d(x,4)\le0,5 \Longleftrightarrow |x-4|\le0,5 \Longleftrightarrow  -0.5\le x-4\le0.5 \Longleftrightarrow 3,5\le x\le4,5. L'intervalle est [3,5;4,5].

-5\le x\le-3. L'intervalle correspondant est [-5;-3].
En terme de valeur absolue on a |x+4|\le1 et en distance on a d(x;-4)\le1.

-3\le2x\le3 \Longleftrightarrow -\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{3}{2}. En valeur absolue on a |x|\le\dfrac{3}{2} .
En terme de distance on aura d(x,0)\le\dfrac{3}{2}.

x\in]5;6[, c'est un intervalle. Encadrement : 5<x\le6.
En valeur absolue on a |x-\frac{11}{2}|<\frac{1}{2}. En distance on a d(x,\frac{11}{2})<\frac{1}{2}.



exercice 7

    a) (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1)
Soit 2x-1=0 ou 3x-1=0 ou 4x-1=0 ou 5x-1=0
\Longleftrightarrow x=1/2 ou x=1/3 ou x=1/4 ou x=1/5
pour x\in]-\infty;1/5[ (2x-1),(3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont positifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x\in]1/5;1/4[ (2x-1),(3x-1) et (4x-1) sont positifs mais (5x-1) est négatif donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est négatif,
pour x\in]1/4;1/3[ (2x-1) et (3x-1) sont positifs mais (4x-1) et (5x-1) sont négatifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x\in]1/3;1/2[ (3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont négatifs mais (2x-1) est positif donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est négatif,
pour x\in]1/2;+\infty[ (2x-1),(3x-1),(4x-1) et (5x-1) sont négatifs donc (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est positif,
pour x=1/2 ou x=1/3 ou x=1/4 ou x=1/5 (2x-1)(3x-1)(4x-1)(5x-1) est nul.

    b) \dfrac{x}{x+1}
Cette expression existe pour x+1\neq0 \Longleftrightarrow x\neq-1
pour x\in]-\infty;-1[ on a x et x+1 sont négatifs donc \dfrac{x}{x+1} est positif,
pour x\in]-1;0[ on a x est négatif et x+1 est positif donc \dfrac{x}{x+1} est négatif,
pour x\in]0;+\infty[ on a x et x+1 sont positifs donc \dfrac{x}{x+1} est positif.
pour x=0 \dfrac{x}{x+1} est nul

    c) \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}
Cette expression existe pour x\neq0 et x\neq-2 \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} =\dfrac{2}{x(x+2)} (obtenu en réduisant au meme dénominateur)
pour x\in]-\infty;-2[ ona x(x+2) est positif donc \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} est positif,
pour x\in]-2;0[ ona x(x+2) est négatif donc \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} est négatif,
pour x\in]0;+\infty[ ona x(x+2) est positif donc \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} est positif.

    d) \dfrac{x^2-4}{x+1}
Cette expression existe pour x\neq-1
Résolvons x²-4=0 \Longleftrightarrow (x-2)(x+2)=0 \Longleftrightarrow x=2 ou x=-2
pour x\in]-\infty;-2[ x²-4 est positif et x+1 est négatif donc \dfrac{x^2-4}{x+1} est négatif,
pour x\in]-2;-1[ x²-4 est négatif et x+1 est négatif donc \dfrac{x^2-4}{x+1} est positif,
pour x\in]-1;2[ x²-4 est négatif et x+1 est positif donc \dfrac{x^2-4}{x+1} est négatif,
pour x\in]2;+\infty[ x²-4 et x+1 sont positifs donc \dfrac{x^2-4}{x+1} est positif,
pour x=2 ou x=-2 \dfrac{x^2-4}{x+1} est nul.

    e) \dfrac{1}{2x(x-2)}
Cette expression existe pour 2x(x-2)\neq0 \Longleftrightarrow x\neq0 et x\neq2
pour x\in]-\infty;0[ 2x(x-2) est positif donc \dfrac{1}{2x(x-2)} est positif,
pour x\in]0;2[ 2x(x-2) est négatif donc\dfrac{1}{2x(x-2)} est négatif,
pour x\in]2;+\infty[ est positif donc \dfrac{1}{2x(x-2)} est positif.



exercice 8

Posons Q(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} tel que D(x)\neq0.
Puisque Q(x) n'est pas definie en -3,2 et 3 alors on peut prendre D(x)=(x+3)(-x+2)(x-3)=(-x+2)(x²-9).
De plus Q(x) ne s'annule nulle part donc N(x)=une constante \in]0;+\infty[
Finalement on peut ecrire
Q(x)=\dfrac{1}{(-x+2)(x^2-9)}



exercice 9

    a) 10,1 \le x-8 \le 10,2 \Longleftrightarrow 18.1\le x\le18.2
    b) |x-3| \le 2,5 \Longleftrightarrow -2,5\le x-3\le2,5 \Longleftrightarrow 0,5\le x\le5,5
    c) -0,02 < -x-3 < -0,001 \Longleftrightarrow 2,98 < -x < 2,999 \Longleftrightarrow -2,999 < x < -2,98
    d) |7-x| < 2 \times 10^{-3} \Longleftrightarrow -0,002 < 7-x < 0,002 \Longleftrightarrow 6,998 < x < 7,002
    e) |x+8| < \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow -\dfrac{17}{2} < x < -\dfrac{15}{2}
    f) d(x,5) \le 10^{-2} \Longleftrightarrow 4,99 \le x \le 5,01
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