Fiche de mathématiques
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Équations avec des valeurs absolues

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Fiche relue en 2016

exercice 1

Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
|x + 3| = -4\\ |x - 4| = \dfrac{21}{5}\\ |x + 2| < 3




exercice 2

Ecrire en utilisant la notion de valeurs absolues les affirmations suivantes :
x \in ]-3; 7[\\ x \in ]-\infty; -4] \cup [2; +\infty[




exercice 3

Résoudre les systèmes d'inéquations suivantes :
\left \lbrace \begin{array}{c} |x - 1| < \dfrac54\\ |x - \dfrac15| \leq \dfrac{1}{20} \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{c} |x - 1| < 2\\ |2 - x| \leq 2 \end{array} \right.






exercice 1

Rappel :
|x| = \left \lbrace \begin{array}{c} x \text{ si } x \geq 0\\ -x \text{ si } x \leq 0 \end{array} \right.



1. |x + 3| = -4
Une valeur absolue étant toujours positive, cette équation n'admet aucune solution.
D'où : S = \emptyset

2.
|x - 4| = \dfrac{21}{5}\\ x - 4 = \dfrac{21}{5} \text{ ou } x - 4 = -\dfrac{21}{5}\\ x = \dfrac{41}{5} \text{ ou } x = -\dfrac{1}{5}
D'où : S = \lbrace -\dfrac15; \dfrac{41}{5}\rbrace

3. |x + 2| < 3 équivaut à : -3 < x + 2 < 3
soit : -5 < x < 1
D'où : S = ]-5; 1[.




exercice 2

1. x \in ]-3; 7[ \Longleftrightarrow |x - 2| < 5 (7 - (-3) = 10)

2. x \in ]-\infty; -4] \cup [2; +\infty[ \Longleftrightarrow |x + 1| \geq 3.




exercice 3

1.
\left \lbrace \begin{array}{c} |x - 1| < \dfrac{5}{4} \hspace{5pt}(1)\\\left|x - \dfrac{1}{5}\right| \leq \dfrac{1}{20} \hspace{5pt}(2) \end{array} \right.
Résolvons séparément les inéquations (1) et (2) :
|x - 1| < \dfrac{5}{4} \Longleftrightarrow \dfrac{-1}{4} < x < \dfrac{9}{4}
Donc : S1 = \left]-\dfrac14; \dfrac94\right[

\left|x - \dfrac{1}{5}\right| \leq \dfrac{1}{20} \Longleftrightarrow \dfrac{3}{20} \leq x \leq \dfrac{1}{4}
Donc : S2 = \left[\dfrac{3}{20}; \dfrac14\right]

D'où : S = S1 \cap S2
S = \left[\dfrac{3}{20}; \dfrac14\right]

2.
\left \lbrace \begin{array}{c} |x - 1| < 2 \hspace{5pt} (1)\\|2 - x| \leq 2 \hspace{5pt} (2)\end{array} \right.
Résolvons séparément les inéquations (1) et (2) :
|x - 1| < 2 \Longleftrightarrow -1 < x < 3
Donc : S1 = ]-1; 3[

|2 - x| \leq 2 \Longleftrightarrow -2 \leq 2 - x \leq 2\\ \hspace{60pt} \Longleftrightarrow -4 \leq -x \leq 0\\ \hspace{60pt} \Longleftrightarrow 0 \leq x \leq 4
Donc : S2 = [0; 4]

D'où : S = S1 \cap S2
S = [0; 3[
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